2025~2026学年湖南衡阳市衡阳县第四中学下册高二6月检测数学试题 [含答案]

这是一份2025~2026学年湖南衡阳市衡阳县第四中学下册高二6月检测数学试题 [含答案]试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
分值：150 分 时间：120 分钟
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求.
1. 在等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ）
A. 36B. 48C. 72D. 108
【正确答案】C
【分析】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解.
【详解】在等差数列中，，
依题意，，即，，
两式相减解得，代入得，
因此.
故选：C.
2. 随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（ ）
A. B. C. 1D.
【正确答案】A
【分析】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解.
【详解】由题意，故，
而，从而.
故选：A.
3. 已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】令，求导可得在上为减函数，可得结论.
【详解】.设，则，
当时，，所以在上为减函数，又，
所以，即.
故选：D.
4. 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ）
A. 1600B. 1800C. 2100D. 2700
【正确答案】D
【分析】应用正态分布性质及对应概率计算求解.
【详解】由题设，若X表示数学考试成绩，则，而，
所以，故参加本次联考的总人数约为．
故选:D．
5. 某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解.
【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，，
所以，
所以．
故选：A．
6. 已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（ ）
A. 1B. -1C. D.
【正确答案】D
【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可．
【详解】由题可得，设切点坐标为，
则，
所以，，，故D正确.
故选：D.
7. 已知在数列中，，，，则中的最大项是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】 记，整理得出的通项公式，分析当时和当时，即可得出中的最大项为.
【详解】记，由题意得，
整理可得，
得，即，
又，，所以，则是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
当时，，即，
当时，，即，
所以，
故中的最大项为.
故选：B
8. 函数在区间的值域为，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由函数单调性得函数值域，从而转化为有两个不等的实根，再由导数确定新函数的单调性确定函数的性质得结论．
【详解】易知在上是增函数，
所以数在区间的值域为，
又值域为，所以，
有两个不等的实根，
记（），则，
设，则，所以是增函数，又，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，
所以，而时，，时，，
所以，
故选：B．
二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列关于一元线性回归模型的叙述正确的有（ ）
A. 经验回归直线经过样本中心点，点可以不在样本中
B. 对于经验回归直线，增加一个单位，平均增加个单位
C. 残差平方和越小，模型的拟合效果越差
D. 若相关系数，则与的相关程度很强
【正确答案】AB
【分析】根据回归直线的相关性质判断AB选项，根据残差平方和的性质判断C选项，根据回归直线的性质判断D选项.
【详解】A选项，回归直线一定通过样本点的中心，但样本点的中心可以不在样本中，A选项正确；
B选项，由及回归直线的性质，增加一个单位，平均增加个单位，B选项正确；
C选项，残差的平方和越小，模型拟合效果越好，C选项错误；
D选项，相关系数的绝对值接近时，才可以说与的相关程度很强，
但很明显和的偏差很大，因此与的相关程度不强，D选项错误.
故选：AB
10. 已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（ ）
A. B.
C. D. 在上单调递减
【正确答案】ABD
【分析】对函数求导后，由，得或或，然后分和结合导函数的图象分析判断即可.
【详解】由题意得．
由图可知有3个零点，则，令，得或或．
当时，，若，则，不符合题意．
当时，，则或时，，
当或时，符合题意，A，B正确．
由图可知，，得，C错误．
因为当时，，所以在上单调递减，D正确．
故选：ABD
11. 已知数列满足，，，设，记数列的前项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】对于A，只需要依次赋值计算即得；对于B，先推理得到，由得，从而得数列为公差为1的等差数列，由通项公式计算即得；对于C，利用错位相减法求和即得；对于D，根据条件将分成奇数项和偶数项分别求和，利用C项结论和等比数列的求和公式计算即得.
