新高考数学一轮复习考点讲练测第4章第01讲 三角函数概念与诱导公式（九大题型）（练习）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点讲练测第4章第01讲 三角函数概念与诱导公式（九大题型）（练习）（2份，原卷版+解析版），共6页。试卷主要包含了与角终边相同的角是，集合中的角所表示的范围是，把表示成的形式，则θ的值可以是，若角是第二象限角，则是，已知θ为第二象限角，若，则在，若是第一象限角，则是等内容，欢迎下载使用。
题型一：终边相同的角的集合的表示与区别
1．与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为与角终边相同的角是，，
所以当时，与角终边相同的角是，D选项符合，其他选项不满足.
故选：D
2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】当时，，此时表示的范围与表示的范围一样；
当时，，此时表示的范围与表示的范围一样，
故选：C．
3．与终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
与终边相同的角可以写成的形式，
时，，315°换算成弧度制为，所以C错误，D正确．
故选：D．
4．把表示成的形式，则θ的值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵，∴，
故选：B．
题型二：等分角的象限问题
5．如果角的终边在第三象限，则的终边一定不在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】∵α为第三象限角，∴，
∴，
令，，时，，，
可得的终边在第一象限；
令，时，，，
可得的终边在第三象限，
令，时，，，
∴可得的终边在第四象限，
故选:B．
6．若角是第二象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
【答案】C
【解析】由题意可知，
当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴，
当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴，
即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限.
故选：C.
7．已知θ为第二象限角，若，则在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】因为θ为第二象限角，
所以，
则，
当时，，当时，，
因为，
所以，所以在第三象限，
故选:C
8．若是第一象限角，则是（ ）
A．第一象限角B．第一、四象限角
C．第二象限角D．第二、四象限角
【答案】D
【解析】由题意知，，，
则，所以，．
当k为偶数时，为第四象限角；当k为奇数时，为第二象限角．
所以是第二或第四象限角.
故选：D.
题型三：弧长与扇形面积公式的计算
9．已知一个扇形圆心角，所对的弧长，则该扇形面积为 ．
【答案】
【解析】因为扇形圆心角，且所对的弧长，
设扇形所在圆的半径为，可得，解得，
所以扇形的面积为.
故答案为：.
10．（2024·高三·浙江金华·期末）已知一圆锥的侧面展开图是圆心角为且半径为1的扇形，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】/
【解析】圆锥的侧面积即是侧面展开图对应的扇形的面积，
所以侧面积.
故答案为：.
11．已知扇形的周长为，则这个扇形的面积为，则该扇形圆心角的弧度数为 ．
【答案】或
【解析】设扇形半径为，
由题意可知：扇形的弧长为，
则扇形的面积为，解得或2，
可得扇形的弧长为或3，所以该扇形圆心角的弧度数为或.
故答案为：或.
12．（2024·宁夏·二模）最美数学老师手表上的时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积是 平方厘米．
【答案】/
【解析】时针长度是1厘米，则时针（时）转出的扇形面积（平方厘米）．
故答案为：
13．已知一扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，若扇形周长为20，当这个扇形的面积最大时，则圆心角 弧度．
【答案】.
【解析】由题意，扇形的圆心角为，半径为r，弧长为l，且扇形周长为20，
可得，即，
则扇形的面积，
当时，扇形面积取得最大值，此时.
故答案为：.
题型四：割圆术问题
14．刘徽（约公元225年年），魏晋时期伟大的数学家，中国古代数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的重要阐释.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形，当变得很大时，这些等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，得到的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】将一个单位圆分成360个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为，
∵这360个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，
∴，
∴.
故选：B.
15．2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆心角为，每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正边形的周长为，
单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，
，
则.
故选：A.
16．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）刘徽（约公元225年—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作．割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形（如图所示），当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设圆的半径为，依题意小扇形的圆心角为，
依题意，小扇形的面积近似等于小等腰三角形的面积，
故，化简得.
故选：D
题型五：三角函数的定义
17．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，锐角以为顶点，为始边.将的终边绕逆时针旋转后与单位圆交于点，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，
由，，得，
所以.
