2025--2026学年河北省张家口市桥东区八年级下册期末考试数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年河北省张家口市桥东区八年级下册期末考试数学试题 [含答案]试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+3xB．2x+1＝7C．x2＝3D．x2+2y＝2
2．（3分）等腰三角形的一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角的度数是（ ）
A．35°B．55°C．35°或55°D．110°
3．（3分）下列分式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，点A，B在数轴上，且点A在点B的左侧，点A，B表示的数分别为1﹣a和，则a的值可能为（ ）
A．﹣4B．0C．﹣2D．﹣1
6．（3分）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44B．55C．66D．77
7．（3分）如图，将直角三角形ABC沿边AC的方向平移到三角形DEF的位置，若CD＝6，AF＝14，则点B与点E的距离为（ ）
A．8B．4C．6D．3
8．（3分）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是DE上一点．已知AC＝6，DF＝1，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．（3分）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，若一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
A．x＝15，y＝30B．x＝10，y＝20C．x＝15，y＝20D．x＝10，y＝30
11．（3分）对于，，嘉嘉和淇淇给出如下结论：
嘉嘉：当x＞0时，M﹣N＞0．
淇淇：当x＝2时，M＝N．则下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇错B．嘉嘉错，淇淇对
C．嘉嘉、淇淇都对D．嘉嘉、淇淇都不对
12．（3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝9，点E、F分别在AD、BC边上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处．有以下三个结论：
①△EFH是等腰三角形 ②连接CE，则四边形CFHE是菱形 ③当点H与点A重合时，EF＝（ ）
A．只有①正确B．只有②不正确
C．只有③不正确D．①②③都正确
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分）
13．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是 六 边形．
14．（3分）设[a]表示小于a的最大整数，则[2.5]+[﹣3.6]的值为 ﹣2 ．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则它的另一个根是 ﹣ ．
16．（3分）邻边长分别为3，a（a＞3）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于3的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 5或4 ．
三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算
习题课上老师给了一道方程：x2+2x＝3x+6．
（1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第 二 步开始错误，琪琪从第 二 步开始错误；
（2）写出方程正确的解答过程．
18．（6分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了．
（1）被污染的整式◆＝ 2x﹣1 ；■＝ x2﹣4x+3 ；
（2）已知x≠1，判断整式◆与■的和与1的大小关系，并说明理由．
19．（6分）如图，已知l1∥l2，点A，B分别在l1，l2上．
（1）用无刻度的直尺和圆规分别在l1，l2上作点D，C，使得四边形ABCD是菱形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若菱形的周长为20cm，AC＝6cm，求菱形的高．
20．（6分）如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，如图所示．
（1）若设正方形的边长为x m，则栽种鲜花区域（阴影部分）的面积为 （3x﹣2） m2（用含x的代数式表示，要求结果最简）；
（2）如果剩余空地面积为12m2，求正方形的边长x的值．
