新高考数学一轮复习核心考点+提升练习考点21利用导数研究函数的零点（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习核心考点+提升练习考点21利用导数研究函数的零点（2份，原卷版+解析版），共8页。
函数零点问题在高考中占有很重要的地位，主要涉及判断函数零点的个数或范围．高考常考查三次函数与复合函数的零点问题，以及函数零点与其他知识的交汇问题，一般作为解答题的压轴题出现
【核心题型】
题型一 利用函数性质研究函数的零点
利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件．
【例题1】（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将零点问题切换成函数图像交点，再利用导数研究函数的单调性及参数的取值范围.
【详解】法一：设，则函数有两个零点转化为函数的图像与直线有两个交点，
因为，当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，则，
当时，；当时，，则，解得，即实数的取值范围是.
法二：函数有两个零点可转化为函数的图像与直线有两个交点．
因为函数的图像与轴交于点，且函数在点处的切线方程为，
所以直线与该切线平行，且该直线与轴交于点，
所以点在点上方，即，解得，即实数的取值范围是．
故选：D
【变式1】（2024·陕西西安·一模）若不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】函数不等式恒成立问题与隐零点问题.构造函数，求导后再次构造函数，求导分析的单调性，找到隐零点，并得到，然后再分析的单调性，找到最大值，最后再结合对数的运算求出函数的最大值即可.
【详解】不等式移项可得，
设，则，
设，则恒成立，
所以函数在上单调递减，
因为，
所以，使得，①
所以在上单调递增，在上单调递减，最大值为，
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
，代入①可得，
所以，所以实数的取值范围为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：
（1）证明带参数的不等式恒成立问题时可采用分离参数法，再构造函数利用导数分析函数的最值情况，如一次构造不容易看出单调性可二次构造再求导；
（2）对于隐零点问题，可求导后分析特殊值找到隐零点的大概区间，再以隐零点为边界分析函数的单调性
【变式2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)设，若存在两个不同的零点，，且.
（i）证明：；
（ii）证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）先确定定义域，求出导函数并进行通分和因式分解后根据开口方向、根的大小关系、根与定义域的位置关系等信息进行分类讨论得出导数正负情况，从而得出函数的单调性.
（2）考查用导数研究函数零点问题，（i）用导数研究函数的单调性和最值情况，确保函数零点个数为2即可证明 ；（ii）根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可.
【详解】（1）由题的定义域为，，
①若，则，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
②若，令，得，.
当时，，
当或时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，，
当或时，；当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，，当且仅当时等号成立，
所以在上单调递增.
（2）（i）由题意知，
所以，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
因为函数存在两个不同的零点，故，即.
（ii）下面找出两个点，，使得，,
注意到，且，于是考虑找点，，
下面我们证明：，，
①，设，下证，
方法1：设，则，故，
所以在上单调递增，得，
所以在上单调递增，
故，即，
因此，
设，则，
所以在上单调递增，所以，
因此，又，故，即，
又，所以.
方法2：易知，设，则，
所以在上单调递增，得，
所以在上单调递增，故，
又，从而，即，
又，所以.
②，
设，则，
易知在上单调递增，在上单调递减，
所以，即，
又，即，
所以，且，
因此，
又，所以，即，
于是.
【点睛】思路点睛：利用导数研究函数零点问题，要留意零点个数以及判定的依据、零点分布情况等，结合问题的方向才能找准切入研究的方向
【变式3】（2024·辽宁·三模）已知.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，证明：函数有且仅有两个零点，且.
【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
(2)证明见解析
【分析】（1）对求导，对分类讨论，由导数与单调性的关系即可求解；
（2）先用零点存在性定理证明结论，再构造新函数讨论与大小关系，利用在上单调性，证明结论即可.
【详解】（1），
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，得或，
当，即时，由得，得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当，即时，恒成立，在上单调递增；
当，即时，由得，由得，
所以在和上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由第（1）问中时，在上单调递增，在上单调递减，
当时，因为，，，
由零点存在性定理可得：函数在区间上存在唯一零点，且，
使得；
当时，，，则，
则，
显然一元二次方程的两个不等实根为：和，
其中，
取，
，
即，且，
由零点存在性定理可得：函数在区间上存在唯一零点，且，
使得；
所以当时，函数有且仅有两个零点；
因为为零点，所以，
所以，
所以，
令，，
当时，，，所以在上单调递减，
因为，，所以，
所以，所以，所以，
因为在上单调递减，
所以，所以.
【点睛】方法点睛：本题考查双变量型不等式恒成立问题，属于难题．该类问题常用的解题方法有：一是消元法，变量统一；二是变更主元法；三是构造函数法；四是最值法
题型二 数形结合法研究函数的零点
含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围或判断零点个数．
【例题2】（2024·北京房山·一模）若函数，则函数零点的个数为（ ）
A．1B．2C．1或2D．1或3
【答案】A
【分析】令，则，则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，作出其大致图象，结合图象即可得解.
