新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第51讲 二项式定理（精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份新高考数学一轮复习高频考点精讲+分层练第51讲 二项式定理（精讲）（2份，原卷版+解析版），共21页。试卷主要包含了知识点梳理，二项式展开式中的最值问题，二项式展开式中系数和有关问题等内容，欢迎下载使用。
一、知识点梳理
一、二项式展开式的特定项、特定项的系数问题
1.二项式定理
一般地，对于任意正整数，都有：，
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，
其中的系数（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
2.二项式的展开式的特点：
①项数：共有项，比二项式的次数大1；
②二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
③次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到；字母升幂排列，次
数从到，每一项中，，次数和均为；
④项的系数：二项式系数依次是，项的系数是与的系数（包括二项式系
数）．
3.两个常用的二项展开式：
①（）
②
4.二项展开式的通项公式
二项展开式的通项：
公式特点：①它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
②字母的次数和组合数的上标相同；
③与的次数之和为．
注意：①二项式的二项展开式的第r+1项和的二项展开式的第r+1项是有区别的，应用二项式定理时，其中的和是不能随便交换位置的．
②通项是针对在这个标准形式下而言的，如的二项展开式的通项是（只需把看成代入二项式定理）．
二、二项式展开式中的最值问题
1.二项式系数的性质
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①每一行两端都是，即；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③二项式系数和令，则二项式系数的和为，变形式．
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令，
则，
从而得到：．
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤最大值：
如果二项式的幂指数是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
如果二项式的幂指数是奇数，则中间两项，的二项式系数，相等且最大．
2.系数的最大项
求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
三、二项式展开式中系数和有关问题
常用赋值举例：
（1）设，
二项式定理是一个恒等式，即对，的一切值都成立，我们可以根据具体问题的需要灵活选取，的值．
①令，可得：
②令，可得：，即：
（假设为偶数），再结合①可得：
．
（2）若，则
①常数项：令，得．
②各项系数和：令，得．
注意：常见的赋值为令，或，然后通过加减运算即可得到相应的结果．
【常用结论】
奇数项的系数和与偶数项的系数和
①5当为偶数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为偶数，奇数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
②当为奇数时，奇数项的系数和为；
偶数项的系数和为．
（可简记为：为奇数，偶数项的系数和用“中点公式”，奇偶交错搭配）
若，同理可得．
二、题型分类精讲
题型一 二项展开式中的特定项问题
策略方法 形如(a＋b)n的展开式问题
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特定项的关键点如下：
①求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Ceq \\al(r,n)an－rbr(r＝0,1,2，…，n)求通项．
②列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
③求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
【典例1】（单选题）已知的展开式中的常数项为，则实数（ ）
A．2B．-2C．8D．-8
【典例2】（单选题）二项式展开式中含x项的系数是（ ）
A．B．
C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．在的展开式中，第四项为（ ）
A．160B．C．D．
2．展开式中的常数项为－160，则a＝（ ）
A．－1B．1C．±1D．2
3．的展开式中的系数为（ ）
A．40B．C．80D．
4．已知的展开式中的常数项是672，则（ ）
A．B．C．2D．1
5．二项式的展开式中的常数项为（ ）
A．1792B．－1792C．1120D．－1120
6．若展开式中含有常数项，则n的最小值是（ ）
A．2B．3C．12D．10
7．的展开式中的系数是126，则（ ）
A．2B．4C．1D．3
二、填空题
8．二项式的展开式中的常数项为 .
9．的展开式的第8项的系数为 （结果用数值表示）.
10．二项式的展开式中的常数项是 .
11．若在的展开式中，第4项是常数项，则 ．
12．设常数，若的二项展开式中的系数为144，则 ．
13．已知的展开式中的系数是，则 .
题型二 二项式系数问题
策略方法
二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n．
【典例1】（单选题）展开式中的各二项式系数之和为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【典例2】（单选题）若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大，则展开式的常数项的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．160B．240C．D．
2．已知二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则为（ ）
A．B．C．D．
3．已知的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的项的系数为（ ）
A．―4B．84C．―280D．560
4．若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）
A．6B．8C．28D．56
5．若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第4项B．第5项C．第6项D．第7项
6．二项式的展开式中，含项的二项式系数为（ ）
A．84B．56C．35D．21
二、填空题
7．若展开式的二项式系数和为64，则展开式中第三项的二项式系数为 .
8．若的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中的系数为 .
9．的展开式中含项的二项式系数为 .