21．（7分）情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片ABCD．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作：嘉嘉将图1所示的纸片ABCD通过裁剪拼成了图2的等边三角形EFG．嘉嘉沿虚线EK、EH、EJ裁剪三刀，将纸片剪成①﹣④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题：
（1）∠CEK的度数为 30° ，EK＝ ；
（2）直接写出图2中三条裁剪线EH、EJ、EK的数量关系，并计算等边三角形EFG的边长；
探究：
（3）淇淇说：“将图1所示纸片ABCD沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）．
22．（7分）根据以下素材，探索完成任务：
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，x轴上有一点A（﹣3，0），C（﹣2，0），过点C作CD∥y轴，设点D的纵坐标为a，将点A先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度得到点B．
（1）在图中画出直线AB，并求直线AB的解析式；
（2）若直线AB与线段CD有交点，求a的取值范围；
（3）若直线y＝kx﹣k+2与x轴，直线AB围成的封闭图形（不包括边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点），直接写出k的取值范围．
24．（8分）如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，点P为边AB上的一个动点，连接CP，将CP绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，设AP＝x．
（1）PC的最小值为 ，此时x＝ 1 ；
（2）当∠BPQ＝15°时，∠BPC＝ 75°或105° ；
（3）当点Q落在BC上时，求x的值；
（4）连接BQ，直接写出BQ的最小值．
河北省张家口市桥东区2025-2026学年下学期八年级期末数学试卷
答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分；共36分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列属于一元二次方程的是（ ）
A．x2+3xB．2x+1＝7C．x2＝3D．x2+2y＝2
解：x2+3x不是等式，则A不符合题意，
2x+1＝7中未知数的次数是1，则B不符合题意，
x2＝3符合一元二次方程的定义，则C符合题意，
x2+2y＝2中含有2个未知数，则D不符合题意，
故选：C．
2．（3分）等腰三角形的一个内角为110°，则这个等腰三角形的底角的度数是（ ）
A．35°B．55°C．35°或55°D．110°
解：∵等腰三角形的一个内角是110°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为35°，
故选：A．
3．（3分）下列分式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A．a+＝，所以A选项不符合题意；
B． ＝﹣＝﹣1，所以B选项符合题意；
C． 为最简分式，所以C选项不符合题意；
D．m÷•n＝m•n•n＝mn2，所以D选项不符合题意；
故选：B．
4．（3分）根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：A、∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
B、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵∠ACB＝∠DAC＝40°，
∴AD∥BC，
∵AB＝CD，
∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
D、∠ACB＝∠CAD＝40°，
∴AD∥BC，
∵∠ABD＝∠BDC＝35°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，点A，B在数轴上，且点A在点B的左侧，点A，B表示的数分别为1﹣a和，则a的值可能为（ ）
A．﹣4B．0C．﹣2D．﹣1
解：由图可知为1﹣a＜，
解不等式2﹣2a＜3﹣a，
a＞﹣1，
∴只有选项B符合题意．
故选：B．
6．（3分）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44B．55C．66D．77
解：原式＝
＝
＝
＝，
A、当n＝44时，44＝22×11，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项A不符合题意；