【详解】，
令，则，
则函数零点的个数即为函数图象交点的个数，
令，
当时，，则，
所以函数在上单调递增，且，
当时，，
当时，，则，
所以函数在上单调递增，且，
又当时，当时，，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可知函数的图象有且仅有一个交点，
所以函数零点的个数为个.
故选：A.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．若有三个不同的根，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用导数研究函数单调性，画出草图，然后数形结合解出结果.
【详解】当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
又时，时，，所以；
当时，易知在上单调递减，所以．
作出函数的大致图象如图所示．
令，则数形结合可知方程有两个不同的实数根，分别记为，
且，而方程有两个不同的根等价于函数与的图象有两个不同的交点，且两个交点的横坐标分别为．
数形结合可知．令，令，解得．
故答案为：
【变式2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)若函数在点处的切线与直线垂直，求a的值；
(2)当时，讨论函数零点的个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）求导可得，根据题意结合垂直关系运算求解；
（2）构建，由题意分析可知的零点个数即为与的交点个数，求导，利用导数判断的单调性和最值，进而可得结果.
【详解】（1）由题意可知：，可知，
且直线的斜率为，
由题意可知：，解得．
（2）由得，
令，
可知的零点个数即为与的交点个数，
则，
因为，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
且趋近于0时，趋近于，，，
当或时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数没有零点．
【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解
【变式3】（2024·河北邯郸·二模）已知函数．
(1)是否存在实数，使得和在上的单调区间相同？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
(2)已知是的零点，是的零点．
①证明：，
②证明：．
【答案】(1)存在，且
(2)①证明见解析 ②证明见解析
【分析】（1）结合导数与函数单调性的关系，分与进行讨论即可得；
（2）①利用导数得到的单调性后，借助零点的存在性定理可得，解出即可得；②构造函数，结合导数得到函数的单调性，画出相应图象，可得从而得到，，从而可得，结合的范围即可得解.
【详解】（1）由题意得，
当时，，所以和在上都单调递增，符合题意；
当时，若和在上的单调区间相同，
则和有相同的极值点，即，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以无解，
综上，当时，和在上的单调区间相同；
（2）①由题意，有两个零点，，
若，则，所以在上单调递增，不符合题意，
若，则当时，单调递减，
当时，单调递增，
且当时，，当时，，
所以，解得，得证；
②令，得，即，
令，则，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
在同一坐标平面内作出函数与函数的图象，
它们有公共点，如图，
故，且有，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，又，所以，
由，得，即，
故.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于构造函数，结合导数得到函数的单调性，从而得到
题型三 构造函数法研究函数的零点
涉及函数的零点(方程的根)问题，主要利用导数确定函数的单调区间和极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间内的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求得参数的取值范围
【例题3】（2023·吉林通化·模拟预测）已知函数满足：①定义域为；②；③有且仅有两个不同的零点，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可转化为有且仅有两个不同的零点，，对求导，结合的单调性可知，由此可知另一根为，由的范围可求出的范围，即可求出的取值范围.
【详解】函数有且仅有两个不同的零点，，
因为，令，即有且仅有两个不同的零点，，
得或，
若，令，可得或；令，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
同理若，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
要使有且仅有两个不同的零点，，则，
而，则，因为，
则，则，
则有一根是确定的为，又因为，
所以的另一根为，
所以，因为，，
.
故选：B.
【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．当时，有极小值B．当时，有极大值
C．若，则D．函数的零点最多有1个
【答案】AC
【分析】对于AB：代入，求导，求单调性即可判断；对于C：设，将不等式转化为成立，求导，研究其单调性，极值来判断；对于D：求导，分，，讨论研究零点个数.
【详解】对于AB：当时，，
令，即，所以，即，
结合函数图象可知，存在，使得，

令，则，得，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，故A项正确，B项错误．
若，即，则．
设，则．
设，可知，则，．
若，则，为减函数，注意到，可知当时，，不合题意．
若，则，
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
所以．设，，
则，．
当时，，为减函数，当时，，为增函数，
则，所以只有当时，才能成立．
综上所述，，故C项正确．
由C项可知，，，则，所以为增函数．
当时，，
当t无限趋近于0时，无限趋近于，且，
即此时有两个零点，因为为增函数，且，
所以此时有两个零点．
同理可得，当时，有两个零点．
当时，，此时有一个零点1，所以有一个零点．
当时，为减函数，，此时有一个零点1，即只有一个零点．
综上，函数最多有两个零点，故D项错误．
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是利用导数研究函数的性质
【变式2】（2024·全国·模拟预测）设函数.
(1)若，求函数的单调区间；
(2)设函数在上有两个零点，求实数的取值范围.（其中是自然对数的底数）
【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）根据题意，求导可得，即可得到结果；
（2）根据题意，由条件可得，构造函数，其中，转化为最值问题，即可求解.
【详解】（1）当时，的定义域为，
，
令，则，解得，
令，则，解得.
函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）令，则.
令，其中，
则.
令，解得，令，解得.
的单调递减区间为，单调递增区间为，
.
又，函数在上有两个零点，
的取值范围是.
【变式3】（2024·广东·二模）已知.