10．的展开式中二项式系数最大的项是 .
11．已知的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含的系数为 .
12．已知的展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则 .
题型三 二项展开式中各项系数的和问题
策略方法
常用赋值法，参考题型六
【典例1】（单选题）已知的展开式中所有项的系数之和为256，则（ ）
A．3B．4C．6D．8
【题型训练】
一、单选题
1．若的展开式中常数项等于，则其展开式各项系数之和为（ ）
A．1B．32C．0D．64
2．已知的展开式中所有项的系数和为512，则展开式中的常数项为（ ）
A．－756B．756C．－2268D．2268
3．已知的展开式中各项系数之和为0，则展开式中的系数为（ ）
A．28B．-28C．45D．-45
4．已知的二项展开式中，第项与第项的系数相等，则所有项的系数之和为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为 .
6．在的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ．
7．已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 ．
8．已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为 ．
9．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和的比值为，则二项展开式中的常数项为 .
10．在的二项式中，所有的二项式系数之和为64，则各项的系数的绝对值之和为 ．
题型四 三项展开式的问题
策略方法
求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
【典例1】（单选题）的展开式中，的系数为（ ）
A．80B．60C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．的展开式共（ ）
A．10项B．15项C．20项D．21项
2．在的展开式中，的系数是（ ）
A．24B．32C．36D．40
3．的展开式中的常数项为（ ）
A．588B．589C．798D．799
4．的展开式中含的项的系数为（ ）
A．B．60C．D．30
5．已知展开式的各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ）
A．270B．C．330D．
6．已知的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．B．C．D．
7．的展开式中的系数为12，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
8．展开式中，项的系数为 .
9．在的展开式中，的系数为 ．
10．的展开式中，含的项的系数为 ．
11．展开式中常数项是 .（答案用数字作答）
12．已知二项式的展开式中含的项的系数为，则 ．
13．在的展开式中，项的系数为 .
题型五 两个二项式乘积展开式的系数
策略方法
求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（单选题）的展开式中含项的系数为（ ）
A．10B．12C．4D．5
【题型训练】
一、单选题
1．的展开式中，的系数为（ ）
A．200B．40C．120D．80
2．的展开式中各项系数之和为，则该展开式中常数项为（ ）
A．B．C．D．
3．已知展开式中的系数为48，则实数（ ）
A．1B．C．2D．
4．的展开式中含的系数为（ ）
A．1872B．792C．495D．
5．一组数据按照从小到大顺序排列为1，2，3，4，5，8，记这组数据的上四分位数为n，则展开式中的常数项为（ ）
A．12B．C．8D．10
6．已知的展开式中的系数为80，则a的值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．的展开式中的系数为（ ）
A．18B．135C．540D．1215
8．的展开式中的系数为，则实数（ ）
A．2B．1C．D．
二、填空题
9．在的展开式中，的系数为 ．
10．在的展开式中含项的系数是 .
11．已知的展开式中的常数项为240，则 ．
12．已知的展开式中的常数项为240，则展开式中项的系数为 .
13．已知（为常数）的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为 ．
14．展开式中的系数是 .
15．在的展开式中，系数最大的项为 .
题型六 赋值法
策略方法
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1,0,1等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
【典例1】（单选题），则（ ）
A．41B．40C．D．
【题型训练】
一、单选题
1．，则（ ）
A．41B．40C．D．
2．若，则（ ）
A．1B．513C．512D．511
3．若，则（ ）
A．1B．-1C．15D．-15
4．设，则（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．257B．129C．D．
6．若，且，则实数的值可以为（ ）
A．1或B．C．或3D．
7．若则（ ）
A．B．C．D．
8．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为64，则含项的系数为（ ）
A．B．28C．D．35
9．已知的展开式中的系数为25，则展开式中的偶次方的系数和为（ ）
A．16B．32C．24D．48
10．已知，则下列描述正确的是 （ ）
A．B．除以5所得的余数是1
C．D．
二、填空题
11．已知，则 ．
12．若，则 .
13．已知的二项展开式中，偶数项的二项式系数之和为16，则展开式中的系数为 ．
14．若，则 .（用数字作答）
15．已知，则 ．
16．已知,则 .（用数字作答）
17．记，则 ．
18．设，则的值为 .
19．若，= .
①二项展开式中的特定项问题
②二项式系数问题
③二项展开式中各项系数的和问题
④三项展开式的问题
⑤两个二项式乘积展开式的系数
⑥赋值法