B、当n＝55时，55＝11×5，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项B不符合题意；
C、当n＝66时，66＝2×3×11，是11×23×3×53的因子，可使结果为整数，故选项C不符合题意；
D、当n＝77时，77＝7×11，不是11×23×3×53的因子，不可使结果为整数，故选项D符合题意；
故选：D．
7．（3分）如图，将直角三角形ABC沿边AC的方向平移到三角形DEF的位置，若CD＝6，AF＝14，则点B与点E的距离为（ ）
A．8B．4C．6D．3
解：设BE＝x，
∵将直角△ABC沿边AC的方向平移到△DEF的位置，
∴BE＝AD＝CF＝x，
∵CD＝6，AF＝14，
∴x+6+x＝14，
解得：x＝4，
∴点B与点E的距离为4．
故选：B．
8．（3分）亮亮在解一元二次方程x2﹣6x+□＝0时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有实数根，则丢掉的常数项的最大值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
解：设常数项为c，
根据题意得Δ＝（﹣6）2﹣4c≥0，
解得c≤9，
所以c的最大值为9．
故选：C．
9．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，点F是DE上一点．已知AC＝6，DF＝1，连接AF、CF，若∠AFC＝90°，则BC的长度为（ ）
A．6B．7C．8D．9
解：延长AF交BC于M，
∵∠AFC＝90°，E是AC的中点，
∴EF＝AC，
∴FE＝EC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∴∠MCF＝∠EFC，
∴∠ECF＝∠MCF，
∵∠AFC＝∠CFM＝90°，
∴∠CAM＝∠CMA，
∴MC＝AC＝6，
∵CF⊥AM，
∴AF＝MF，
∵D是AB中点，
∴DF是△ABM的中位线，
∴MB＝2DF＝2，
∴BC＝CM+BM＝6+2＝8．
故选：C．
10．（3分）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，若一次服用这种药品的剂量范围是x～ymg，则x，y的值分别为（ ）
A．x＝15，y＝30B．x＝10，y＝20C．x＝15，y＝20D．x＝10，y＝30
解：若分2次服用，30÷2＝15（mg），60÷2＝30（mg），
则一次服用这种药品的剂量范围是15～30mg；
若分3次服用，30÷3＝10（mg），60÷3＝20（mg），
则一次服用这种药品的剂量范围是10～20mg．
所以一次服用这种药品的剂量范围是10～30mg时间，
所以x＝10，y＝30．
故选：D．
11．（3分）对于，，嘉嘉和淇淇给出如下结论：
嘉嘉：当x＞0时，M﹣N＞0．
淇淇：当x＝2时，M＝N．则下列说法正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇错B．嘉嘉错，淇淇对
C．嘉嘉、淇淇都对D．嘉嘉、淇淇都不对
解：根据题意可知，，
当x＞0时，x+2＞0，（x﹣2）2≥0，
∴M﹣N≥0，故嘉嘉错；
当x＝2时，，
∴M＝N，故淇淇对；
∴嘉嘉错，淇淇对．
故选：B．
12．（3分）如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝9，点E、F分别在AD、BC边上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处．有以下三个结论：
①△EFH是等腰三角形 ②连接CE，则四边形CFHE是菱形 ③当点H与点A重合时，EF＝（ ）
A．只有①正确B．只有②不正确
C．只有③不正确D．①②③都正确
解：①∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠HEF＝∠CFE，
由折叠性质得：∠CFE＝∠HFE，
∴∠HEF＝∠HFE，
∴EH＝FH，
∴△EFH是等腰三角形，
故结论①正确；
②连接CE，CH，如图1所示：
由折叠性质得：EF是线段CH的垂直平分线，FC＝FH，
∴EH＝EC＝FC＝FH，
∴四边形CFHE是菱形，
故结论②正确；
③当点H与点A重合时，连接AC交EF与点O，连接CE，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝3，BC＝9，
∴∠B＝90°，
在△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝＝，
∵四边形CFAE是菱形，
∴CF＝FA，OC＝OA＝AC＝，OE＝OF＝EF，∠FOC＝90°，
∴EF＝2OF，
设CF＝FA＝a，则BF＝BC﹣CF＝10﹣a，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AB2+BF2＝AF2，
∴32+（10﹣a）2＝a2，