(1)求的单调区间；
(2)函数的图象上是否存在两点（其中），使得直线与函数的图象在处的切线平行？若存在，请求出直线；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）求出导函数，根据导函数的正负来确定函数的单调区间；
（2）求出直线的斜率，再求出，从而得到的等式，再进行换元和求导，即可解出答案.
【详解】（1）由题可得
因为，所以，
所以当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增.
综上，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意得，斜率
，
,
由得，
，即，即
令，不妨设，则，
记
所以，所以在上是增函数，所以，
所以方程无解，则满足条件的两点不存在.
【课后强化】
基础保分练
一、单选题
1．（2023·四川资阳·模拟预测）将函数在上的所有极值点按照由小到大的顺序排列，得到数列（其中），则（ ）
A．B．
C．D．为递减数列
【答案】D
【分析】先对函数求导，结合导函数把极值点问题转化为函数在上的零点，进一步转化为函数与函数图象交点的横坐标，然后数形结合分别判断各选项即可.
【详解】因为所以，
令，
故函数在上的所有极值点为函数在上的零点，
即方程的正根，也即函数与函数图象交点的横坐标，
作出函数和函数图象如下
对于A，当时，由图可知，不满足，故A错误；
对于B，由图可知，当为奇数时，，当为偶数时，，故B错误；
对于C，由图可知，结合的对称性知，，，
不满足，故C错误；
对于D，在x轴上表示与的距离，
由于函数在上单调递减，函数是以为周期的函数，
结合图象可知越来越小，即数列为递减数列，故D正确.
故选：D
2．（23-24高三上·湖北荆门·阶段练习）的零点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】先把零点个数转化为函数交点个数，再构造函数,结合导函数求解单调性及极值最后应用数形结合求解.
【详解】由得，构造函数，求导得
在上单调递减，在上单调递增，上单调递减，且，
及时，的图像如图，得到有3个解.

故选：D.
3．（2023·四川成都·二模）若指数函数（且）与幂函数的图象恰好有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】令，两边取对数得，记，利用导数研究其单调性，作出草图即可求解.
【详解】由幂函数和指数函数的图象和性质可知，当时两函数图象无交点，
令，两边取对数得，即，
记，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当时，取得最大值.
又当x趋于时，趋于0，当x趋于时，趋于，
所以可得的草图如图，
由图可知，当，即时，函数的图象与有两个交点，
即指数函数（且）与幂函数的图象恰好有两个不同的交点.
故选：D
【点睛】关于函数零点个数问题，参变分离是常用方法之一，本题采用取对数的方法分离参数，然后转化为两个函数的交点问题，在利用导数研究函数图象时，一定要注意函数是否存在渐近线，否则容易出错.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数存在零点，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造新函数，利用导数求单调性，再运用基本不等式即可求解
【详解】由得，
设，，
设，，
由得，由得，
所以在单调递增，在单调递减，所以，
而，
当且仅当，即时，等号成立，
因为有零点，则，所以，
故选：D.
二、多选题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，则（ ）
A．若有极值点，则
B．当时，有一个零点
C．
D．当时，曲线上斜率为2的切线是直线
【答案】BC
【分析】对A，判断当时情况即可；对B，求导分析函数的单调性，结合零点存在性定理判断即可；对C，根据得关于对称，再判断的对称性判断即可；对D，根据导数的几何意义判断即可.
【详解】对A，由题得，当时，递增，不存在极值点，故A选项错误；
对B，当时，，令得或，
令得，所以在上单调递减，在，上单调递增．
因为，，，
所以函数在上有一个零点，在上无零点．
综上所述，函数有一个零点，故B选项正确；
对C，由得关于对称，
令，该函数的定义域为R，因为，
则是奇函数，图象的对称中心是原点，
将的图象向上平移一个单位长度得到的图象，
所以点是曲线的对称中心，故C选项正确；
对D，令，可得．又，，
所以当切点为时，切线方程为，
当切点为时，切线方程为，故D选项错误.
故选：BC．
6．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在上的奇函数连续，函数的导函数为．当时，，其中为自然对数的底数，则（ ）
A．在上为减函数B．当时，
C．D．在上有且只有1个零点
【答案】BCD
【分析】根据题意，令，利用导数求得在上单调递增，结合，得到，可判定C正确；再由时，，可判定B正确；根据是定义在上的奇函数，结合单调性和零点的定义，可判定D正确．根据的单调性无法判断，可判定A错误．
【详解】由，可得．
令，
则当时，，所以在上单调递增，
所以，即，
可得，所以，所以C正确；
因为，所以当时，，
又因为，所以当时，，所以B正确；
由是定义在上的奇函数，故当时，，
又因为，所以在上有且只有1个零点，所以D正确．
因为的单调性无法判断，所以A错误．
故选：BCD.
三、填空题
7．（2024·内蒙古包头·一模）已知函数，若存在唯一的零点，则k的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数确定函数的单调性，分类讨论求解参数范围即可.
