新高考数学一轮复习考点梳理+分类题型练第66讲 抛物线的标准方程与性质（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习考点梳理+分类题型练第66讲 抛物线的标准方程与性质（2份，原卷版+解析版），共5页。试卷主要包含了抛物线的定义等内容，欢迎下载使用。
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
二 、抛物线的标准方程与几何性质
三 、 与焦点弦有关的常用结论
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq \f(p2,4).
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2θ)(θ为AB的倾斜角)．
(3)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)为定值eq \f(2,p).
(4)以AB为直径的圆与准线相切．
1、（2022•乙卷（文））设为抛物线的焦点，点在上，点，若，则
A．2B．C．3D．
【答案】
【解析】为抛物线的焦点，点在上，点，，
由抛物线的定义可知，不妨在第一象限），所以．
故选：．
2、【2022年全国乙卷】设F为抛物线C:y2=4x的焦点，点A在C上，点B(3,0)，若AF=BF，则AB=（ ）
A．2B．22C．3D．32
【答案】B
【解析】由题意得，F1,0，则AF=BF=2，
即点A到准线x=−1的距离为2，所以点A的横坐标为−1+2=1，
不妨设点A在x轴上方，代入得，A1,2，
所以AB=3−12+0−22=22.
故选：B
3、（2021•新高考Ⅱ）若抛物线的焦点到直线的距离为，则
A．1B．2C．D．4
【答案】
【解析】抛物线的焦点，到直线的距离为，
可得，解得．
故选：．
4、【2020年新课标1卷理科】已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】
设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.
故选：C.
5、（2023•乙卷（文））已知点在抛物线上，则到的准线的距离为 ．
【答案】．
【解析】点在抛物线上，
则，解得，
由抛物线的定义可知，到的准线的距离为．
故答案为：．
6、（2021•新高考Ⅰ）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且．若，则的准线方程为 ．
【答案】．
【解析】法一：由题意，不妨设在第一象限，则，，，．
所以，所以的方程为：，
时，，
，所以，解得，
所以抛物线的准线方程为：．
法二：根据射影定理，可得，可得，解得，
因此，抛物线的准线方程为：．
故答案为：．
1、抛物线y＝2x2的准线方程为( )
A．y＝－eq \f(1,8) B．y＝－eq \f(1,4)
C．y＝－eq \f(1,2) D．y＝－1
【答案】 A
【解析】 由y＝2x2，得x2＝eq \f(1,2)y，故抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－eq \f(1,8).
2、抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D
【解析】 设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋eq \f(p,2)＝x0＋eq \f(1,4)＝2，∴ x0＝eq \f(7,4)，∴ y0＝±eq \f(\r(7),2)．
3. (多选)(2022·常德一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线l的距离为2，则下列结论中正确的是( )
A. 焦点F的坐标为(1，0)
B. 过点A(－1，0)恰有2条直线与抛物线C有且只有一个公共点
C. 直线x＋y－1＝0与抛物线C相交所得弦长为8
D. 抛物线C与圆x2＋y2＝5交于M，N两点，则MN＝4
【答案】 ACD
【解析】 由题意可知抛物线方程为y2＝4x.对于A，焦点F的坐标为(1，0)，故A正确；对于B，过点A(－1，0)有抛物线的2条切线，还有y＝0，共3条直线与抛物线有且只有一个交点，故B错误；对于C，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,y2＝4x，))消去x并整理，得y2＋4y－4＝0，弦长为 eq \r(2)|y1－y2|＝ eq \r(2)· eq \r((y1＋y2)2－4y1y2)＝ eq \r(2)× eq \r(16＋16)＝8，故C正确；对于D，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝5，,y2＝4x，))消去y并整理，得x2＋4x－5＝0，解得x＝1(负值舍去)，所以交点为(1，±2)，所以MN＝4，故D正确．故选ACD.
4. (2022·青岛二中高三期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)，直线l：x＝2交抛物线C于P，Q两点，且OP⊥OQ，则抛物线C的方程为________．
【答案】 y2＝2x
【解析】 将直线l：x＝2代入抛物线C：y2＝2px(p>0)，得P(2，2 eq \r(p))，Q(2，－2 eq \r(p))，所以 eq \(OP,\s\up6(→))＝(2，2 eq \r(p))， eq \(OQ,\s\up6(→))＝(2，－2 eq \r(p)).因为OP⊥OQ，所以 eq \(OP,\s\up6(→))· eq \(OQ,\s\up6(→))＝(2，2 eq \r(p))·(2，－2 eq \r(p))＝4－4p＝0，即p＝1，所以抛物线C的方程为y2＝2x.
