2025-2026学年高一下学期期末数学复习卷01（含答案）

这是一份2025-2026学年高一下学期期末数学复习卷01（含答案），共6页。试卷主要包含了函数 f  x 等内容，欢迎下载使用。
1．（本题 5 分）已知集合 A  x | 1  x  1 ， B  x | 0  x  2 ，则 A ∪ B  （）
A．x | 0  x  1
C．x | 0  x  1
2．（本题 5 分）函数 f  x 
B．x | 1  x  2
D．x | 1  x  0
1
lg2  x 1
的定义域为（ ）
A． 1, 2
B． 1, 
C．2, 
D． 2, 
3．（本题 5 分）在V ABC 中，点 D 在边 BC 上，且 BD  2DC ，则 AD  （ ）
2 –––→
AB 
–––→
AC
–––→
AB 
–––→
AC
1 –––→
AB 
–––→
AC
–––→
AB 
–––→
AC
33333333
4．（本题 5 分）已知a  0 ， b  0 ，且a  2b  5 ，则 2  1 的最小值为（ ）
ab
A． 9
5
B． 8
5
C． 7
5
D． 6
5
5．（本题 5 分）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2026 年2 月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（ ）
A．若调查的游客中青年人有225 人，则一共调查了500 人
B．估计2026 年2 月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的13.5% C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有12 人，则中年人有21 人 D．估计2026 年2 月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半
6．（本题 5 分）已知一组样本数据x1 ， x2 ，…， xn 的方差为 2，令 yi  2xi 1， i  1 ，
2，…，n，则样本数据 y1 ， y2 ，…， yn 的方差为（）
A．4B．6C．8D．10
7
7．（本题 5 分）正三棱锥 P  ABC 侧棱长为，底面棱长为2 3 ，该三棱锥内切球表面积
是（）
πB． 4πC． 16πD． 64π
3333
 1 , 1  x  01

8．（本题 5 分）已知 f  x   x  2
x2  2x, 0  x  1
，若 f 2m  1  ，则m 的取值范围是（ ）
2
m  1
2
m  1
2
0  m  1
2
1  m  1
2
多选题（共 18 分）
9．（本题 6 分）若复数 z  4  3i ，则（）
1  2i
5
z B． z 的虚部为i
C． z 在复平面内对应的点位于第四象限 D． z 是方程 x2  4x  6  0 的复数根
10．（本题 6 分）已知事件 A，B 满足 P  A  0.4 ， P  B  0.2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 A 与 B 互斥，则 P  A  B  0.52
B．若 B  A ，则 P  AB  0.08
C．若 A 与 B 相互独立，则 P  AB   0.48
D．若 P  A  B  0.52 ，则 A 与 B 相互独立
11．（本题 6 分）如图，在三棱柱 ABC  A1B1C1 中， BC1 与 B1C 相交于点O ，
A1 AB  A1 AC  BAC  60 ， A1 A  2 ， AB  AC  1，则下列说法正确的是（）
A． AO  BC
B． AO  11
2
C． AO 与 AB 所成角的余弦值为 3 11
22
–––→ –––→
D． AO  AA1  3
填空题（共 15 分）
12．（本题5 分）已知向量a  (x, 3) ，b  (3, 
3) ，且a 在b 上的投影向量为 3b ，则 x  ．
13．（本题 5 分）在正四棱台 ABCD  A1B1C1D1 中， AB  2 A1B1  4 ，若侧面与底面的夹角为
π ，则该四棱台的体积为.
3
14．（本题 5 分）万里高速公路纪念塔位于泰安市岱岳区卧虎ft上，被誉为泰安的“东方明珠”．如图，为测量塔的高度 AB ，可选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C 与 D．现测得BCD  75 ， BDC  60 ， CD  50 米，在点 C 测得塔顶 A 的仰角为60 ，则塔高 AB 为米．
解答题（共 77 分）
15．（本题 13 分）已知平面向量a  2, 3 ， b  3, x ，且a  b ．
求b 在a  b 上的投影向量的坐标；
若向量2a  b 与ka  b 的夹角是钝角，求实数k 的取值范围．
16．（本题 15 分）为点燃同学们对数学的热爱，使其探寻数字背后的文化密码，某校高一年级举办“数学文化”知识竞赛．为了解参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取 100 人的成绩（百分制）作为样本，并按40, 50,50, 60,L,90,100分组，作出频率分布直方图如图所示．
求m 的值，并估计样本中成绩不低于 60 分的人数；
估计样本中成绩的上四分位数；
若规定成绩不低于 80 分为“良好”等级，已知样本中成绩在80, 90 内的平均数为 88，方差为 7，成绩在90,100 内的平均数为 96，方差为 7，求样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差．
17．（本题 15 分）如图所示，已知 AB 是圆O 的直径， C 为圆上一点（异于 A, B ），
2
PA  AB  2 ， AC  ， P 为圆O 所在平面外一点，且 PA 垂直于圆O 所在平面．
求证：平面 PAC  平面 PBC ；
求直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值．
→
18．（本题 17 分）已知a   3 sin x, cs x， b  cs x, cs x ， f  x  a  b ．
求函数 f  x 的解析式；
求 f  x 在0, π  上的最大值和最小值．
 2 
3
设V ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 f  B  1 且b ，求V ABC 周
2
长的最大值．
19．（本题 17 分）某公司计划生产一种新型节能产品，固定成本为 10 万元，每生产 x 千件，
需要另外投入成本C  x 万元．当产量不足 8 千件时，C  x  1 x2 10x ；当产量不小于 8 千
3
件时， C  x  51x  10000 1450 ．已知每件产品的售价均为 0.05 万元，且生产的产品能全
x
部售出．
请写出年利润 L  x （单位：万元）关于年产量 x （单位：千件）的函数解析式；
当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？最大年利润是多少万元？
《2025-2026 学年高一期末数学复习卷 01》参考答案
3
12． 5
28 3
3
2
75
15【详解】（1）因为a  b ，所以2 3  3x  0 ，解得 x  2 ，所以b  3, 2 ， a  b  1, 5 ，
→→ →
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
B
D
C
B
D
AC
CD
题号
11
答案
ABD
→→→→ →
a  b b→→
1 →→
26
a  b 
， a  b b  13 ，所以b 在a  b 上的投影向量为
→→ 2
a  b
 a  b a  b
2
所以b 在a  b 上的投影向量的坐标为  1 , 5  ．
 2 2 