【详解】因为所以，
令，解得
所以当时，当时，，
所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
又，，
当函数在上没有零点时，要使存在唯一的零点，
则必有，解得，此时，
易知函数有2个零点，分别为和，不满足题意；
所以函数在必有一个零点，要使存在唯一的零点，
则必有，解得.
综上k的取值范围为.
故答案为： .
【点睛】方法点睛:利用导数研究方程根（函数零点）的技巧
（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等．
（2）根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极（最）值的位置．
（3）利用数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．
8．（2024·四川成都·模拟预测）若函数在上有2个极值点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，求得，转化为在上有两解，令函数，求得，当时，求得函数的单调性和极小值点和极小值，转化为，进而求得实数的取值范围.
【详解】由函数，可得，
因为函数在上有2个极值点，即在上有两解，
即在上有两解，
令且，可得，
当时，可得，单调递增，不符合题意，（舍去）；
当时，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，当时，取得极小值，极小值为，
要使得在上有两解，则满足，
当时，解得；
当，即，
设，其中，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又因为，所以，
所以不等式，可得，
由可得，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
四、解答题
9．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知，.
(1)讨论的单调性.
(2)若使得，求参数的取值范围.
【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
【分析】（1）对求导数，然后分类讨论即可；
（2）直接对和分类讨论，即可得到结果.
【详解】（1）由，知.
当时，有，所以在上单调递减；
当时，对有，
对有，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由（1）的结论，知在上单调递减，在上单调递增，
所以对任意的都有，
故恒成立，这表明此时条件不满足；
当时，设，由于，，
故由零点存在定理，知一定存在，使得，
故，从而，这表明此时条件满足.
综上，的取值范围是.
10．（2024·宁夏固原·一模）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)首先求解所给函数的导函数，然后利用导数研究函数的单调性即可求出最小值；
(2)结合（1）可知，只需求解计算即可得出结果．
【详解】（1）,
当时，即，则，
当时，即，则，
即当时，，函数单调递减，当时，为增，
在处取最小值，∴.
（2）由（1）可知，，
由有两个零点，
时，，时，，
所以，，即，解得：.
∴的取值范围为.
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点．
(1)求实数a的取值范围．
(2)证明：．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的最小值，再分段讨论并构造函数，利用导数探讨单调性，结合零点存在性定理推理即得.
（2）由（1）的结论，结合函数零点的意义可得有两个相异的解，再构造函数，借助单调性确定的取值区间，再结合分析法推理证明即得.
【详解】（1）函数，求导得，
当时，；当时，，在上单调递减，在上单调递增，
则．
当时，恒成立，至多有一个零点，不符合题意，
当时，，，即，使，
，令，求导得，
令，求导得，即在上单调递增，，
于是，函数在上单调递增，，
因此，使，
所以实数a的取值范围为．
（2）由（1）知，有两个相异的解，即方程有两个相异的解，
令函数，求导得在上单调递增，且，
当时，，在单调递减，当时，，在单调递增，
不妨设，显然，，
要证，即证，即证．
又，则即证，令函数，，
则，
而，则，
因此函数在上单调递减，即，则，
所以．
【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题.
12．（2024·湖北黄石·三模）已知函数有两个零点，.
(1)求实数的取值范围；
(2)如果，求此时的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令，可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得，利用换元法表示，通过构造函数法，利用导数证得，结合（1）求得的取值范围.
【详解】（1）令，即，
令，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，且时，当时，
又与有两个交点，所以.
（2）由（1）可得，，
又，
所以，即，
令，，则，
所以，，
记，，则，
令，，则，
所以在上，即单调递减，
由于，
所以当时，，所以，
所以函数在区间上单调递减，
故，即，
而，在区间上单调递增，
故且，
即．
【点睛】方法点睛：利用导数研究函数零点或方程的根，通常有三种思路：
（1）用最值或极值研究；（2）用数形结合思想研究；（3）构造辅助函数研究
综合提升练
一、单选题
1．（2023·湖南·模拟预测）有甲、乙两个物体同时从A地沿着一条固定路线运动，甲物体的运动路程（千米）与时间t（时）的关系为，乙物体运动的路程（千米）与时间t（时）的关系为，当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数，，利用导数探讨函数零点作答.
【详解】设当甲、乙再次相遇时，所用的时间为t小时，则，
令，，求导得，由得，
而函数在上单调递增，即当时，，当，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，，，因此存在唯一，使得，
所以当甲、乙再次相遇时，所用的时间t（时）属于区间.
故选：B
2．（23-24高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数的零点所在的大致区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用导数判断出的单调性，结合零点存在性定理求得正确答案.
【详解】，所以函数单调递增，
又因为，，，
所以函数在内存在唯一零点.
故选:B
3．（2024·全国·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】进行合理换元和同构，转化为的图象与直线有两个交点，转化为交点问题，再利用导数研究函数的单调性、最值，最后得到参数的取值范围即可.
【详解】令，
所以．
令，定义域为，
令，易知在上单调递增，且．
所以，
则函数有两个零点转化为函数的图象与直线有两个交点．
则，当时，；当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，；当时，，
则，解得，即实数的取值范围是．
故选：D．
4．（23-24高三下·江西·阶段练习）函数有且只有一个零点，则的取值可以是（ ）
A．2B．1C．3D．
【答案】B
【分析】由题意将原条件转换为的根的个数之和为1，其中，，从而只需画出它们的图象即可通过数形结合求解.