解得：a＝，
∴CF＝a＝，
在Rt△CFO中，由勾股定理得：OF＝＝＝，
∴EF＝2OF＝＝，
故结论③不正确，
综上所述：在结论①②③中，只有③不正确，
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分；共12分）
13．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是 六 边形．
解：设多边形边数为n，可列方程为：
360°×2＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6．
故六．
14．（3分）设[a]表示小于a的最大整数，则[2.5]+[﹣3.6]的值为 ﹣2 ．
解：根据题意得[2.5]+[﹣3.6]＝2+（﹣4）＝﹣2，
故﹣2．
15．（3分）已知关于x的一元二次方程5x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则它的另一个根是 ﹣ ．
解：把x＝2代入5x2+kx﹣6＝0，
可得：20+2k﹣6＝0，
解得：k＝﹣7，
设另一个根为x，则
5x2﹣7x﹣6＝0，
解得x＝﹣或x＝2，
故﹣．
16．（3分）邻边长分别为3，a（a＞3）的平行四边形纸片，如图那样折一下，剪下一个边长等于3的菱形（称为第一次操作）；再把剩下的平行四边形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时平行四边形一边长的菱形（称为第二次操作）；再把剩下的平行四边形如此反复操作下去，若在第三次操作后，剩下的平行四边形为菱形，则a的值 5或4 ．
解：①如图，经历三次折叠后，四边形IJHF为菱形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝3，
∴DF＝CE＝a﹣3，
∵四边形GCEH为菱形，
∴GC＝CE＝a﹣3，
∴DG＝FH＝3﹣（a﹣3）＝6﹣a，
∵四边形DGJI为菱形，
∴DI＝DG＝6﹣a，
∴IF＝a﹣3﹣（6﹣a）＝2a﹣9，
∵四边形IJHF为菱形，
∴IF＝HF，即6﹣a＝2a﹣9，
解得：a＝5；
②如图，经历三次折叠后，四边形DIHF为菱形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝3，
∴DF＝CE＝a﹣3，
∵四边形JCEG，IJGH，DIHF都为菱形，
∴DI＝CD＝2或CD＝1
∴a﹣3＝2或a﹣3＝1
解得：a＝5或4；
综上：a的值为5．
故5或4．
三、解答题（共8个小题，共52分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（5分）计算
习题课上老师给了一道方程：x2+2x＝3x+6．
（1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第 二 步开始错误，琪琪从第 二 步开始错误；
（2）写出方程正确的解答过程．
解：（1）她们的解法都是错误的，嘉嘉从第二步开始错误，琪琪从第二步开始错误；
故二，二；
（2）原方程可化为：x2﹣x﹣6＝0，
∴（x+2）（x﹣3）＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝3．
18．（6分）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程，部分被污染了．
（1）被污染的整式◆＝ 2x﹣1 ；■＝ x2﹣4x+3 ；
（2）已知x≠1，判断整式◆与■的和与1的大小关系，并说明理由．
解：（1）由条件可得◆＝2x﹣1，■＝x2﹣4x+3；
故2x﹣1，x2﹣4x+3；
（2）由条件可得：◆+■﹣1＝2x﹣1+x2﹣4x+3﹣1＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2＞0，
∴◆与■的和大于1．
19．（6分）如图，已知l1∥l2，点A，B分别在l1，l2上．
（1）用无刻度的直尺和圆规分别在l1，l2上作点D，C，使得四边形ABCD是菱形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若菱形的周长为20cm，AC＝6cm，求菱形的高．
解：（1）如图，四边形ABCD即为所求；
（2）连接AC，BD交于点O，过点A作AH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是菱形，周长为20cm，
∴BC＝5，AC⊥BD，
∴OA＝OC＝AC＝3cm，
∴OB＝OD＝＝＝4（cm），
∴BD＝8（cm），
∵BC•AH＝•AC•BD，
∴AH＝，
∴菱形的高为．
20．（6分）如图，某校进行校园改造，准备将一块正方形空地划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，如图所示．
