第23章素养练习卷（含答案）2026-2027学年沪科版九年级数学上册

这是一份第23章素养练习卷（含答案）2026-2027学年沪科版九年级数学上册，共12页。
第23章素养练习一、选择题(本大题共10小题，每小题4，共40)1．计算－2 cos 60°的结果是(　　)A．1 B.eq \r(3) C．－1 D．－eq \r(3)2．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sin A＝(　　)A.eq \f(1,3) B.eq \f(\r(2),4) C.eq \f(\r(10),10) D.eq \f(3\r(10),10)3．某人由水平地面沿着有一定坡度的坡面前进了10 m，此时他与水平地面的垂直距离为5 m，则这个坡面的坡度为(　　)A．12 B．1eq \r(3) C．30° D．60°4．当45°＜∠A＜90°时，下列正确的是(　　)A．tan A＞cos A＞sin AB．cos A＞tan A＞sin AC．sin A＞tan A＞cos AD．tan A＞sin A＞cos A5．在△ABC中，tan A＝1，cos B＝eq \f(\r(2),2)，则对△ABC的形状描述最准确的是(　　)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．锐角三角形6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于点D.设∠ACD＝α，则cos α 的值为(　　)A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,4) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,5)(第6题)　　(第7题)7．某公路在BC路段限速60 km/h，管理部门在A处设置了一个速度监测点．假设公路是笔直的，建立如图所示的直角坐标系，∠BAO＝60°，∠CAO＝45°，点A的坐标为(0，－100)，则限速路段BC等于(　　)A．300 m B．(100eq \r(3)＋100)mC．200eq \r(3) m D．100(eq \r(3)＋eq \r(2))m8．已知抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB＝(　　)A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(5),5) C.eq \f(2\r(5),5) D.29．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且有c2＋4b2－4bc＝0，则sin A＋cos A的值为(　　)A.eq \f(\r(3)－1,2) B.eq \f(1＋\r(3),2) C.eq \f(1＋\r(2),2) D.eq \f(\r(3)＋\r(2),2)10．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠C＝75°，AB＝10，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则△DEF周长的最小值为(　　)A．15 B．10 eq \r(3)C．5 eq \r(6) D．20(第10题)　　(第12题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5，共20)11．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2cos 30°，则∠A＝______．12．如图，某市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC的坡角β＝45°且BC＝6 m，AD的坡角α＝30°，则AD的长为________m(结果保留根号)．13．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具(如图①)，小明用图①中的一副七巧板拼出如图②所示的“企鹅”图形，已知正方形ABCD的边长为4，则图②中EF的长为________．(第13题)　(第14题)14．如图，O是坐标原点，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，已知OA＝2，∠AOB＝60°，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象经过点B.(1)k＝________；(2)过点B作BD⊥OB交反比例函数的图象于点D，且点D位于AB右侧，连接OD，则BD2－OB2＝__________．三、(本大题共2小题，每小题8，共16)15．计算：eq \r(3)cos245°－sin 30°tan 60°＋eq \f(1,2)sin 60°.16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2eq \r(3)，b＝6，解这个直角三角形．四、(本大题共2小题，每小题8，共16)17．如图，在△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝eq \f(4,5)，BF为边AD上的中线．