（2） 2a  b  7, 4 ， ka  b  2k  3, 3k  2 ，因为向量2a  b 与ka  b 的夹角是钝角，则
→→→→1
2
2a  bka  b  0 ，且2a  b 与ka  b 不平行，所以7 2k  3  4 3k  2  0 ，解得k  ，又2a  b 与ka  b 不平行，则7 3k  2  4 2k  3  0 ，所以k  2 ，所以实数k 的取值范围为
, 2  2, 1  ．
2 

16．【详解】（1）在频率分布直方图中，所有小矩形的面积之和为 1，则
0.005  0.005  0.020  0.030  m  0.01510  1，解得m  0.025 ，
估计样本中成绩不低于 60 分的人数为100  0.005  0.00510 100  90 ．
前四个小矩形的面积之和为0.005  0.005  0.020  0.03010  0.6 ，前五个小矩形的面积之和为0.6  0.02510  0.85 ，所以成绩的上四分位数落在80, 90 内，设其为a ，
则0.60  a−80 0.025  0.75 ，解得a  86 ，即估计样本中成绩的上四分位数为 86．
样本中成绩在80, 90 内占成绩在80,100 内的比例为0.25 5 ，
0.25  0.158
样本中成绩在90,100 内占成绩在80,100 内的比例为0.15 3 ．
0.25  0.158

设样本中“良好”等级的成绩的平均数和方差分别为 x，s2 ，
53
由分层随机抽样的平均数公式可得 x   88   96  91 ，
88
由分层随机抽样的方差公式可得s2  5 7  88  912   3 7  96  912   22 ，
8 8 
故样本中“良好”等级的成绩的平均数为 91，方差为 22．
17．(1)Q PA  平面 ABC ， BC  平面 ABC ， PA  BC ．
Q AB 是圆 O 的直径，C 为圆上一点，  BC  AC ．
又Q PA I AC  A ，且 PA, AC  平面 PAC ， BC  平面 PAC ．
Q BC  平面 PBC ，平面 PAC  平面 PBC .
（2）如图所示，过点 A 作 AD  PC 于点 D ，
Q BC  平面 PAC ， AD  平面 PAC ， BC  AD ，
又 PC  BC  C ， PC, BC  平面 PBC ， AD 平面 PBC ．
2
ACD 即为直线 AC 与平面 PBC 所成角．Q PA  AB  2 ， AC ，可得
PC 
6 ．sin ACD  PA 6 .
PC3
即直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6 ．
→
3
→
18．【详解】（1）由a   3sinx, csx, b  csx, csx ，
f x  → →
231
π 1

则  a  b  3sinxcsx  cs x sin2x  cs2x 1  sin  2x    .
2262
当 x  0, π  时， 2x  π   π , 5π  .则当2x  π  π （即 x  π ）时，取得sin  2x  π 的最大值
2 
6
6 6 

623
6 

πππ1

为 1；当2x  6   6 （即 x  0 ）时，取得sin  2x  6  的最小值为 2 .
f x 
π 11

故  sin  2x  6   2 的最大值为 2 ，最小值为1.
Q f  B  1 ,sin  2B  π   1  1 ，即sin  2B  π   1，
26 22
6 

Q B 为V ABC 的内角，0  B  π . 故 π  2B  π  11π .
666
3
 2B  π  π . 则 B  π .又b ，由余弦定理b2  a2  c2  2accsB ，
623
2
2
得3  a2  c2  ac ，即a  c2  3ac  3 .由均值不等式ac   a  c  得： a  c2  3 a  c   3，
 2  2 

即
a  c2
4
 3  a  c2  12 ，从而a  c≤2 3 ，当且仅当a  c 时取等号，此时V ABC 为等边三
3
3
3
角形．周长最大值： a  b  c  2 3 3 .
19．【详解】（1）由每件产品的售价均为0.05 万元，得 x 千件产品的销售收入为0.05 1000x  50x 万元，
当0  x  8 时， L  x  50x− 1 x2 10x −10 −1 x2  40x−10 ；
 33

当 x  8 时， L  x  50x− 51x  10000 1450 −10 −x−10000 1440 ，
xx

 1 x2  40x−10, 0  x  8

所以年利润 L(x) 关于年产量 x 的函数解析式为 L(x)  
3.
10000
−x−
x
1440, x  8

（2）当0  x  8 时， L(x) −1 x2  40x−10 −1 x2 120x 10 −1 (x−60)2 1190 ，
333
函数 L(x) 在(0, 8) 上单调递增， 此时 L  x  866 （万元）；
3
x  10000
x
当 x  8 时， L  x −x−10000 1440 − x  10000  1440  2
1440  1240 ，
xx

当且仅当 x  10000 ，即 x  100 时取等号，而1240  866 ，
x3
所以当年产量为 100 千件时，该公司所获年利润最大，最大年利润为 1240 万元．