（1）若设正方形的边长为x m，则栽种鲜花区域（阴影部分）的面积为 （3x﹣2） m2（用含x的代数式表示，要求结果最简）；
（2）如果剩余空地面积为12m2，求正方形的边长x的值．
解：（1）设正方形的边长为x m，则栽种鲜花区域（阴影部分）的长为（x﹣1）m，宽为（x﹣2）m，
∴栽种鲜花区域（阴影部分）的面积为：x2﹣（x﹣1）（x﹣2）＝（3x﹣2）（m2），
故（3x﹣2）；
（2）根据题意得：（x﹣1）（x﹣2）＝12，
整理得：x2﹣3x﹣10＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣2（不符合题意，舍去），
答：正方形的边长x的值为5m．
21．（7分）情境：图1是由一个边长为4的等边三角形纸片沿一条中位线去掉一个等边三角形后得到的“完美梯形”纸片ABCD．将该纸片通过裁剪，可拼接为新的等边三角形（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作：嘉嘉将图1所示的纸片ABCD通过裁剪拼成了图2的等边三角形EFG．嘉嘉沿虚线EK、EH、EJ裁剪三刀，将纸片剪成①﹣④四块，再将①、③、④移动到新的位置进行拼接．根据嘉嘉的拼接过程解答下列问题：
（1）∠CEK的度数为 30° ，EK＝ ；
（2）直接写出图2中三条裁剪线EH、EJ、EK的数量关系，并计算等边三角形EFG的边长；
探究：
（3）淇淇说：“将图1所示纸片ABCD沿过四边形顶点的直线裁剪，只剪两刀，分成三块，就可以拼成新的等边三角形”，请你按照淇淇的说法设计一种方案，在图3所示的纸片中画出两条裁剪线的位置（可以借助刻度尺、三角尺或圆规），并直接写出较长的裁剪线的长（若两条裁剪线长度相等，写出其长度即可）．
解：（1）由题意得：EK⊥CD，
∵∠C＝60°，
∴∠CEK＝30°．
∵BE＝EC＝2，
∴EK＝EC•cs30°＝2×＝．
故30°；；
（2）三条裁剪线EH、EJ、EK的数量关系为EH＝EJ＝EK．
由题意得：AB＝CD＝BE＝EK＝2，AH＝HD＝1，EJ⊥AB，EH⊥BC，
∵∠B＝60°，
∴∠BEJ＝30°．
∵BE＝EC＝2，
∴EJ＝BE•cs30°＝2×＝．
连接AE，如图，
∵BJ＝BE•sin30°＝2×＝1，
∴AH＝AJ＝1，
在Rt△AJE和Rt△AHE中，
，
∴Rt△AJE≌Rt△AHE（HL），
∴EJ＝EH．
∴三条裁剪线EH、EJ、EK的数量关系为EH＝EJ＝EK＝．
∵EH＝FH，
∴EF＝2EH＝2，
∴等边三角形EFG的边长为2．
（3）1．连接AC，
2．过点A作AE⊥BC于点E，
则AC，AE将纸片ABCD沿过四边形顶点A的直线裁剪，分成三块，将△ADC绕着点C旋转60°得到△CGF，将△ABE绕着点E旋转180°得到△FGE，可以拼成新的等边三角形，如图，
则AE，AC为所画出两条裁剪线．
∵AD＝DC＝2，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠DCA＝DCB＝30°，
∵AE⊥BC，
∴AE＝AB•sin∠ABC＝2×＝，
∴AC＝2AE＝2，
∴较长的裁剪线的长为2．
22．（7分）根据以下素材，探索完成任务：
解：（1）由题意，得，
∴a＝40．
经检验，a＝40是所列分式方程的根，
40+20＝60（元）．
答：A型照明灯的进价是40元，B型照明灯的进价是60元．
（2）设购进A型照明灯x盏，则购进B型照明灯（100﹣x）盏．
∴100﹣x≤3x，
∴x≥25，
设利润为W元，则W＝（60﹣40）x+（100﹣60）（100﹣x）＝﹣20x+4000，
∵﹣20＜0，
∴W随x的减小而增大，
∵x≥25，
∴当x＝25时W值最大，W最大＝﹣20×25+4000＝3500，
100﹣25＝75（盏）．
答：购进A型照明灯25盏、B型照明灯75盏才能使销售完这批照明灯后获利最多，此时利润为3500元．
23．（7分）如图，在平面直角坐标系中，x轴上有一点A（﹣3，0），C（﹣2，0），过点C作CD∥y轴，设点D的纵坐标为a，将点A先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度得到点B．
（1）在图中画出直线AB，并求直线AB的解析式；
（2）若直线AB与线段CD有交点，求a的取值范围；
（3）若直线y＝kx﹣k+2与x轴，直线AB围成的封闭图形（不包括边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点），直接写出k的取值范围．
解：（1）在平面直角坐标系中，x轴上有一点A（﹣3，0），将点A先向右平移3个单位长度再向上平移2个单位长度得到点B，
∴B（0，2），
如图1，
设直线AB的解析式为y＝k1x+b1，把点A，点B的坐标分别代入得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为；
（2）由（1）得，直线AB的解析式为，
∵CD∥y轴，
∴C的横坐标为﹣2，
∵直线AB与线段CD有交点，
∴，
解得：；
（3）k的取值范围是或≤k＜．理由如下：
