期末专题复习四　二元一次方程组同步练习2025-2026学年人教版数学七年级下册

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1．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A.x+y=2,y+z=3 B.2x=3y,2x+y=5 C.y=2,x−2y=6 D.x+2y=3,xy=6
2．若x=−1,y=2是关于x，y的二元一次方程mx+2y=3的解，则m的值为( )
A.−1 B.1 C.7 D.2
3．用加减消元法解方程组&x−y=9,①&4x−3y=7② 时，下列方法中能消元的是( )
A.①×3+② B.①×(−4)−② C.①×4+② D.①×3−②
4．《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y ，则可列方程组为( )
A.2x+y−10 000=12x,10000−(x+2y)=12y B.10000−(2x+y)=12x,x+2y−10 000=12y
C.x+2y−10 000=12x,10000−(2x+y)=12y D.2x+y=12x,x+2y=12y
5．已知x，y都是实数，观察表中的运算，则a的值为( )
A.21 B.−21 C.40 D.−56
6．解方程组ax+by=2,cx−7y=8时，一学生把c看错而得到x=−2,y=2,而正确的解是x=3,y=−2,那么a+b+c的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
7．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A.6 B.8 C.12 D.16
8．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m＋n的值可能是( )
A．200 B．201 C．202 D．203
9．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图①，有2+3=5，在图②中，若k的值为8，则x的值为( )
A.115 B.−1 C.1 D.任意实数
10．现代高等代数中将关于x，y的方程组&x+y=5,&x−y=4表示为1151−14 ，这种由方程组中未知数的系数与常数项按照一定顺序排列组成的表称为矩阵.若关于x，y 的二元一次方程组的矩阵是1t3−1m2，且满足4x+y=7，则t与m的关系是( )
A.3t+m=−1 B.m+2t=1 C.2m−t=−1 D.3t−m=1
二、填空题
11．如果把方程3x+y=2写成用含x的代数式表示y的形式，那么y=_______.
12．已知x=1,y=2是方程ax−by=−3 的解，则代数式2a−4b+5的值为____.
13．若(3x+2y−19)​2+|2x+y−11|=0，则x+2y的算术平方根是_____.
14．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg,则一片国槐树叶一年的平均滞尘量是____mg.
15．在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，其落点如图所示，飞镖盘上A区域所得分值和B 区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是32分和34分，则小丽的4次飞镖总分是____分.
三、解答题
16．解方程组(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4y＋1，①,2x－5y＝8；②))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝6，①,2(x＋y)－y＝11. ②))
(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝13，①,3x－2y＝5；②))
(4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝14，,\f(x－2,3)－\f(y－2,2)＝1；))
(5)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.1x＋0.3y＝1.3，,\f(x,2)－\f(y,3)＝1.))
(6)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＋3z＝14，①,2x＋y＋z＝7，②,3x＋y＋2z＝11.③))
17．甲、乙两人在一环形场地上，从起点同时同向匀速跑步．甲的速度是乙的3倍，4 min后两人首次相遇，此时乙还需要跑400 m才跑完第一圈，求甲、乙两人速度及环形场地的周长．(列二元一次方程组解答)
18．为庆祝六一儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1 080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8 640元．求该商场商品打几折？
19．定义：关于x，y 的二元一次方程y=ax+b与y=bx+a互为“共轭二元一次方程”，例如：y=2x+3与y=3x+2 互为“共轭二元一次方程”.
(1)二元一次方程y=4x−1 的“共轭二元一次方程”为____________；
(2)二元一次方程y=3x+5 与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解x=m,y=n,求m，n的值.
20．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题的情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况：
(1)求x，y的值；
(2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？
21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元，销售1辆B型汽车可获利6 000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
x,y 的运算
x+y
x−y
x2+xy−2y2
运算的结果
−3
7
a
第一组
第二组
答错次数
1
2
答对次数
7
9
最终分数
40
45
参考答案
一、选择题
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A.x+y=2,y+z=3 B.2x=3y,2x+y=5 C.y=2,x−2y=6 D.x+2y=3,xy=6
【答案】C
2．若x=−1,y=2是关于x，y的二元一次方程mx+2y=3的解，则m的值为( )
A.−1 B.1 C.7 D.2
【答案】B
3．用加减消元法解方程组&x−y=9,①&4x−3y=7② 时，下列方法中能消元的是( )
A.①×3+② B.①×(−4)−② C.①×4+② D.①×3−②
【答案】D
4．《九章算术》是中国传统数学最重要的数学著作之一，“方程章”第11题大意是：两匹马一头牛总价超过1万，超过部分等于半匹马的价格；一匹马两头牛的总价不足1万，不足部分等于半头牛的价格，问一匹马、一头牛的价格分别是多少？若设一匹马价格为x，一头牛价格为y ，则可列方程组为( )
A.2x+y−10 000=12x,10000−(x+2y)=12y B.10000−(2x+y)=12x,x+2y−10 000=12y
C.x+2y−10 000=12x,10000−(2x+y)=12y D.2x+y=12x,x+2y=12y
【答案】A
5．已知x，y都是实数，观察表中的运算，则a的值为( )
A.21 B.−21 C.40 D.−56
【答案】D
【解析】由题中表格数据，得x+y=−3,x−y=7,解得x=2,y=−5,∴x2+xy−2y2=22+2×(−5)−2×(−5)​2=4−10−50=−56，即a=−56 .
