新高考数学二轮复习专题巩固练习思想01 实施分类讨论策略以精准解析数学问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学二轮复习专题巩固练习思想01 实施分类讨论策略以精准解析数学问题（2份，原卷版+解析版），共11页。试卷主要包含了设，函数，给出下列四个结论，已知函数等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc190874249" 01考情透视·目标导航 PAGEREF _Tc190874249 \h 2
\l "_Tc190874250" 02知识导图·思维引航 PAGEREF _Tc190874250 \h 3
\l "_Tc190874251" 03 知识梳理·方法技巧 PAGEREF _Tc190874251 \h 4
\l "_Tc190874252" 04 真题研析·精准预测 PAGEREF _Tc190874252 \h 5
\l "_Tc190874253" 05 核心精讲·题型突破 PAGEREF _Tc190874253 \h 7
\l "_Tc190874254" 题型一：由情境的规则引起的分类讨论 PAGEREF _Tc190874254 \h 7
\l "_Tc190874255" 题型二：由定义引起的分类讨论 PAGEREF _Tc190874255 \h 8
\l "_Tc190874256" 题型三：由平面图形的可变性引起的分类讨论 PAGEREF _Tc190874256 \h 10
\l "_Tc190874257" 题型四：由变量的范围引起的分类讨论 PAGEREF _Tc190874257 \h 12
\l "_Tc190874258" 题型五：由空间图形的可变性引起的分类讨论 PAGEREF _Tc190874258 \h 13
高考命题中，以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会、运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想等．
当被研究的问题出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们通常将可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这就是分类讨论的思想，包含分类与整合两部分，既化整为零，各个击破，又集零为整．
基本步骤是：（1）研究讨论的必要性，确定讨论对象；（2）确定分类依据，并按标准分类；（3）逐类解决，获得各类的结果；（4）归纳整合，得到结果．
分类的基本原则是：（1）标准统一，不重不漏；（2）层次明晰，不混不乱．
分类讨论应用的热点：（1）由概念、定义、公式、定理、性质等引起的分类讨论，如直线的斜率是否存在，幂、指数、对数函数的单调性，等比数列的公比是否为等．（2）由数学运算规则引起的分类讨论，如除法运算中分母不为零，偶次方根为非负数，不等式两边同乘（除）以一个数（式）的符号等．（3）由变量的范围引起的分类讨论，如对数的真数与底数的范围，指数运算中底数的范围，函数在不同区间上单调性受参变量的影响等．（4）由图形的可变性引起的分类讨论，如图形类型、位置，点所在的象限，角大小的可能性等．（5）由情境的规则引起的分类讨论，情境问题的规则在解决数学问题时常需要分类讨论思想，如体育比赛的规则等．
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
2．（2024年天津高考数学真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
3．（2024年北京高考数学真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是 .
4．（2023年北京高考数学真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)当时，，求的取值范围．
6．（2024年天津高考数学真题）已知为公比大于0的等比数列，其前项和为，且．
(1)求的通项公式及；
(2)设数列满足，其中．
（ⅰ）求证：当时，求证：；
（ⅱ）求．
题型一：由情境的规则引起的分类讨论
【典例1-1】甲､乙两人各有三张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字，乙的卡片上分别标有数字，两人各自从自己持有的卡片中随机任选两张，并比较所选卡片上数字之和的大小，数字之和大的人获胜.则甲获胜的概率为 .
【典例1-2】已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是 ．
【变式1-1】某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．
(1)若甲同学选择A箱，求甲第一次抽到代数题且第二次抽到几何题的概率；
(2)若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，求丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率．
【变式1-2】将连续正整数1，2，，从小到大排列构成一个数，为这个数的位数如当时，此数为123456789101112，共有15个数字，，现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率.
(1)求
(2)当时，求的表达式.
(3)令为这个数中数字0的个数，为这个数中数字9的个数，，，求当时的最大值.
1．某班学生分A，，，四组参加数学知识竞答，规则如下：四组之间进行单循环（每组均与另外三组进行一场比赛）；每场比赛胜者积3分，负者0分；若出现平局，则比赛双方各积1分.现假设四个组战胜或者负于对手的概率均为，出现平局的概率为，每场比赛相互独立.
(1)求A组在参加两场比赛后得分为3分的概率；
(2)一轮单循环结束后，求四组总积分一样的情况种数，并计算四组总积分一样的概率.
2．甲、乙两人准备进行羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.若甲发球，则本回合甲赢的概率为，若乙发球，则本回合甲赢的概率为，每回合比赛的结果相互独立.经抽签决定，第1回合由甲发球.
(1)求第4个回合甲发球的概率；
(2)设前4个回合中，甲发球的次数为，求的分布列及期望.
题型二：由定义引起的分类讨论
【典例2-1】设数列和的项数均为，则将数列和的距离定义为．
（1）给出数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；
（2）设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，，和的距离小于4032，求的最大值；
（3）记是所有7项数列的集合，．且T中任何两个元素的距离大于或等于3．证明：T中的元素个数小于或等于16．
【典例2-2】对于无穷数列，给出如下三个性质：①；②对于任意正整数，都有；③对于任意正整数，存在正整数，使得定义：同时满足性质①和②的数列为“s数列”，同时满足性质①和③的数列为“t数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．若为“s数列”，则为“t数列”
B．若，则为“t数列”
C．若，则为“s数列”
D．若等比数列为“t数列”则为“s数列”
【变式2-1】设数列，…，即当时，记为数列前项和.对于，定义集合是的整数倍，，且.则集合中元素的个数为 ；集合中元素的个数为 .
【变式2-2】若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中n为正整数，
(1)证明：数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设，定义，且记，求数列的前n项和．
1．已知，定义.
（1）如果，则 .
（2）如果，则的取值范围是 .
2．数列可以看作是定义在正整数集的特殊函数，具有函数的性质特征，有些周期性的数列和三角函数紧密相连.记数列2，，，2，，，2，，-1，…为，三角形式可以表达为，其中，，.
（1）记数列的前n项和为，求，，及；
（2）求数列的三角形式通项公式.
题型三：由平面图形的可变性引起的分类讨论
【典例3-1】已知圆D：与x轴相交于A、B两点，且圆C：，点．若圆C与圆D相外切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【典例3-2】现有一“v”型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在A点．物件可绕A点在平面内旋转．AP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60°．已知椭圆长轴长为4，短轴长为2．