(1)求AC的长；(2)求tan∠FBD的值．18．如图，已知船甲从A处向正北方向的岛C航行，同时，船乙在岛C正东方向80 n mile的D处向正东方向航行，此时船甲观察到船乙在北偏东45°方向，1.5 h后船甲在B处观察到船乙在北偏东70°方向的E处，若船甲的航行速度为20 n mile/h，求船乙的速度．(精确到0.1 n mile/h，参考数据：sin 70°≈0.94，cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)五、(本大题共2小题，每小题10，共20)19．某校数学综合实践社团的同学们为了测量金寨南路桥主塔(如图①)的高OA，在地面上选取点B放置测倾仪，测得主塔顶端A的仰角为45°，将测倾仪向靠近主塔的方向前移10 m至点C处(点O，C，B在同一水平线上)，测得主塔顶端A的仰角为47.7°，测量示意图如图②所示．已知测倾仪的高度BM＝1.5 m，求金寨南路桥主塔的高OA.(精确到1 m．参考数据： sin 47.7°≈0.74，cos 47.7°≈0.67，tan 47.7°≈1.10)20．如图①，在Rt△ABC中，以下是小亮探究eq \f(a,sin A)与eq \f(b,sin B)之间关系的方法：∵sin A＝eq \f(a,c)，sin B＝eq \f(b,c)，∴c＝eq \f(a,sin A)，c＝eq \f(b,sin B).∴eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B).根据你掌握的三角函数知识，在图②的锐角三角形ABC中，探究eq \f(a,sin A)，eq \f(b,sin B)，eq \f(c,sin C)之间的关系，并说明理由．六、(本题共12)21．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图，观景平台斜坡DE的长是20 m，坡角为37°，斜坡DE的底部D与大楼底端C的距离CD为74 m，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3 m，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°.求大楼BC的高度．(结果精确到1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 42.6°≈0.68，cos 42.6°≈0.74，tan 42.6°≈0.92 )七、(本题共12)22．【问题呈现】如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB和CD相交于点P，求tan∠BPD的值．【方法提示】利用网格将线段CD平移到线段BE，连接AE，得到格点△ABE，且AE⊥BE，则∠BPD就变换成Rt△ABE中的∠ABE.　【问题解决】(1)图①中tan∠BPD的值为__________；(2)如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点A，B和C，D，AB与CD交于点P，则cos∠BPD的值为__________；　【思维拓展】(3)如图③，AB⊥CD，垂足为B，且AB＝4BC，BD＝2BC，点E在AB上，且AE＝BC，连接AD交CE的延长线于点P，利用网格求sin∠CPD.八、(本题共14)23．单摆是一种能够产生往复摆动的装置，某兴趣小组利用摆球和摆线进行与单摆相关的实验探究，并撰写实验报告如下：解决问题：根据以上信息，求ED的长．(结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05) 答案一、1.C　2.C　3.B　4.D　5.C　6.A　7.B　8.D9．B　10.C二、11.60°　12.6eq \r(2)　13.eq \r(26)　14.(1)4eq \r(3)　(2)eq \f(16,3)三、15.解：原式＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)－ eq \f(1,2)×eq \r(3)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2) ＝eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(3),4)＝eq \f(\r(3),4).16．解：∵a＝2eq \r(3)，b＝6，∠C＝90°，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(12＋36)＝eq \r(48)＝4eq \r(3)，tan A＝eq \f(a,b)＝eq \f(2\r(3),6)＝eq \f(\r(3),3)，∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.四、17.解：(1)∵在Rt△ACB中，cos∠ABC＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(4,5)，BC＝8，∴AB＝10.由勾股定理，得AC＝eq \r(AB2－BC2)＝eq \r(102－82)＝6.