考向一 抛物线的定义及其应用
例1 (1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x－y＋2＝0上，则抛物线方程为____．
(2)动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____．
【答案】（1）y2＝－8x或x2＝8y （2）y2＝4x
【解析】 (1)直线x－y＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－2，0)和(0，2)，当焦点为(－2，0)时，抛物线焦点在x轴负半轴上，且p＝4，则抛物线方程为y2＝－8x；当焦点为(0，2)时，抛物线焦点在y轴正半轴上且p＝4，则抛物线方程为x2＝8y；故抛物线方程为y2＝－8x或x2＝8y.
(2)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
变式1、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的任意一条直线m，交抛物线于P1，P2两点，求证：以P1P2为直径的圆和该抛物线的准线相切．
证明：如图，设P1P2的中点为P0，过P1，P2，P0分别向准线l引垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q0．
根据抛物线的定义，得|P1F|＝|P1Q1|，|P2F|＝|P2Q2|，
所以|P1P2|＝|P1F|＋|P2F|＝|P1Q1|＋|P2Q2|．
因为P1Q1∥P0Q0∥P2Q2，|P1P0|＝|P0P2|，
所以|P0Q0|＝eq \f(1,2)(|P1Q1|＋|P2Q2|)＝eq \f(1,2)|P1P2|．
由此可知，P0Q0是以P1P2为直径的圆P0的半径，且P0Q0⊥l，因此，圆P0与准线相切．
方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．
考向二 抛物线的标准方程及其几何性质
例2、顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(－4，－2)的抛物线的标准方程是________________________．
【答案】 y2＝－x或x2＝－8y
【解析】 若焦点在x轴上，设抛物线的方程为y2＝mx，将点P(－4，－2)代入，解得 m＝－1，则抛物线方程为y2＝－x；若焦点在y轴上，设抛物线的方程为x2＝ny，将点P(－4，－2)代入，解得n＝－8，则抛物线方程为x2＝－8y.综上，抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－8y.
变式1、 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过点F的直线与抛物线的两个交点，求证：
(1) y1y2＝－p2，x1x2＝ eq \f(p2,4)；
(2) eq \f(1,AF)＋ eq \f(1,BF)为定值；
(3) 以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
【解析】 (1) 由已知，得抛物线的焦点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0)).
设直线AB的方程为x＝my＋ eq \f(p,2)，代入y2＝2px，
得y2＝2p eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0，
所以y1y2＝－p2.
因为y eq \\al(2,1)＝2px1，y eq \\al(2,2)＝2px2，
所以y eq \\al(2,1)y eq \\al(2,2)＝4p2x1x2，
所以x1x2＝ eq \f(y eq \\al(2,1)y eq \\al(2,2),4p2)＝ eq \f(p4,4p2)＝ eq \f(p2,4).
(2) eq \f(1,AF)＋ eq \f(1,BF)＝ eq \f(1,x1＋\f(p,2))＋ eq \f(1,x2＋\f(p,2))＝ eq \f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)(x1＋x2)＋\f(p2,4)).
因为x1x2＝ eq \f(p2,4)，x1＋x2＝AB－p，
所以 eq \f(1,AF)＋ eq \f(1,BF)＝ eq \f(AB,\f(p2,4)＋\f(p,2)(AB－p)＋\f(p2,4))＝ eq \f(2,p)(定值).
(3) 设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过点A，B作准线l的垂线，垂足分别为C，D，过点M作准线l的垂线，垂足为N，
则MN＝ eq \f(1,2)(AC＋BD)＝ eq \f(1,2)(AF＋BF)＝ eq \f(1,2)AB，
所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．
变式2、（1）设抛物线y2＝2px的焦点在直线2x＋3y－8＝0上，则该抛物线的准线方程为( )
A.x＝－4 B.x＝－3
C.x＝－2 D.x＝－1
【答案】 A
【解析】 直线2x＋3y－8＝0与x轴的交点为(4，0)，∴抛物线y2＝2px的焦点为(4，0)，∴准线方程为x＝－4.
