2025-2026学年湖南省湘潭市电机子弟中学高一（下）摸底数学试卷（5月份）

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1.设复数z=1-3i,是z的共轭复数，则复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知命题p：∀x≥1，x2-x≥0，则命题p的否定为（ ）
A. ∃x≥1，x2-x＜0B. ∃x＜1，x2-x＜0
C. ∀x≥1，x2-x＜0D. ∀x＜1，x2-x＜0
3.已知x＞1，的最小值为（ ）
A. 3B. 4C. D. 5
4.已知，则a,b,c的大小关系为（ ）
A. a＞b＞cB. b＞a＞cC. a＞c＞bD. b＞c＞a
5.已知，且α∈（，π），则的值为（ ）
A. B. C. D.
6.已知m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，若m∥α，n∥β，则“m⊥n”是“α⊥β”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A. 2πB. 3πC. 6πD. 9π
8.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，D是BC的中点，点E在AD上，且AE=2ED，则=（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知角α的终边经过点P（3，-4），则（ ）
A. B.
C. D.
10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则（ ）
A. 直线MN与直线AC所成的角是
B. 直线MN与平面ACC1A1所成的角是
C. 二面角M-AB-C的平面角是
D. 平面BMN截正方体所得的截面面积为
11.已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c．下列命题正确的有（ ）
A. 若b=1，c=2，A=，则△ABC的面积为
B. 若b=5，B=，sinA=，则a=2
C. 若sin2A+sin2B+cs2C＞1，则△ABC为锐角三角形
D. 若a=，b=2，c=3，则=
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，则实数m= .
13.已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为 .
14.若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）为增函数，又f（2）=0，则不等式x•f（x）＞0的解集为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平面向量＝(1，x)，＝(2x＋3，－x)，x∈R.
（Ⅰ）若⊥，求x的值；
（Ⅱ）若∥，求|－|
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lg2(2x-3).
（1）求f(x)的定义域；
（2）若f(x)=2，求x的值；
（3）∀x∈[2,+∞)，f(x)-a＞0成立，求实数a的取值范围.
17.(本小题15分)
已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x-）+csx+a的最大值为1．
（1）求常数a的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）求使f（x）≥0成立的x的取值集合．
18.(本小题17分)
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，点E是棱PA的中点，PA⊥平面ABCD.
（1）求证：PC∥平面BDE；
（2）求证：平面PAC⊥平面BDE；
（3）若PA=AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值.
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足S=（a2+c2-b2）.
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求sinAsinC取值范围；
（Ⅲ）如图所示，当sinAsinC取得最大值时，在△ABC所在平面内取一点D.使得线段DC=2，DA=1，求△BCD面积的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】AB
12.【答案】
13.【答案】7π
14.【答案】（-∞，-2）∪（2，+∞）
15.【答案】解：（1）∵⊥，
∴•=（1，x）•（2x+3，-x）=2x+3-x2=0
整理得：x2-2x-3=0
解得：x=-1，或x=3
（2）∵∥
∴1×（-x）-x（2x+3）=0
即x（2x+4）=0
解得x=-2，或x=0
当x=-2时，=（1，-2），=（-1，2）
-=（2，-4）
∴|-|=2
当x=0时，=（1，0），=（3，0）
-=（-2，0）
∴|-|=2
故|-|的值为2或2．
16.【答案】解：(1)由2x-3＞0，得x＞，
​​​​​​​则函数f(x)的定义域为(,+∞)；
（2）由f(x)=lg2(2x-3)=2，得2x-3=4，即x=；
（3）∀x∈[2,+∞),f(x)-a＞0成立，即a＜f(x)成立，
所以a＜f(x)min，x∈[2,+∞)，
而函数f(x)=lg2(2x-3)在[2,+∞)上单调递增，
则最小值为f(2)=lg21=0，
则a＜0，即实数a的取值范围是(-∞,0)．
17.【答案】解：（1）由题意：函数f（x）=sin（x+）+sin（x-）+csx+a，
化简得：f（x）=sinxcs+csxsin+sinxcs-csxsin+csx+a
=sinx+csx+a
=2sin（x+）+a，
∵sin（x+）的最大值为1，
∴f（x）=2×1+a=1，解得：a=-1．
（2）∵由（1）可知f（x）=2sin（x+）-1．
根据三角函数的性质可得：x+∈[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）．
即2kπ+≤x+≤2kπ+，（k∈Z）
∴解得：2kπ+≤x≤2kπ+，（k∈Z），
∴f（x）的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）；
（3）∵由题意：f（x）≥0，即2sin（x+）-1≥0，
可得：sin（x+）≥．
∴2kπ+≤x+≤2kπ+，（k∈Z）．
解得：2kπ≤x≤2kπ+,k∈Z．
∴f（x）≥0成立的x的取值范围是{x|2kπ≤x≤2kπ+}，（k∈Z）．
18.【答案】解：（1）证明：设AC交BD于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，
又E为PA的中点，∴ME∥PC，
又∵ME⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，
∴PC∥平面BDE．
（2）证明：∵四棱锥P-ABCD的底面ABCD为正方形，∴BD⊥AC，
∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又AC∩PA=A，确定平面PAC，
∴BD⊥平面PAC．
又∵BD⊂平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE．
（3）连接PM，
∵BD⊥平面PAC，
∴PM是PB在平面PAC上的射影，
即∠BPM为直线PB与平面PAC所成的角，
∵PA=AB=2，
∴，
∴．
19.【答案】（Ⅰ）△ABC中，面积为S=（a2+c2-b2），又S=acsinB，csB=；
所以•2accsB=acsinB，
所以tanB=，
又B∈（0°，180°），
所以B=60°；
（Ⅱ）由（1）得，A+C=120°，得0°＜A＜120°，
所以sinAsinC=sinAsin（120°-A）=sinA（sin120°csA-cs120°sinA）=sin2A+（1-cs2A）=sin（2A-30°）+，
由-30°＜2A-30°＜210°，
所以-＜sin（2A-30°）≤1，
所以-＜sin（2A-30°）≤，
所以sinAsinC的取值范围是（0，]；
（Ⅲ）当sinAsinC取得最大值时，2A-30°=90°，解得A=60°；
令∠ACD=θ，∠ADC=α，AB=AC=BC=a,
则=，

∴sinα=asinθ；
又a2=22+12-2×2×1×csα，
∴a2cs2θ=a2-a2sin2θ=5-4csα-sin2α=cs2α-4csα+4，
∴acsθ=2-csα．
∴S△BCD=×a×2sin（+θ）=acsθ+asinθ
=（2-csα）+sinα
=+sin（α-）≤+1．
当α=时等号成立；
∴△BCD面积的最大值为+1．