2025-2026学年陕西省汉中市勉县仁德学校高二（下）期中数学试卷

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1.设集合A={1，3，5，7}，B={x|x2＜10}，则A∩B=（ ）
A. {0，2}B. {1，3}C. {5，7}D. {1，3，5，7}
2.设，则的虚部是（ ）
A. B. C. D.
3.已知集合A={a,0，1}，B={x∈R|x2≤1}，则“a=-1”是“A⊆B”的（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
4.设{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S3=S8，则a6=（ ）
A. 8B. 6C. 3D. 0
5.已知函数，则f（x）（ ）
A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数
C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数
6.已知角α的终边经过点P（-1，2），则=（ ）
A. B. C. D.
7.函数f（x）=xsinx的图象在处的切线方程为（ ）
A. B. C. y=xD.
8.已知数列{an}满足，则下列结论中不正确的有（ ）
A. 为等比数列B. {an}的通项公式为
C. {an}为递增数列D. 的前n项和
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知x≥0，y≥0，且x+y=1，则下列结论正确的是（ ）
A. 0≤x≤1B. xy的最大值是
C. x2+y2的最小值是D. 的最小值是
10.已知等比数列{an}中，满足a1=1，q=3，Sn是{an}的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列{a3n}是等比数列
B. 数列是递减数列
C. 数列{lg3an}是等差数列
D. 数列{an}中，S10，S20，S30仍成等比数列
11.已知函数，其导函数为f′（x），则（ ）
A. 直线y=-2x是曲线y=f（x）的切线
B. f（x）有三个零点
C. f′（2-x）=f′（x）
D. 若f（x）在区间（a,a+4）上有最大值，则a的取值范围为（-4，0）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量=（l，2），=（x，-2），且丄（-），则实数x=______．
13.△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若a=1，B=60°，△ABC的面积，则b= .
14.已知函数f（x）对于任意x∈R，都有f（x）=f（2-x），且当x≤1时，f（x）=.若函数g（x）=m|x|-2-f（x）恰有3个零点，则m的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数的部分图象如图所示．
（1）求A，ω的值；
（2）求f（x）的单调增区间；
（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
16.(本小题15分)
某校对2024年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[30，50），[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该校高一上学期期末数学考试成绩的平均数；
（3）为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于[50，90）的学生中用分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生的分数不在同一组内的概率.
17.(本小题15分)
如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，AB=2，∠ABC=60°，M是AB的中点．
（1）求证：EM⊥AD；
（2）求二面角A-BE-C的余弦值；
（3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
已知数列{an}中，a1=1，
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）设数列{bn}满足：，求{bn}的前n项和Tn．
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ax-2lnx.
（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）当x＞1时，不等式f（x）＜（x-2）lnx+2x+a-1恒成立，求整数a的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】ABC
11.【答案】BC
12.【答案】9
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）根据函数的部分图象，
可得A=2，•=-，∴ω=2．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+），令2kπ-≤2x+≤2kπ+，
求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．
（3）在区间上，2x+∈[0，]，故当2x+=0时，函数f（x）取得最小值为2sin0=0；
当2x+=时，函数f（x）取得最小值为2sin=2．
16.【答案】a=0.01 93分
17.【答案】证明：（1）∵EA=EB，M是AB的中点，
∴EM⊥AB，
∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE∩平面ABCD=AB，EM⊂平面ABE，
∴EM⊥平面ABCD，
又AD⊂平面ABCD，
∴EM⊥AD．
解：（2）∵EM⊥平面ABCD，MC⊂平面ABCD，
∴EM⊥MC，
菱形ABCD中，∠ABC=60°，所以△ABC是正三角形，
∴MC⊥AB．
∴MB、MC、ME两两垂直．
建立如图所示空间直角坐标系M-xyz．
则M（0，0，0），A（-1，0，0），B（1，0，0），C（0，，0），
E（0，0，），=（-1，，0），=（-1，0，），
设=（x，y，z）是平面BCE的一个法向量，
则，
令z=1，得=（），
∵y轴与平面ABE垂直，
∴=（0，1，0）是平面ABE的一个法向量．
cs＜＞===，
∴二面角A-BE-C的余弦值为．
（3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°．
=（1，0，），=（0，），
设==（0,，-），（0≤λ≤1），
则=，
∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，
∴sin45°=|cs＜＞|=​​​​​​​
​​​​​​​==，
由0≤λ≤1，解得，
∴在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，且=．
18.【答案】（12分）
证明：（1）∵a1=1，，
∴，∴，…（2分）
又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列． …（4分）
解：（2）∵数列是首项为1，公差为3的等差数列，
∴，
∴； …（6分）
（3）∵…（7分）
∴…+（3n-5）×2n-1+（3n-2）×2n…（8分）
+…+（3n-5）×2n+（3n-2）×2n+1…（9分）
∴…+3×2n-（3n-2）×2n+1…（10分）
=
=2-12+3×2n+1-（3n-2）×2n+1
=-10+（5-3n）×2n+1…（11分）
∴．…（12分）
19.【答案】解：（1）当a=1时，则f（x）=x-2lnx,
可知f（x）的定义域为（0，+∞），且，
令f′（x）＜0，解得x∈（0，2）；令f′（x）＞0，解得x∈（2，+∞），
可知f（x）的单调递减区间是（0，2），单调递增区间是（2，+∞），
所以函数f（x）的最小值为f（2）=2-2ln2．
（2）由题意可知f（x）的定义域为（0，+∞），且，
当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，
所以f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调递增区间．
当a＞0时，令f′（x）=0解得，
令f′（x）＜0，解得；令f′（x）＞0，解得，
所以f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是；
综上所述：当a≤0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞），无单调递增区间；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间是，单调递增区间是．
（3）当x＞1时，不等式f（x）＜（x-2）lnx+2x+a-1恒成立，
即ax-2lnx＜（x-2）lnx+2x+a-1，整理可得，
原题意等价于对任意x＞1恒成立，
令，
则，
令h（x）=x-lnx-2，x＞1，则，
所以h（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
所以h（x）在区间（1，+∞）内存在唯一零点x0∈（3，4），
即x0-lnx0-2=0，所以lnx0=x0-2，
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，即g′（x）＜0；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g′（x）＞0；
可知g（x）在区间（1，x0）上单调递减，在区间（x0，+∞）上单调递增；
所以=，
因为x0∈（3，4），则x0+1∈（4，5），即g（x）min∈（4，5），
且a为整数，则a≤4，所以整数a的最大值是4．