6．解方程组ax+by=2,cx−7y=8时，一学生把c看错而得到x=−2,y=2,而正确的解是x=3,y=−2,那么a+b+c的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】D
7．某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
A.6 B.8 C.12 D.16
【答案】C
【解析】设用x张卡纸做侧面，y张卡纸做底面，则做出侧面的数量为2x，底面的数量为3y.可列方程组为&x+y=14,&2×2x=3y, (卡纸一共有14张，底面数量=2× 侧面数量)解得&x=6,&y=8,∴2x=2×6=12，∴这些卡纸最多可以做成12个包装盒.
8．用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m 张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m＋n的值可能是( )
A．200 B．201 C．202 D．203
【答案】A
9．我们约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，如图①，有2+3=5，在图②中，若k的值为8，则x的值为( )
A.115 B.−1 C.1 D.任意实数
【答案】C
10．现代高等代数中将关于x，y的方程组&x+y=5,&x−y=4表示为1151−14 ，这种由方程组中未知数的系数与常数项按照一定顺序排列组成的表称为矩阵.若关于x，y 的二元一次方程组的矩阵是1t3−1m2，且满足4x+y=7，则t与m的关系是( )
A.3t+m=−1 B.m+2t=1 C.2m−t=−1 D.3t−m=1
【答案】D
【解析】根据题意，得&x+ty=3,①&−x+my=2,②①+②，得(t+m)y=5，解得y=5t+m，把y=5t+m代入①，得x=3−5tt+m.∵4x+y=7，∴ 4(3−5tt+m)+5t+m=7，整理得，3t−m=1 ．
二、填空题
11．如果把方程3x+y=2写成用含x的代数式表示y的形式，那么y=_______.
【答案】2−3x
12．已知x=1,y=2是方程ax−by=−3 的解，则代数式2a−4b+5的值为____.
【答案】−1
13．若(3x+2y−19)​2+|2x+y−11|=0，则x+2y的算术平方根是_____.
【答案】13
【解析】∵(3x+2y−19)​2+|2x+y−11|=0，∴&3x+2y−19=0,&2x+y−11=0,(几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0)解得&x=3,&y=5,∴x+2y=3+2×5=13，∴x+2y的算术平方根是13.
14．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg,则一片国槐树叶一年的平均滞尘量是____mg.
【答案】22
【解析】设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg，由题意，得&x+y=62,&x=2y−4,解得&x=40,&y=22.所以一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22 mg .
15．在课余活动中，小杰、小明和小丽一起玩飞镖游戏，其落点如图所示，飞镖盘上A区域所得分值和B 区域所得分值不同，每人各投4次飞镖，已知小杰和小明的4次飞镖总分分别是32分和34分，则小丽的4次飞镖总分是____分.
【答案】30
三、解答题
16．解方程组(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4y＋1，①,2x－5y＝8；②))
解：把①代入②，得
2(4y＋1)－5y＝8.解得y＝2.
把y＝2代入①，得x＝4×2＋1＝9.
∴这个方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝9，,y＝2.))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝6，①,2（x＋y）－y＝11. ②))
解：把①代入②，得
2×6－y＝11，解得y＝1.
将y＝1代入①，得x＝5.
∴这个方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝1.))
(3)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＝13，①,3x－2y＝5；②))
解：①＋②，得6x＝18.
解得x＝3.
把x＝3代入①，得9＋2y＝13，
解得y＝2.
∴这个方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2.))
(4)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝14，,\f(x－2,3)－\f(y－2,2)＝1；))
解：原方程组变形为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝14，①,2x－3y＝4，②))
①＋②，得3x＝18.解得x＝6.
把x＝6代入①，得6＋3y＝14.解得y＝eq \f(8,3).
∴这个方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝6，,y＝\f(8,3).))
