八年级数学下学期期末模拟考试卷01(新教材人教版)

这是一份八年级数学下学期期末模拟考试卷01(新教材人教版)，共10页。试卷主要包含了测试范围，已知一组数据的方差等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教2024八年级下册第十九-二十四章。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．菱形的一条对角线是，周长是，则菱形面积为（ ）
A．B．C．D．
4．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．y随x的增大而增大B．当时，
C．直线与直线平行D．函数的图象不经过第三象限
5．为选拔兴趣小组成员，现将筛选出名同学的成绩整理如下：．后因实际需求新增一位同学，其成绩数据也被纳入到原来小组的成绩数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
6．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（ ）
A．小球在斜面上的最大速度为
B．所在直线的函数解析式为
C．小球从斜面底端到停止所用的时间为
D．小球在水平面上运动的总路程为
7．如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，它沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能大致反映变量与变量的关系图象的是（）
A．B．
C．D．
8．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（ ）
A．32B．28C．24D．8
9．小明的骑行路线如图所示，他从地出发，1小时后到达地，若他骑行的速度保持不变，则他从地骑行至地所需时间为（ ）
A．1小时B．小时C．2小时D．小时
10．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（ ）
A．的最大值为9，最小值为2B． 的最大值为9，最小值为3
C．的最大值为，最小值为3D．的最大值为，最小值为1
第二部分（非选择题 共90分）
填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．计算的结果为_______．
12．函数的自变量x的取值范围是_______．
13．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________．
14．若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（7分）规定一种新运算：，．
(1)计算：______；
(2)求的值．
17．（7分）某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟；
(2)整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟；
(3)当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间．
18．（8分）年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，．
八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中________，________，________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？
19．（9分）郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品．
(1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价；
(2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价；
(3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？
20．（10分）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．
【模型应用】(1)代数式的最小值为 ；
(2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；
【模型拓展】(3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值．
21．（10分）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号）
(2)【类比学习】如图1，若，，则________；
(3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明．
(4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长．
22．（11分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为．
(1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
(2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？
(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
23．（13分）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为．
(1)求的值．
(2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级
2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教2024八年级下册第十九-二十四章。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A、是最简二次根式；
B、的被开方数含有分母， 不是最简二次根式；
C、，被开方数含有能开得尽方的因数， 不是最简二次根式；
D、 的被开方数含小数即分母，不是最简二次根式.综上．
2．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理判断，若三角形两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐一计算验证即可．
【详解】解：A选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C选项，最长边为，，，，能构成直角三角形，故C符合题意；
D选项，最长边为，，，，不能构成直角三角形，故D不符合题意；
故选：C．
3．菱形的一条对角线是，周长是，则菱形面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用菱形四条边相等、对角线互相垂直平分的性质，先求出菱形边长，再结合勾股定理求出另一条对角线的长度，最后根据菱形面积等于对角线乘积的一半计算面积．
【详解】解：∵ 菱形周长为，菱形四条边相等，
∴ 菱形的边长为
∵ 菱形对角线互相垂直平分，已知一条对角线长为，
∴ 该对角线的一半长为
由勾股定理，得另一条对角线的一半长为 ，
∴ 另一条对角线长为
∵ 菱形面积等于两条对角线乘积的一半，
∴ ．
4．对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A．y随x的增大而增大B．当时，
C．直线与直线平行D．函数的图象不经过第三象限
【答案】A
【分析】根据一次函数中和的意义，逐一判断选项即可找出错误结论．
【详解】解：对于一次函数，可得，．
A选项：∵，
∴随的增大而减小，原结论错误，符合题意；
B选项：若，即，解得，原结论正确，不符合题意；
C选项：直线与直线的相等，截距不同，因此两直线平行，原结论正确，不符合题意；
D选项：∵，，
∴一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，原结论正确，不符合题意．
5．为选拔兴趣小组成员，现将筛选出名同学的成绩整理如下：．后因实际需求新增一位同学，其成绩数据也被纳入到原来小组的成绩数据中．对比前后两组数据，下列统计量一定保持不变的是（ ）
A．平均数B．众数C．方差D．中位数
【答案】D
【分析】根据统计量的概念，分别分析新增一个数据后各统计量的变化，即可得到结论.
【详解】解：原数据从小到大排序为，共个数据.
分析中位数：
∵原数据共个，中位数是第个和第个数据的平均数，
∴原中位数为. 新增个数据后，总数据变为个，中位数是排序后的第个数据.