(2) 如图，连接CF，过点F作BD的垂线，垂足为E.∵BF为边AD上的中线，∴F为AD 的中点．∵AC⊥BD，∴CF＝eq \f(1,2)AD＝FD，∴CE＝DE＝eq \f(1,2)CD＝2.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝eq \r(AC2＋CD2)＝eq \r(62＋42)＝2eq \r(13)，∴CF＝eq \f(1,2)AD＝eq \r(13)，∴在Rt△EFC中，EF＝eq \r(CF2－CE2)＝eq \r(13－4)＝3，∴tan∠FBD＝eq \f(FE,BE)＝eq \f(3,8＋2)＝eq \f(3,10).18．解：由题意可得，CD＝80 n mile，∠CAD＝45°，∠CBE＝70°，∠ACE＝90°.在Rt△ACD中，tan∠CAD＝tan 45°＝eq \f(CD,CA)＝1，∴AC＝CD＝80 n mile.∵AB＝20×1.5＝30(n mile)，∴BC＝AC－AB＝80－30＝50(n mile)．在Rt△BCE中，tan∠CBE＝tan 70°＝eq \f(CE,CB)≈2.75，∴CE≈2.75×BC＝137.5(n mile)，∴DE＝CE－CD≈137.5－80＝57.5(n mile)，∴船乙的速度为57.5÷1.5≈38.3(n mile/h)．答：船乙的速度约为38.3 n mile/h.五、19.解：如图，过点M作MF⊥OA于点F，易知M，N，F在同一水平线上．由题意易得OF＝BM＝1.5 m，MN＝10 m．设FN＝a m，在Rt△AMF中，∠AMF＝45°，∴AF＝MF＝(10＋a) m.在Rt△AFN中，tan∠ANF＝eq \f(AF,FN)，∴AF＝FN·tan∠ANF＝a·tan47.7°≈1.10a m，∴10＋a≈1.10a，解得a≈100，∴AF≈110 m，∴OA＝AF＋OF≈110＋1.5＝111.5≈112(m)．答：金寨南路桥主塔的高OA约为112 m.20．解：eq \f(a,sin A)＝eq \f(b, sin B)＝eq \f(c, sin C).理由如下：如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E.在Rt△ABD中，sin ∠ABD＝eq \f(AD,c) ，即AD＝csin ∠ABD.在Rt△ADC中，sin C＝eq \f(AD,b)，即AD＝bsinC.∴csin∠ABD＝bsin C，即eq \f(b,sin ∠ABD)＝eq \f(c,sin C).同理可得eq \f(a,sin ∠BAC)＝eq \f(c,sin C).∴eq \f(a,sin ∠BAC)＝eq \f(b,sin ∠ABC)＝eq \f(c,sin C).六、21.解：延长AE交CD的延长线于点M，过点A作AN⊥BC于点N，则易得四边形AMCN是矩形．∴NC＝AM，AN＝MC.在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，∴EM＝DE×sin 37°≈20×0.60＝12(m)，DM＝DE×cos 37°≈20×0.80＝16(m)，∴AN＝MC＝CD＋DM≈74＋16＝90(m)，CN＝AM＝AE＋EM≈3＋12＝15(m)．在Rt△ANB中，易知∠BAN＝42.6°，∴BN＝AN×tan 42.6°≈90×0.92＝82.8(m)，∴BC＝BN＋CN≈82.8＋15≈98(m)．答：大楼BC的高度约为98 m.七、22.解：(1)2　(2)eq \f(\r(2),2)(3)设BC＝1，则AB＝4，BD＝2，AE＝1.如图，根据题意构造网格，其中每个小正方形的边长均为1，过点A作AN∥PC，连接DN，则∠CPD＝∠NAD.易知N点在格点上，且∠AND＝90°，由勾股定理可得DN＝eq \r(12＋32)＝eq \r(10)，AD＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，∴sin∠CPD＝sin∠NAD＝eq \f(DN,AD)＝eq \f(\r(10),2\r(5))＝eq \f(\r(2),2).八、23.解：∵BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm，∴OD＝eq \f(BD,tan 64°)≈eq \f(20.5,2.05)＝10(cm)，OB＝eq \f(BD,sin 64°)≈eq \f(20.5,0.90)≈22.78(cm)，∴OC＝OB≈22.78 cm.∵∠COA＝37°，CE⊥OA，∴OE＝OC·cos 37°≈22.78×0.80≈18.22(cm)，∴DE＝OE－OD≈18.22－10≈8.2(cm)，即ED的长约为8.2 cm.实验主题探究摆球运动过程中高度的变化实验用具摆球，摆线，支架，摄像机等实验说明如图①，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．(摆线的长度变化忽略不计)如图②，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，BD⊥OA，∠BOA＝64°，BD＝20.5 cm；当摆球运动至点C时，∠COA＝37°，CE⊥OA.(点O，A，B，C，D，E在同一平面内)实验图示