【详解】对于A，由，因，
可得，，故A正确；
对于B，当，时，
（*），
因，则，
故由（*）可得，则，
即数列为公差为1的等差数列，
则有，可得，故B正确；
对于C，由，
可得，
上面两式相减可得，
可得，故C错误；
对于D，由，，可得：，
则
，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知等差数列满足，，则通项公式为 _____.
【正确答案】
【分析】设等差数列的公差为，解出公差由等差数列的通项公式求解即可.
【详解】设等差数列的公差为，，，
所以，解得，所以.
故
13. 设随机变量服从正态分布，且，若，则__________.
【正确答案】0.5##
【分析】根据正态分布的性质，即正态分布曲线关于均值对称，结合已知条件求出的值.
【详解】已知随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称.
因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与关于对称轴对称.
已知3.5与关于对称，所以，可得：，
移项可得.
故0.5.
14. 已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为______.
【正确答案】
【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围．
【详解】因为，，所以等价于.
若，则，，显然恒成立.
若，令，则在上恒成立，则在上单调递增，
由，得，则，则在上恒成立.
令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为.
故
方法点睛：不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【正确答案】（1），
（2）
【分析】（1）由即可求解的通项公式，又根据等差数列的通项公式即可求解数列的通项公式；
（2）由，从而根据裂项相消求和法及分组求和法即可求解.
【小问1详解】
解：因为，所以，
当时，，
由于满足，所以的通项公式为，
因为数列是公差为的等差数列，，
所以，所以；
【小问2详解】
解：因为，
所以.
16. 已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）借助导数的几何意义及其极值定义计算即可得解；
（2）利用函数单调性与导函数的关系可得当时，，计算即可得解.
【小问1详解】
，则有，
解得，即；
【小问2详解】
由，，
由在区间上单调递增，故当时，，
令，解得或，
故或，
对，该不等式组无解，
对，解得，
综上所述，.
17. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
（1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
（2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附.
【正确答案】（1）有关 （2）
【分析】（1）利用独立性检验，代入公式求解即可，（2）结合超几何分布求解即可.
【小问1详解】
零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关.
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关.
【小问2详解】
由题意得抽取的8人中，男性人数为，
女性人数为.
当3人中有2名女性和1名男性时，，
当3人全部为女性时，，
则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
18. 某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种.
方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分；
已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立.
（1）求甲得分不低于分的概率；
（2）求乙得分的分布列及期望：
（3）甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由.
【正确答案】（1）；
（2）分布列见解析，期望；
（3）甲获胜的可能性更大，理由见解析.
【分析】（1）计算出及的概率，求和即可得；
（2）写出的可能取值后计算对应的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望；
（3）分别计算出甲获胜的概率与乙获胜的概率，比较大小即可得解.
【小问1详解】
设甲选择方式一参加比赛的得分为，
，
，
设甲得分不低于分为事件，
则；
【小问2详解】
设乙选择方式二参加比赛得分为，的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为：
所以；
【小问3详解】
甲胜出的可能性更大，理由如下：
甲获胜的情况有：
①甲分、乙分，②甲分、乙分，③甲分、乙分，④甲分、乙分，
所以甲获胜的概率为：
，
乙获胜的情况有：
①甲分、乙分，②甲分、乙分，③乙分，④乙分，
所以乙获胜的概率为，
因为，
所以甲获胜的可能性更大.
19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
（1）若是上的“好函数”，求的取值范围．
（2）（i）证明：是上的“好函数”．
（ii）设，证明：．
【正确答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）利用给定定义得到，再结合求解参数范围即可.
（2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可.
（ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可.
【小问1详解】
由题可知任意，
且，，即，解得，
因为，所以解得，即的取值范围为．
【小问2详解】
（i）设，
则．
令，且，
则，则在上单调递增，
得到，即，
故是上的“好函数”.
（ii）由（i）可知，当时，，
令，则，
即，
故，
化简可得．
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合计
男
45
5
50
女
35
15
50
合计
80
20
100
0.05
0.025
0.01
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879