若新增数据小于，排序后第个数据为；若新增数据大于等于，排序后第个数据仍为，
因此中位数一定不变；
分析其他选项：A新增数据不确定，若新增数据不等于原平均数，平均数会发生改变，因此平均数不一定不变；
B原众数为，若新增一个，此时和都出现次，因此众数不一定不变；
C方差是描述数据波动大小的量，新增数据后，原数据的平均数和离散程度通常会发生改变，所以方差不一定保持不变，不符合要求；
故答案选：D.
6．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（ ）
A．小球在斜面上的最大速度为
B．所在直线的函数解析式为
C．小球从斜面底端到停止所用的时间为
D．小球在水平面上运动的总路程为
【答案】C
【分析】根据待定系数法求出直线解析式，然后求出点的坐标，即可判断选项A；根据待定系数法求出直线的解析式，即可判断选项B；当时，，解得，即可判断选项C，根据提示计算即可判断选项D．
【详解】解：设所在直线的函数表达式为，
把代入，
，
，
当时，，
即点坐标为，
小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，但不符合题意；
设所在直线的函数表达式为，
得，
解得，
所在直线的函数表达式为，故选项B正确，但不符合题意；
当时，，
解得，
，
该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意；
小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，但不符合题意．
7．如图，正方形的边长为，为正方形边上一动点，它沿的路径匀速移动，设点经过的路径长为，的面积是，则下列图象能大致反映变量与变量的关系图象的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据动点在正方形各边上的运动状态，分段讨论的底与高的变化情况，从而确定面积与路径长的函数关系，进而判断图象．
【详解】解：由题意可知，正方形边长为4，周长为16．
当时，点在边上运动，此时三点共线，
的面积；
当时，点在边上运动，的底，高为，
，此时随的增大而增大；
当时，点在边上运动，的底，高为正方形边长4，
，此时保持不变；
当时，点在边上运动，的底，高为，
，此时随的增大而减小；
综上所述，图象应为先平（在轴上），再上升，再平（），最后下降．故选B．
8．已知一组数据的方差．那么这组数据的总和为（ ）
A．32B．28C．24D．8
【答案】A
【分析】根据方差的定义，从题给方差表达式中可得到这组数据的个数和平均数，再计算总和即可得到结果．
【详解】解：∵方差的计算公式为，其中是数据的个数，是这组数据的平均数，
对比题中给出的方差，
可得数据个数，这组数据的平均数，
∴这组数据的总和为．
9．小明的骑行路线如图所示，他从地出发，1小时后到达地，若他骑行的速度保持不变，则他从地骑行至地所需时间为（ ）
A．1小时B．小时C．2小时D．小时
【答案】C
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及路程、速度、时间之间的关系．解题的关键在于通过构造直角三角形，利用角度关系求出线段与的数量关系．
【详解】解：设与轴交于点
轴，
由图可知，，
在中，
，
在中，
骑行速度保持不变，
时间与路程成正比
从地到地用时1小时，
从地到地所需时间为2小时．
10．如图，墙面与地面垂直，一块矩形木板的顶点分别在和上滑动，连接（图中各点均在同一平面内），已知，在木板滑动的过程中，下面说法正确的是（ ）
A．的最大值为9，最小值为2B． 的最大值为9，最小值为3
C．的最大值为，最小值为3D．的最大值为，最小值为1
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形的三边关系，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
取的中点，先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，再根据勾股定理求得，再利用三边关系求出的最大值，通过观察图形得到最小值．
【详解】解：如图，取的中点，
，
，
，
，
，即存在最大值为9，
根据图形，可知当在上时，存在最小值，此时．
故选：B．
第二部分（非选择题 共90分）
填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．计算的结果为_______．
【答案】9
【详解】解：
．
12．函数的自变量x的取值范围是_______．
【答案】且
【分析】根据二次根式有意义的条件和零指数幂的定义，列出不等式求解自变量的取值范围即可．
【详解】解：由题意可得，
解不等式，得，
解不等式，得，
∴且．
13．如图，正方形的边长为2，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为……按照此规律继续下去，则的值为__________．
【答案】/0.125
【分析】根据题意求出正方形的面积，利用勾股定理求出与，同理找出后面等腰直角三角形的斜边与的关系，最后直接代入求值．
【详解】解：∵正方形的边长为2，
∴正方形的面积，
由题意知：三角形是等腰直角三角形，且，
∴，即，，
同理可得，，
根据规律可知：，
∴．
14．若一组数据：3，，0，，的平均数是1，则这组数据的方差______．
【答案】
【分析】先根据平均数的定义求出，再根据方差的公式计算即可得出结果．
【详解】解：∵一组数据：3，，0，，的平均数是1，
∴，
解得：，
∴．
15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________．
【答案】
【分析】先由直线求出与坐标轴的交点、，从而得，为等腰直角三角形，．由可推出．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，．通过同角的余角相等证明，进而证明，得到，，从而确定点的坐标为．再利用待定系数法求出直线$EB$的解析式，求其与轴的交点即可得点的坐标．
【详解】解：对于直线，
令，得，
，
；
令，得，
，
．
，
．
，，
为等腰直角三角形，
．
，
．
过点作交的延长线于点，过点作轴于点，
则．
在中，，
，
为等腰直角三角形，
．
，
又，
．
在和中：
，
，
，．
，，
，