故选：D
18．已知角终边上一点，若，则的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】由角终边上一点，得，因此，解得，
所以的值为.
故选：D
19．如图所示，在平面直角坐标系中，动点、从点出发在单位圆上运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、两点在第4次相遇时，点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】相遇时间为秒，
故转过的角度为，
其对应的坐标为，即.
故选：C
题型六：象限符号与坐标轴角的三角函数值
20．如果是第一象限角，则（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【答案】C
【解析】因为是第一象限角，则，，
所以，，
所以是第一或第三象限角，则或，，故排除B、D；
又，，
所以的终边在第一、第二象限或在轴的非负半轴上，则，
当的终边在轴的非负半轴上时，无意义，故排除A.
故选：C
21．（2024·高三·河北·期末）“是第二象限角”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：若是第二象限角，则，，可推出，充分性成立；
必要性：若，即与异号，则为第二象限或第三象限角，必要性不成立；
故选：A
22．已知点在第三象限，则角在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】∵点在第三象限，∴，∴在第四象限.
故选：D.
23．（多选题）若，则角的终边可能在（ ）
A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【答案】BD
【解析】由题意可得：，即同号，
所以角的终边可能在第一象限或第三象限.
故AC错误，BD正确.
故选：BD.
题型七：弦切互化求值
24．若，则 ．
【答案】/
【解析】因为，
所以.
故答案为：.
25．（多选题）已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】，
，
，故A正确B错误；
由，所以，，
又，
所以，故C错误D正确.
故选：AD
26．（多选题）已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为，平方可得，
解得，
因为，所以，所以，所以A正确；
又由，
所以，所以D正确；
联立方程组 ，解得，所以B正确；
由三角函数的基本关系式，可得，所以C错误.
故选：ABD
27．已知是关于的方程的两个实根，则的值为 ．
【答案】/
【解析】因为，是关于的方程的两个实根，
可得，平方可得，可得，
所以.
故答案为：
28．设，则
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以.
故答案为：
29．（2024·吉林长春·三模）已知，且，则 ．
【答案】
【解析】因为，
所以.
故答案为：
题型八：诱导求值与变形
30．已知是第三象限角，且，则 ， .
【答案】 /
【解析】由二倍角公式得：，
因为是第三象限角，所以解得，
再由平方关系解得：，
所以，，
所以，
，
故答案为：.
31．已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为，
所以.
故选：C
32．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，可得.
故选：C.
33．已知，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由可得，即，当且仅当时，等号成立，
又因，故，所以，，
因此.
故选：D.
题型九：同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用
34．已知，且为第三象限角．
(1)求，的值；
(2)求的值．
【解析】（1）因为，，
所以，又为第三象限角，
所以，所以；
（2）由诱导公式化简得：
．
35．已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
【解析】（1）由题意得，；
（2），
.
36．已知函数
(1)化简；
(2)若，求､的值；
(3)若，求的值.
【解析】（1）
（2）因为，所以为第三象限角或第四象限角.
当为第三象限角时，；
当为第四象限角村，.
（3）因为，所以.
因为，所以.
故.
因此.
1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环，如图（2），砖雕厚度为6cm，，，所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位：）（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
延长与交于点．由，，得，．
因为所对的圆心角为直角，所以，．
所以该梅花砖雕的侧面积，
扇环的面积为，
则该梅花砖雕的表面积．
故选：C．
2．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的扇面多为扇环形.已知某纸扇的扇面如图所示，其中外弧长与内弧长之和为，连接外弧与内弧的两端的线段长均为，且该扇环的圆心角的弧度数为2.5，则该扇环的内弧长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
如图，设弧的长为，弧的长为.
因为该扇形的圆心角的弧度数为2.5，
所以，，
即，.
因为，所以.
又因为，
联立可得，
解得，所以该扇环的内弧长为.
故选：A
3．已知扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为6，则该扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为扇形的圆心角弧度为2，所对弦长为，为圆心，如下图，
取的中点，连接，则，则，
则扇形的半径，所以扇形的弧长，
.