(1)在某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少；
(2)为了使椭圆物件能自由绕A点自由转动，AP间距离最短为多少.求出最短距离并证明其可行性．
【变式3-1】（多选题）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线交于，（点在点的上方）两点，且，则的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
【变式3-2】在平面直角坐标系内，，，若的面积不超过3，则满足条件的整点M个数为 ．
1．（多选题）已知曲线C：，则（ ）
A．曲线C在第一象限为椭圆的一部分B．曲线C在第二象限为双曲线的一部分
C．直线与曲线C有两个交点D．直线与曲线C有三个交点
2．已知曲线的左右焦点为，P是曲线E上一动点
(1)求的周长；
(2)过的直线与曲线E交于AB两点，且，求直线AB的方程；
(3)若存在过点的两条直线和与曲线E都只有一个公共点，且，求h的值．
题型四：由变量的范围引起的分类讨论
【典例4-1】若是的三条边，且，记，则当时，的取值范围是 .
注:表示数集中最大的数，表示数集中最小的数.
【典例4-2】已知函数.
(1)若，求在区间上的最大值；
(2)求在区间上的最小值.
【变式4-1】已知函数，其中.若在区间[1，4]上的最小值为8，则a的值为 .
【变式4-2】已知函数，其中．
(1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值；
(2)是否存在实数，使得在（为自然对数的底数）上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
1．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)设函数，若是的极大值点，求的值.
2．已知函数．
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若的最小值为1，求．
题型五：由空间图形的可变性引起的分类讨论
【典例5-1】已知长方体中，，，用过该长方体体对角线的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为（ ）
A．B．C．D．
【典例5-2】在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面所成的锐二面角大小为（ ）
A．B．C．D．
【变式5-1】（多选题）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（ ）

A．6B．8C．D．
【变式5-2】（多选题）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为.现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（ ）

A．过棱的截面中，截面面积的最小值为
B．若过棱的截面与棱（不含端点）交于点，则
C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个
1．设四面体中，有2条棱长为，其余4条棱长为1．则实数的取值范围为 ．
2．（多选题）四棱锥的四个侧面都是腰长为，底边长为2的等腰三角形，则该四棱锥的高为（ ）
A．B．C．D．