【详解】或，
显然单调递增，令，
则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
注意到的交点为，而，
所以在同一平面直角坐标系中作出的图象如图所示，

由图可知的根的个数之和为1，当且仅当，
对比选项可知的取值可以是1.
故选：B.
5．（2024·陕西汉中·二模）已知函数，有4个零点，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】确定是函数的零点，在时，利用函数零点的定义分离参数，构造函数，利用导数及二次函数的性质数形结合求出范围.
【详解】由，得，而当时，，即0是的一个零点，
当时，，令，
依题意，直线与函数的图象有3个公共点，
当时，，当且仅当时取等号，
当时，，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，，
当时，，当时，恒成立，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，
观察图象知，当或时，直线与函数的图象有3个公共点，
则当或时，方程有3个解，即有4个零点，
所以m的取值范围为或.
故选：C
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数恰有一个零点，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先将函数的零点问题转化为函数图象的交点问题，然后利用导数的几何意义及建立关于的不等式，即可得解.
【详解】由可得，要使恰有一个零点，只需函数的图象与直线相切.
设切点坐标为.由，可得，则切线方程为，即，
故需使.
由可得，解得.
故选：A
7．（2024·贵州贵阳·一模）已知函数，若方程存在三个不相等的实根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】考查利用导数研究函数零点问题，先根据导数情况得出函数单调性和最值情况，再数形结合分析，分段函数分段讨论即可.
【详解】因为方程存在三个不相等的实根，所以函数有三个零点，
当时，，所以，
所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，，
又当时，；当时，，所以图象如图；
当时，，
所以，所以当时，；当时，，
所以在上单调递减，在单调递增，，
又当时，；当时，，所以图象如图，
所以当即时函数有三个零点，
即方程存在三个不相等的实根，
故选：C.
8．（2024·陕西·二模）已知，且时，，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．若，为常函数，则在区间内仅有1个根
D．若，则
【答案】D
【分析】根据题意，结合，可判定A错误；由函数，结合，可判定B错误；由，求得，令，利用导数求得，得到，进而可判定C错误；由，令，可得；再令，利用导数求得函数的单调性，得到，可判定D正确．
【详解】对于A中，由函数，可得，
因为，所以，所以A错误；
对于B中，由，可得，，
又由，且，
所以，所以B错误；
对于C中，由，则，，
则，，
则，可得，则，
令，则恒成立，可得，
所以，所以，即在区间内无实根，所以C错误；
对于D中，，
令，可得；再令，，
则，令，可得或，
因为，所以函数在单调递减，
所以，所以成立，所以D正确．
故选：D．
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
二、多选题
9．（2024·辽宁·三模）已知函数为实数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，则与有相同的极值点和极值
B．存在，使与的零点同时为2个
C．当时，对恒成立
D．若函数在上单调递减，则的取值范围为
【答案】AC
【分析】对于A，分别各自求导，结合导数与函数极值的关系即可判断；对于B，分别求出与的零点为2个时的范围，看它们的交集是否为空集即可判断；对于C，构造函数，求导，对分类讨论，只需判断是否成立即可；对于D，原问题等价于对恒成立，从而即可进一步求解.
【详解】对于A，当时，
，
当时，有，此时均单调递减，
当时，有，此时均单调递增，
所以当时，均各自取到相应的极值，且，
所以当时，则与有相同的极值点和极值，故A正确；
，
令，
，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，，当，，
当时，有极大值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示，
所以方程有两个根当且仅当，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
当从1的左边趋于1时，趋于正无穷，当从1的右边趋于1时，趋于负无穷，
当时，，单调递增，
令，则，，当时，，
当时，有极小值，，
在同一平面直角坐标系中，画出直线的图象与函数的图象，如图所示，
方程有两个根当且仅当，
综上所述，不存在，使与的零点同时为2个，故B错误；
设，
，
，
当时，显然，
若，即，在此情况下：
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，
即在的情况下，对恒成立，
若，即，在此情况下：
当时，，单调递减，
所以，
所以在的情况下，对恒成立，
综上所述，当时，对恒成立，故C正确；
对于D，若函数在上单调递减，
这意味着对恒成立，
也就是说对恒成立，即对恒成立，
注意到在上单调递减，
所以，也就是说的取值范围为，故D错误.
故选：AC.
10．（2024·河北唐山·一模）已知函数，则（ ）
A．直线是曲线的切线
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．存在等差数列，满足
【答案】BCD
【分析】由导数的意义可知斜率为时，求出切点，再由点斜式判断A错误；求导后由单调性可判断B正确；代入极值点后可判断C正确；由等差中项可判断D正确.