故选：D.
4．（2024·山东济南·二模）质点和在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，同时出发.的角速度大小为，起点为圆与轴正半轴的交点；的角速度大小为，起点为圆与射线的交点.则当与第2024次重合时，的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设两质点重合时，所用时间为，则重合点坐标为，
由题意可知，两质点起始点相差角度为，
则，解得，
若，则，则重合点坐标为，
若，则，则重合点坐标为，即，
若，则，则重合点坐标为，即，
当与第2024次重合时，，则，
则重合点坐标为，即.
故选：B.
5．（2024·山东济南·三模）若，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以，
所以，
故选：B
6．（2024·北京通州·二模）在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可得，
所以.
故选：B.
7．（2024·辽宁抚顺·模拟预测）一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆的交点的坐标，无论是横坐标还是纵坐标，都是唯一确定的，所以点的横坐标、纵坐标都是角的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点的纵坐标叫作的正弦函数，记作，即；
②把点的横坐标叫作的余弦函数，记作，即；
③把点的纵坐标的倒数叫作的余割，记作，即；
④把点的横坐标的倒数叫作的正割，记作，即.
下列结论正确的有（ ）
A．
B．当时，
C．函数的定义域为
D．当且时，
【答案】ABD
【解析】选项A：，故A正确.
选项B：当时，成立，故B正确.
选项C：函数的定义域为，故C错误.
选项D：当且时，
，成立，当且仅当时，等号成立，故D正确.
故选：ABD.
8．（2024·北京·三模）“为锐角三角形”是“，，”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】充分性：
因为为锐角三角形，
所以，即，
所以，
同理可得，，
故充分性得证；
必要性：
因为，所以，
因为，所以，
若，则，
若，则，所以，
综上，，
同理，
所以为锐角三角形，
必要性得证，
综上所述，为充分必要条件.
故选：C.
9．（多选题）（2024·湖南邵阳·三模）下列说法正确的有（ ）
A．若角的终边过点，则角的集合是
B．若，则
C．若，则
D．若扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的半径是
【答案】ABC
【解析】因为角的终边过点，为第一象限角，
所以由三角函数的定义知，所以角的终边与终边相同，
所以角的集合是，故A选项正确；
因为，所以B选项正确；
因为，所以C选项正确；
设扇形的半径为，圆心角为，因为扇形所对的弧长为，
所以扇形周长为，故，所以D选项不正确．
故选：ABC
10．（多选题）（2024·高三·山东济宁·开学考试）在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】BD
【解析】由题意，所以或，
所以.
故选：BD.
11．（多选题）（2024·吉林长春·一模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】由得，，则，
因为，，
所以，所以，
由，解得，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，因为，所以，则，
，即，
解得或（舍去），故C正确；
对于D，，故D错误，
故选：BC．
12．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知，则
【答案】/0.8
【解析】由所以
故答案为：.
13．已知，，则 .
【答案】/
【解析】由可得，故，
又，解得或，
由于，，故，
又，故，因此，
故，
故答案为：
14．（2024·湖北十堰·模拟预测）已知，则 ．
【答案】/
【解析】将两边平方，得，即，因为，所以，所以，故．
故答案为：.
15．（2024·高三·江苏南通·开学考试）已知、是方程的两个实数根.
(1)求实数的值；
(2)求的值；
(3)若，求的值.
【解析】（1）因为、是方程的两个实数根，
由韦达定理得，
由，
则，
所以；
（2）
；
（3）因为，
所以 ，
所以，
因为 ，
所以，，，
所以.
16．（2024·福建福州·一模）已知
（1）求的值；
（2）若，且角终边经过点，求的值
【解析】（1）∵，∴，
即，
∴
（2）由（1）得，
又，，
，
又角终边经过点，

1．（2021年全国新高考I卷数学试题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
2．（2015年山东省春季高考数学真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】终边在轴正半轴上的角的集合是
故选：A
3．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若α为第四象限角，则（ ）
A．cs2α>0B．cs2α0D．sin2α