，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
把，代入得：
，
解得，
直线的解析式为．
令，得，
，
点的坐标为．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（7分）规定一种新运算：，．
(1)计算：______；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
17．（7分）某快递公司开展“快递员提升配送效率”活动，要求快递员也要注意安全驾驶．快递员小李骑电动车去派送快递，他行驶了一段时间后，想起要去附近的便利店取个包裹，于是又折回到刚经过的便利店，取到包裹后继续前往派送点，直到抵达派送点．如图是他本次所用的时间与出发地距离的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)出发地到派送点的距离是____米，小李在便利店停留了____分钟；
(2)整个送快递的过程中，小李的最快速度是____米/分钟；
(3)当快递员小李距离派送点600米时，求小李所用时间．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)分钟或分钟或分钟．
【分析】（1）根据函数图象进行回答即可；
（2）根据图象可知 至 分钟速度最快；
（3）分别求出在不同时段的速度，再根据题意列方程解答即可．
【详解】（1）解：出发地到派送点的距离是米，小李在便利店停留了：（分钟）；
（2）解：当时，速度为（米/分钟），
当时，速度为（米/分钟），
当时，速度为，
当时，速度为（米/分钟），
，
故整个送快递的过程中，小李的最快速度是米/分钟；
（3）解：设小李从家出发分钟时，离派送点的距离是米，
当时，，得，
当时，，得，
当时，，得，
即小李出发分钟或分钟或分钟时，离派送点的距离是米．
18．（8分）年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：
七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，．
八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图
七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中________，________，________；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）；
(3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？
【答案】(1)；；
(2)见解析
(3)人
【分析】（1）从扇形统计图中，读取信息，根据中位数和众数的确定方法求出的值，根据百分比的计算，求出；
（2）利用中位数作决策即可；
（3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
【详解】（1）解：由扇形统计图可得，组的人数为：（人）；组的人数为：（人）；
由题意可得，组的人数为：（人），
∴组的人数为：（人）；
把组的数据从小到大排列为：，，，，，，
七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第个数据是，第个数据是，
∴；
∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是，
∴；
∵七年级组的人数为：（人），
∴，
∴．
（2）解：该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好，
理由：∵该校七、八年级学生阅读知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数，
∴该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好．
（3）解：由题意可得，七年级等级的人数为人；
把八年级名学生竞赛成绩从小到大排列可得满足等级的人数为人，
∴；
答：我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有人．
19．（9分）郑州二砂文化创意园位于郑州市中原区华山路，项目占地106.4公顷，总建筑面积101.8万平方米，是在原中国第二砂轮厂旧址（全国重点文物保护单位）基础上改造的综合性文创园区．小明家开的文创店计划购进A，B两款豫博文创产品．
(1)已知A款文创产品进价比B款进价贵15元，购进2个A款和3个B款需要155元，求A、B两款文创产品各自的进价；
(2)该文创店将B款产品的售价提高作为A款的售价，已知当A款的销售额为240元，B款的销售额为150元时，A款比B款多售出1个，求A，B两款文创产品的售价；
(3)在（1）（2）问的条件下，该商店计划购进A、B两款商品共60个，且购进A款的个数不少于B款的一半，假设全部售完的情况下，应如何进货，才能使得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)A款进价为40元，B款进价为25元；
(2)A款售价为60元，B款售价为50元；
(3)购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元．
【分析】（1）设B款进价为x元，则A款进价为元，根据题意列一元一次方程，据此计算即可求解；
（2）设B款售价为y元，则A款售价为元，根据题意列出分式方程，据此计算即可求解；
（3）设购进A款m个，则购进B款个，先求得，再求得总利润W关于m的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设B款进价为x元，则A款进价为元，
根据题意：，
解得，
，
答：A款进价为40元，B款进价为25元；
（2）解：设B款售价为y元，则A款售价为元，
根据题意列方程：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：A款售价为60元，B款售价为50元；
（3）解：设购进A款m个，则购进B款个，
根据条件“购进A款的个数不少于B款的一半”：得，
解得：，
总利润W的表达式：
，
∵，∴W随m的增大而减小，
∴当时：最大利润：元，
个
答：购进A款20个，则购进B款40个，才能使得利润最大，最大利润为1400元．