【详解】，
A：令，而，
由点斜式可知此时切线方程为；
，由点斜式可知此时切线方程为；
所以直线不是曲线的切线，故A错误；
B：令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故时取得极大值，取得极小值；故B正确；
C：因为，所以由单调性可知函数由三个零点，故C正确；
D：取，则，故D正确；
故选：BCD
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，，下列命题正确的是（ ）
A．若，则有且只有一个零点
B．若，则在定义域上单调，且最小值为0
C．若，则有且只有两个零点
D．若，则为奇函数
【答案】ACD
【分析】对于A，根据零点存在性定理，利用导数要求其单调性，可得其正误；对于B，根据单调性的定义，取几个点比较大小，可得其正误；对于C，利用导数研究其单调性，求得其最小值，在其左右两边利用零点存在性定理，可得其正误；对于D，利用奇函数的定义，可得答案.
【详解】对于选项A，由题意得，，
显然，，故存在零点，为判断其唯一性，对求导，
得，．由于不便于判断的正负性，令，
再对求导，得，，令，得，
易知在中，，在中，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为，故，
即在上单调递减，
因此有且只有一个零点，故A正确．
对于选项B，，，
由，，，，
由，则判断出在定义域上并不单调，故B错误．
对于选项C，，，
对求导，得，
由于不便于判断的正负性，令，得，，
所以在上单调递增，又因为，，，且在上连续，
所以，由函数的零点存在性定理，存在，使得，
故所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以的最小值为．
因为在上连续，所以在中取，
在中取，
则存在中使得，存在中使得，
故有且只有两个零点，故C正确．
对于选项D，，
由，则得出为奇函数，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】本题的解题关键在于利用导数研究函数的单调性，对于导数的处理方法一般有：法一是对其分解因式，直接判断其与零的大小关系；法二是若函数为分式函数，取分子部分构造函数再求导研究其单调性求最值，判断其与零答大小关系；法三是再次求导研究其单调性，并求其最值，判断其与零的大小关系.
三、填空题
12．（2023·四川内江·模拟预测）若函数有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分离常数，将问题转化为y＝与y＝的图象有两个交点，令（x∈R），利用导数求出的最值，再给合的正负分析即可得答案．
【详解】解：因为有两个零点，
即有两个零点⇒有两个解，
即y＝与y＝的图象有两个交点，
令（x∈R），
则，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
所以，
又因当时，＝＜0，
当时，＝＞0，
当时，＝＝0，
要使y＝与y＝的图象有两个交点，
所以0＜＜，即
故的取值范围为．
故答案为：．
13．（2024·四川泸州·二模）若函数有零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，依题意只需，即可求出参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，
又，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，又时，时，
又函数有零点，所以，即，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
14．（2024·广东佛山·二模）若函数（）有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简函数，得到和在上单增，结合存在唯一的，使，即，且存在唯一的，使，结合，进而得到实数的取值范围．
【详解】由函数，
设，可得，单调递增，
且，，
所以存在唯一的，使，即，
令，即，
设，可得，则在上单增，
又由且时，，
所以当时，存在唯一的，使，即，
若时，可得，则，可得，所以，
所以，
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
结论拓展：与和相关的常见同构模型
①，构造函数或；
②，构造函数或；
③，构造函数或.
四、解答题
15．（23-24高三上·河南·期末）已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，研究函数在上的单调性和零点个数．
【答案】(1)
(2)在上单调递增；1
【分析】（1）当时，求出，，从而可求出切线方程.
（2）当时，利用导数求出在上单调递增．又，从而可求解.
【详解】（1）当时，，
则，则，，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）当时，，则，
当时，，，，则，
故在上单调递增．
又因为，所以在上的零点个数为．
16．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．
【答案】(1)1；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.
（2）由（1）的结论，按分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨单调性建立不等式求解即得.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，而，
由得，由得，因此函数在上递减，在递增，
又当时，恒成立，，因此函数在存在唯一零点，
所以函数的零点个数是1.
（2）由（1）知函数存在唯一零点，且，
①当时，，由得：，即，
设，求导得，
在上单减，则，解得；
②当时，由得：，即，
设，求导得，而，
则，在上单增，则，解得，
综上得的取值范围是.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
①通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
②利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
③根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
17．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，求证：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数，进行分类讨论即可求出单调性.
（2）先对证明式子进行化简，再令新函数，求解函数的单调性和最小值即可.
【详解】（1）函数的定义域为．
因为，所以，由得或．
①当时，，
所以或，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
②当时，，则在上单调递增；
③当时，，所以或，
则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
综上，时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
（2）等价于．
当时，，
则当时，，即证，
令，则．
而，令，
因为函数在区间上都是增函数，
所以函数在区间上单调递增．
存在，使得，
即，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以，
所以，即，
所以.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性的问题，要先对证明式进行等价转化，构造新函数，在求的单调性过程中，根据零点存在定理找到的隐零点，最后再求的最小值即可证明.
18．（2024·北京朝阳·一模）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若关于的不等式无整数解，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，再分三种情况讨论的单调性；
（2）不等式转化为，设函数，利用导数求函数的取值范围，再结合不等式，讨论的取值，即可求解.
【详解】（1），
当，得，
当时，时，，单调递增，
时，，单调递减，
当时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
综上可知，时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，
时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是，
时，函数的增区间是，无减区间.