(5)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0.1x＋0.3y＝1.3，,\f(x,2)－\f(y,3)＝1.))
解：原方程组整理，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＝13，①,3x－2y＝6，②))
①×3－②，得11y＝33.解得y＝3.
把y＝3代入①，得x＋9＝13.解得x＝4.
∴这个方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝3.))
(6)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＋3z＝14，①,2x＋y＋z＝7，②,3x＋y＋2z＝11.③))
解：③－②，得x＋z＝4.④②×2－①，得3x－z＝0.⑤
④与⑤组成方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋z＝4，,3x－z＝0，))解这个方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,z＝3.))
把x＝1，z＝3代入②，得y＝2.
∴这个方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2，,z＝3.))
17．甲、乙两人在一环形场地上，从起点同时同向匀速跑步．甲的速度是乙的3倍，4 min后两人首次相遇，此时乙还需要跑400 m才跑完第一圈，求甲、乙两人速度及环形场地的周长．(列二元一次方程组解答)
解：设乙的速度为x m/min，则甲的速度为3x m/min，环形场地的周长为y m，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x×4－4x＝y，,4x＋400＝y，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝100，,y＝800.))
∴乙的速度为100 m/min，
则甲的速度为3×100＝300eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m/min)).
答：乙的速度为100 m/min，甲的速度为300 m/min，环形场地的周长为800 m.
18．为庆祝六一儿童节，某商场全部商品打折出售．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1 080元，买50件A商品和10件B商品用了840元；打折后，买500件A商品和400件B商品用了8 640元．求该商场商品打几折？
解：设打折前，一件A商品x元，一件B商品y元，由题意，得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(60x＋30y＝1 080，,50x＋10y＝840，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝16，,y＝4.))
设打折时，商场商品打m折，由题意，得
16×500×eq \f(m,10)＋4×400×eq \f(m,10)＝8 640，解得m＝9.
答：做活动时，该商场商品打9折．
19．定义：关于x，y 的二元一次方程y=ax+b与y=bx+a互为“共轭二元一次方程”，例如：y=2x+3与y=3x+2 互为“共轭二元一次方程”.
(1)二元一次方程y=4x−1 的“共轭二元一次方程”为____________；
【答案】y=−x+4
(2)二元一次方程y=3x+5 与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解x=m,y=n,求m，n的值.
解：二元一次方程y=3x+5的“共轭二元一次方程”是y=5x+3 ，∵ 二元一次方程y=3x+5 与它的“共轭二元一次方程”有一个相同的解x=m,y=n,∴3m+5=n,5m+3=n,解得m=1,n=8.
20．某班数学课上采用小组积分制记录同学们回答问题的情况，上课前每组有20分的基本分，积分规则如下：①答错一次减x分；②答对一次加y分．下表是某堂课上记录的两个组得分情况：
(1)求x，y的值；
(2)如果第三组答错3次，最终分数是41，求出第三组答对多少次？
解：(1)根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(20－x＋7y＝40，,20－2x＋9y＝45))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3.))
(2)设第三组答对n次，根据题意，得
20－3×1＋3n＝41，解得n＝8，
答：第三组答对8次．
21．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．
(1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
(2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，请你帮助该公司设计购买方案；
(3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8 000元，销售1辆B型汽车可获利6 000元，在(2)中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
解：(1)设A种型号的汽车每辆进价为a万元，B种型号的汽车每辆进价为b万元，由题意可得
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a＋3b＝80，,3a＋2b＝95，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝25，,b＝10.))
答：A，B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元．
(2)设购买A型号的汽车m辆，B型号的汽车n辆，由题意可得
25m＋10n＝180且m＞0，n＞0，
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝2，,n＝13.))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝4，,n＝8))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝6，,n＝3.))
所以该公司共有三种购买方案：
方案一：购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车；
方案二：购买4辆A型汽车，购买8辆B型汽车；
方案三：购买6辆A型汽车，购买3辆B型汽车．
(3)当m＝2，n＝13时，
获得的利润为8 000×2＋6 000×13＝94 000(元)；
当m＝4，n＝8时，
获得的利润为8 000×4＋6 000×8＝80 000(元)；
当m＝6，n＝3时，
获得的利润为8 000×6＋6 000×3＝66 000(元)；
由上可得，最大利润为94 000元．
所以购买2辆A型汽车，购买13辆B型汽车获利最大，最大利润为94 000元．x,y 的运算
x+y
x−y
x2+xy−2y2
运算的结果
−3
7
a
第一组
第二组
答错次数
1
2
答对次数
7
9
最终分数
40
45