（2）(2022·广州模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，准线为l，点P(4，y0)在抛物线上，K为l与y轴的交点，且|PK|＝eq \r(2)|PF|，则y0＝________，p＝________.
【答案】2 4
【解析】 作PM⊥l，垂足为M，由抛物线定义知|PM|＝|PF|，又知|PK|＝eq \r(2)|PF|，
∴在Rt△PKM中，sin∠PKM＝eq \f(|PM|,|PK|)＝eq \f(|PF|,|PK|)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠PKM＝45°，∴△PMK为等腰直角三角形，
∴|PM|＝|MK|＝4，
又知点P在抛物线x2＝2py(p＞0)上，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(py0＝8，,y0＋\f(p,2)＝4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(p＝4，,y0＝2.))
方法总结：1．求抛物线标准方程的方法
(1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可．
(2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论．
2．抛物线性质的应用技巧
(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程．
(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算
1、(2022·江苏第一次百校联考)已知抛物线y2＝4x的焦点为点F，点A(－1，0)，抛物线上点P满足PA＝eq \r(,2)PO，O为坐标原点，则PF的长等于
A．1 B．eq \r(,2) C．2 D．eq \f(\r(,2),2)
【答案】B
【解析】由题意可设P(x0，y0)，因为PA＝eq \r(,2)PO，所以(x0＋1)2＋y02＝2(x02＋y02)，即可化简为(x0－1)2＋y02＝2，则点P的轨迹是以点(1，0)为圆心，以r＝eq \r(,2)为半径的圆，则PF＝r＝eq \r(,2)，故答案选B．
2、(2022·武汉部分学校9月起点质量检测)抛物线y2＝2x上两点A，B与坐标原点O构成等边三角形，则该三角形的边长为______．
【答案】4EQ \R(,3)
【解析】由题意可知，点A，B关于x轴对称，且满足∠AOx＝30°，假设点A在第一象限，且设等边三角形的边长为m，则点A(EQ \F(\R(,3),2)m，EQ \F(1,2)m)，代入到抛物线的方程，可解得m＝4EQ \R(,3)，即等边三角形的边长为4EQ \R(,3)．
3、(2022·湖南省雅礼中学开学考试)已知F是抛物线eq C：y\s\up6(2)＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M为FN的中点，则|FN|＝ ．
【答案】6
【解析】由题意，如图，过M、N分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M1，N1，设抛物线的准线与x轴的交点为F1，则|NN1|＝|OF1|＝2，|FF1|＝4．因为M为FN的中点，所以|MM1|＝3，由抛物线的定义知eq |FM|＝|MM\s\d(1)|＝3，则|FN|＝2|FM|＝6．
4、（2022·河北唐山·高三期末）已知抛物线C：的焦点为F，，是C上两点，若，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【解析】解：由抛物线C：，
得，
又因，所以，即，
所以，即，
所以.
故选：A.
5、（2022·河北张家口·高三期末）已知是拋物线上一点，是的焦点，，则（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【解析】由定义，又，
所以，解得.
故选：C
6、（2022·广东东莞·高三期末）已知直线过抛物线：的焦点，且与该抛物线交于两点.若线段的长为16，的中点到轴距离为6，则（为坐标原点）的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，，，
由抛物线的定义可得，
又因为的中点到轴的距离是6，所以，
所以，
所以抛物线的方程为：，
设直线的方程，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得，
，
所以，
解得，所以的方程为：，
.
故选：B
7、（2022·江苏海门·高三期末）已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，准线为l，点A，B在抛物线C上，且满足AF⊥BF．设线段AB的中点到准线的距离为d，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图示：设AB的中点为M,分别过点 作准线l的垂线，垂足为C，D，N，
设 ，则 ，
MN为梯形ACDB的中位线，则 ，
由AF⊥BF．可得 ，
故，
因为 当且仅当a=b时取等号，
故，
故选：D.标准方程
y2＝2px
(p＞0)
y2＝－2px
(p＞0)
x2＝2py
(p＞0)
x2＝－2py
(p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
焦半径(其中P(x0，y0))
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))＝
x0＋eq \f(p,2)
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))＝
－x0＋eq \f(p,2)
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))＝
y0＋eq \f(p,2)
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(PF))＝
－y0＋eq \f(p,2)