20．（10分）【模型建立】
“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．
例：求代数式的最小值．
分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．
【模型应用】
(1)代数式的最小值为 ；
(2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值；
【模型拓展】
(3)根据以上学习，解决问题：已知正数x满足 ，求x的值．
【答案】(1)13
(2)
(3)
【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可；
（2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可；
（3）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可．
【详解】（1）解：，，，
根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值．如图，当三点共线时，作于点，则有，
∴，
∴的最小值是13，
故答案为13；
（2）如图，由
，
，
∴，
∴ 的最小值是；
（3）解：构造于，如图所示：

设，则，
，
，
，
，
，
∴方程的解是．
21．（10分）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)【概念理解】在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是________．（填写相应的序号）
(2)【类比学习】如图1，若，，则________；
(3)【性质探究】写出垂美四边形的四条边，，，之间的数量关系，并加以证明．
(4)【问题解决】如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，求的长．
【答案】(1)③④
(2)
(3)，证明见解析
(4)
【分析】（1）回忆平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线性质，根据垂美四边形对角线互相垂直的定义，逐一判断各图形是否符合要求．
（2）因为垂美四边形对角线互相垂直，所以可将四边形拆分为两个以为公共底的三角形，面积和即为四边形面积，代入对角线长度用公式计算．
（3）因为对角线互相垂直，所以四个三角形均为直角三角形，利用勾股定理分别表示四条边的平方，再整理得出数量关系．
（4）因为D、E是中点，所以是中位线，可得到与的数量关系；再由得四边形是垂美四边形，利用第三问得出的垂美四边形边长性质，结合已知的、长度求出、长度，代入式子计算．
【详解】（1）解： ①平行四边形对角线互相平分但不一定垂直；②矩形对角线相等但不一定垂直；③菱形、④正方形的对角线一定互相垂直，因此一定是垂美四边形．
（2）解：
；
（3）解：数量关系：，证明如下：
设对角线、交于点，
由勾股定理： ，，
∴；
同理，，，
∴，
∴．
（4）解： ∵，分别是，的中点，
∴，，，且．
又∵，四边形是垂美四边形，
由（3）的结论得： ，
代入，，，得 ，
整理得，
解得（边长为正，舍去负根）．
22．（11分）如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点同时出发，以的速度向点运动，当点到达点时，点也停止运动，设点，运动的时间为．
(1)在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
(2)从运动开始，当取何值时，四边形是矩形？
(3)在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形是正方形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)不存在，使为菱形
(2)
(3)不存在，使为正方形
【分析】本题考查四边形中的动点问题，解题的关键是熟练掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质，确定动点的位置
（）利用菱形的判定和性质进行求解即可；
（）利用矩形的判定和性质进行求解即可；
（）利用正方形的判定和性质进行求解即可．
【详解】（1）解：不存在，理由：
∵，，过作于，则四边形是矩形，
∴，.，
又∵，
∴，
根据勾股定理，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
此时，，
而，
∴四边形不可能是菱形；
（2）如图，∵，；
∴当时，四边形是矩形，
即，
解得：，
当时，四边形是矩形；
（3）由当时，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴矩形不能是正方形，
即不存在时间，使四边形是正方形
23．（13分）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为．
(1)求的值．
(2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定．
（1）将代入，得出，再代入，即可求解；
（2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解；
（3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个．
【详解】（1）解：依题意，将代入，得
∴
将代入得，
解得：；
（2）解：由（1）可得的解析式为，
当时，，解得：
∴
如图，设交轴于点，
当时，，
∴
∴
∵直线与轴交于点，
当时，，则
∴，
∴
∵，
∴
∵与面积相等
∴
解得：
∵
∴或
（3）存在点，使得，理由如下；
将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形，
∴为的交点
，，
，
，
，
，
，
，，
，
直线与轴交于点
当时，，解得
设直线的解析式为，代入得
解得：
直线的解析式为，
，
同理可得直线的解析式为，
解得：
设关于的对称点为，
的中点为，
即
同理可得直线的解析式为
解得：
∴
综上所述，或
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级