（2）不等式，即，
设，，
设，，所以单调递增，
且，，
所以存在，使，即，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，
因为，所以，
当时，，当时，，
不等式无整数解，即无整数解，
若时，不等式恒成立，有无穷多个整数解，不符合题意，
若时，即，因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，，所以无整数解，符合题意，
当时，因为，显然是的两个整数解，不符合题意，
综上可知，.
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键1是不等式的变形，第二个关键是确定函数的单调性，以及确定.
19．（2024·全国·模拟预测）已知函数，函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，求函数的零点个数．
【答案】(1)在上单调递增
(2)答案见解析
【分析】（1）求，令，求，讨论与的大小，可得，则在上恒成立，即可求出的单调性.
（2）将题意转化为与图像的交点个数，设，，对求导，分类讨论和，即可求出的单调性和最值，结合零点存在性定理即可得出答案.
【详解】（1）由题可得定义域为，，
令，则．
当时，，则在上单调递减；
当时，，在上单调递增．
则在处取得唯一极小值，也是最小值，，
故在上恒成立，则在上单调递增．
（2）因为函数的零点即与图像的交点个数．
当时，不妨设，，
则．
过原点作的切线，则切线的斜率．
①当，即时．恒成立，从而单调递增．
因此有唯一的零点．
②当，即时，不妨设与交于两点，
，则当时，，
当时，，当时，．
因此的单调递增区间为，，单调递减区间为，
即在处取得极大值，且，
在处取得极小值，且．
再由零点存在定理可知，有三个零点，分别在区间，，之内．
综上，当时，函数与图像有一个交点，
即有一个零点；
当时，函数与图像有三个交点，
即有三个零点．
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题
拓展冲刺练
一、单选题
1．（2024·云南·模拟预测）已知函数，若在有实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先分析题意，由于，设出进一步分析，则，分析单调性解出实数的取值范围.
【详解】根据题意，，所以，令，
则函数在上存在零点等价于与的图象有交点.
，
令，则，故在上单调递增，
因为，，所以存在唯一的，使得，
即，即，，
所以当时单调递减，当
时，单调递增，所以，
又时，，故，所以，
故选：C.
2．（2024·浙江杭州·模拟预测）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用函数与方程的思想将函数有两个零点转化为函数与函数的图象有两个交点，求导并画出函数的图象求得切线方程，再由数形结合即可求得的取值范围.
【详解】由可得，则函数与函数的图象有两个交点；
设，则，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减；
令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；
令，解得，可求得的图象在处的切线方程为；
函数与函数的图象如图所示：
切线与在轴上的截距分别为,
当时，与函数的图象有一个交点，
故实数的取值范围为.
故选：A
3．（2024·四川成都·二模）函数，下列说法不正确的是（ ）
A．当时，恒成立
B．当时，存在唯一极小值点
C．对任意在上均存在零点
D．存在在上有且只有一个零点
【答案】C
【分析】对于A：代入，直接函数性质判断；对于B：代入，求导研究函数单调性来判断；对于CD：求出在上的单调性和极值，再来判断即可.
【详解】对于A：当时，，
当时，，则，
当，，则，不能取等号，
所以恒成立，A正确；
对于B：当时，，则
令，则，由选项A得恒成立，
则在上单调递增，又，
故存在使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，故存在唯一极小值点，B正确；
对于CD：令，当，显然不是零点，
当时，令，得，
则令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增
此时有极小值，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
此时有极大值，
故选项C中任意均有零点，错误；
选项D中，存在在上有且只有一个零点，此时，
故选：C .
【点睛】方法点睛：一：对于不等式恒成立问题可以构造函数，转化为函数最值问题来解决；二：对于零点问题，可以转化为函数图象的交点个数问题来解决.
4．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先将的图象向左平移2个单位长度，可得函数图像，即把问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；再证明为奇函数，然后求导后得到在区间上为减函数；再求出曲线在点处的切线方程为，求出，，时的范围；最后作出的图象和的图像，数形结合得到结果.
【详解】将的图象向左平移2个单位长度，可得函数的图象，
所以原题转化为“函数有3个零点”，
即研究直线与函数图象交点的个数问题．
因为的定义域为，且，
所以为奇函数．
因为，
所以在区间上为减函数，
且曲线在点处的切线方程为．
当时，；
当时，；
当的，，
作出的图象．如图：
由图知：当时，直线与函数的图象有3个交点．
故实数的取值范围是．
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是将的图象向左平移2个单位长度，可得函数图像，即把问题转化为直线与函数图象交点的个数问题；再根据函数的奇偶性和单调性作出函数图像.
二、多选题
5．（2024·重庆·一模）已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】将问题转化为，令，利用导数讨论的单调性，求出，由在有2个不同零点的充要条件为，从而作出判断.
【详解】因为，
令，则，
令，
则，
注意到，令，解得，
所以当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
则，且当趋近于或时，都趋近于，
若在有2个不同零点的充要条件为函数与图象在第一象限有2个交点，
所以，即有2个零点的充要条件为，
若符合题意，则对应的取值范围为的真子集，
结合选项可知：A错误，BCD正确；
故选：BCD.