由y＝kx﹣k+2＝k（x﹣1）+2，
∴y＝kx﹣k+2经过定点（1，2），
分两种情况讨论：
如图2，
∵直线AB围成的封闭图形（不包括边界）有4个整点，
∴当x＝2时，y＝2k﹣k+2＞1，当x＝3时，y＝3k﹣k+2≤1，
联立得：，
解得：；
如图3，
∴当x＝﹣5时，y＝﹣5k﹣k+2＞1，当x＝﹣6时，y＝﹣6k﹣k+2≤1，
联立得：，
解得：≤k＜，
综上所述，k的取值范围是或≤k＜．
24．（8分）如图1，在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，点P为边AB上的一个动点，连接CP，将CP绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，设AP＝x．
（1）PC的最小值为 ，此时x＝ 1 ；
（2）当∠BPQ＝15°时，∠BPC＝ 75°或105° ；
（3）当点Q落在BC上时，求x的值；
（4）连接BQ，直接写出BQ的最小值．
解：（1）当CP⊥AB时，CP的值最小，
在Rt△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝4，
∴BC＝＝2，
∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CP，
∴CP＝＝，x＝AP＝＝1．
故，1；
（2）如图1，∵将CP绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠CPQ＝90°，
∵∠BPQ＝15°，
∴∠BPC＝∠CPQ﹣∠BPQ＝90°﹣15°＝75°，
如图2，∵将CP绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，
∴∠CPQ＝90°，
∵∠BPQ＝15°，
∴∠BPC＝∠CPQ+∠BPQ＝90°+15°＝105°，
综上所述，∠BPC＝75°或105°，
故75°或105°；
（3）作PE⊥AC于点E，如图2所示，
由题意可知∠PCQ＝45°＝∠ACP，
∵tanA＝＝，sinA＝＝，
即EP＝x，
∴AE＝AC﹣EC＝2﹣x，
即＝，
解得x＝2（﹣1）．
（4）如图5，以AC为直角边作等腰直角三角形ACS，以BC为边向下作等腰直角三角形CBR，
补全矩形CBEA，连接SR，
∵△ACS∽△BCR，
∴＝＝，
∴＝，
又∵∠ACB＝∠SCR＝90°，
∴△ACB∽△SCR，
∴∠CSR＝∠CAB，
即Q点在定直线SR上运动，当BQ⊥SR时，BQ最小，
作BT⊥SR，
∵SQ＝AE﹣AS＝2﹣2，ER＝EB+BR＝2+2，
∴tan∠SRE＝＝2﹣，从而sin∠SRE＝，
故BT＝BR×sin∠SRE＝2×＝．
即BQ的最小值为．
用法用量：口服，每天30～60mg，分2～3次服用．
规格：□□□□□□
嘉嘉的解法
原方程可化为：x2﹣x﹣6＝0……第一步
∴（x﹣2）（x+3）＝0………………第二步
∴x1＝2，x2＝﹣3………………第三步
琪琪的解法
原方程可化为：x（x+2）＝3（x+2）……第一步
两边都除以（x+2）………………第二步
∴x＝3………………………………第三步
x（x+2）﹣3（◆）
＝x2+2x﹣6x+3
＝■
主题：照明灯进货方案制定问题
装修公司根据顾客需求，与房地产公司合作，特购进照明灯两款，拟推出促销套餐
素材1
两款品牌照明灯价格表
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
a
60
B型
a+20
100
素材2
已知用1600元购进A型照明灯的数量与用2400元购进B型照明灯的数量相同
问题解决
任务1
请运用列方程的方法求出A、B两种照明灯的进价．
任务2
装修公司计划购进A、B两种照明灯共100盏，规定B照明灯的进货数量不超过A型照明灯数量的3倍，应怎样进货才能使销售完这批照明灯后获利最多？此时利润为多少元？（利润＝售价﹣进价）
用法用量：口服，每天30～60mg，分2～3次服用．
规格：□□□□□□
嘉嘉的解法
原方程可化为：x2﹣x﹣6＝0……第一步
∴（x﹣2）（x+3）＝0………………第二步
∴x1＝2，x2＝﹣3………………第三步
琪琪的解法
原方程可化为：x（x+2）＝3（x+2）……第一步
两边都除以（x+2）………………第二步
∴x＝3………………………………第三步
x（x+2）﹣3（◆）
＝x2+2x﹣6x+3
＝■
主题：照明灯进货方案制定问题
装修公司根据顾客需求，与房地产公司合作，特购进照明灯两款，拟推出促销套餐
素材1
两款品牌照明灯价格表
进价（元/盏）
售价（元/盏）
A型
a
60
B型
a+20
100
素材2
已知用1600元购进A型照明灯的数量与用2400元购进B型照明灯的数量相同
问题解决
任务1
请运用列方程的方法求出A、B两种照明灯的进价．
任务2
装修公司计划购进A、B两种照明灯共100盏，规定B照明灯的进货数量不超过A型照明灯数量的3倍，应怎样进货才能使销售完这批照明灯后获利最多？此时利润为多少元？（利润＝售价﹣进价）