6．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，下列说法正确的有（ ）
A．当时，则在上单调递增
B．当时，函数有唯一极值点
C．若函数只有两个不等于1的零点，则必有
D．若函数有三个零点，则
【答案】ACD
【分析】对于A：直接代入求单调性即可；对于B：直接代入求极值即可；对于C：将函数两个不等于1的零点转化为有两个不等于1的根，，求导，研究其单调性，根据单调性确定，然后证明和对应的值一样即可；对于D：将问题转化为函数有两个极值点，求导解答即可.
【详解】对于A：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，A正确；
对于B：当时，，
则，令，
则，
则当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故，所以在上单调递增，无极值，B错误；
对于C：令，得，
令，则，
令，则，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，单调递增，且，
当时，，单调递减，且，
若函数只有两个不等于的零点，即函数与有两个交点，
则不妨取，
当时，，
所以函数与的两个交点横坐标互为倒数，即，C正确；
对于D：明显，所以是函数的一个零点，且，
函数有三个零点，且函数在上为连续函数，则函数必有两个极值点（不为1），
因为，
所以，
设，则
当时，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，所以在上单调递减，不可能有3个零点，
所以，令，得，单调递减，
，得，单调递增，
所以，
所以，所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：导数问题要学会将问题进行转化，比如选项C，将零点问题转化为函数图象的交点问题，选项D，将零点个数问题转化为极值点个数问题.
三、填空题
7．（2023·湖北·一模）若函数在处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】数形结合，函数过点，当切线过点时，切线与函数的图象有三个公共点，当切线与相切时直线与函数的图象只有两个公共点，计算出两个临界情况相应的值，即可求得的取值范围
【详解】当时，，所以切点的坐标为，
当时，，，所以切线的斜率，
所以切线的方程为：
而，即过点
当切线过点时，切线与函数的图象有三个公共点，
将代入切线方程得：，得
当切线与相切时，切线与数的图象只有两个公点，
设切线：与在处相切，
由，得，
所以，得，，所以切点坐标为
代入切线：，得，
因此在处的切线与的图像有三个公共点时，的取值范围为：.
故答案为：.
8．（2023·河南·模拟预测）已知函数有三个零点，且它们的和为0，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据三个零点可得，由此易得，从而可得，，有三个零点，则有两个极值点且需满足，，代入可得关于的不等式求解即可.
【详解】设，，是的三个零点，则，
所以，所以，，
若有三个零点，则有两个极值点，
故对于方程，，，的两个极值点分别为和，其中为极大值点，为极小值点.
若存在三个零点，则需满足，且，
所以，解得，
又因为，所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：运用待定系数法求出是化简的关键，再根据零点的个数得出极值点的正负从而可列出不等式.
四、解答题
9．（2024·北京丰台·二模）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有两个零点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求导，代值可得，即可求解切线，
（2）求导得，对分类讨论，求解函数的单调性，即可根据最小值为负求解.
【详解】（1）当时，，则，
所以，
故在点处的切线方程为
（2），
当时，则，令则，令则，
故在单调递增，在单调递减，
故当，取极小值也是最小值，
则，
又当且，
故要使函数有两个零点，只需要，解得；
当时，则，令则，令则，
故在单调递增，在单调递减，
故当，取极小值也是最小值，则，
又当且，
故要使函数有两个零点，只需要，解得；
综上可得或.
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求证：在上有唯一的极大值点；
(2)若恒成立，求a的值；
(3)求证：函数有两个零点．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用二次求导，结合零点的存在性定理讨论函数的单调性，即可证明；
（2）设，一方面：由题意可知，则是的一个极大值点，即，求得；另一方面：当时，利用导数，结合不等式讨论函数的性质即可；
（3）由（2），根据导数和零点的存在性定理可得在函数、上各有1个零点；由（1），利用放缩法计算可知在上无零点.
【详解】（1）因为，设，
则对恒成立，
所以在上单调递减．
又，
由零点存在性定理可知在上有唯一的零点，
和随x变化而变化的情祝如下．
所以在有唯一的极大值点．
（2）令，
由条件知恒成立，所以．
因为，且在定义域上连续，
所以是的一个极大值点，则．
又，
所以，解得．
当时，，
，
当时，，，故在上单调递增，
所以当时，；
设，则，令，
所以在上单调递增，在上单调递减，则，即.
当时，，
又因为，
所以．
综上可知，当时，恒成立．
（3），则．
由（2）可知在上单调递增，
又因为，
由零点存在定理可知，存在，使得；
当时，，所以，
故在上单调递减，又，
由零点存在定理可知，存在，使得；
当时，由上可知，
故在上没有零点．
综上可知，函数有且只有两个零点．
【点睛】难点点睛：本题第3问难点在于分区间讨论零点的情况，由三角函数的有界性，把零点确定在区间上，结合（1）（2）的结论判定函数的单调性，利用零点存在性定理及不等式证明即可x
0
递增
极大值
递减