2026年山西省晋中市榆次区九年级数学第二次模拟测试题（含解析）中考模拟

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1．试题共8页，计23题；总分值120分；答题时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的信息填写在试卷和答题卡的相应位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 数字人民币是人民银行发行的数字形式法定货币，它将会逐步在全国普及．若数字人民币钱包中收入100元记作元，则支出20元记作（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵题目规定收入元记作元，
∴收入用正数表示，
又∵收入与支出是一对相反意义的量，
∴支出应当用负数表示，
∴支出元记作元．
2. 为进一步弘扬团结互助、友善待人的优良风尚，某校五四青年节表彰增设“友爱之星”荣誉评选．校美术社团为此精心设计“友爱之星”徽章如下，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形以及中心对称图形的概念判断选项即可．
【详解】解：A选项，是轴对称图形，不是中心对称图形；
B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形；
C选项，是轴对称图形，不是中心对称图形；
D选项，既是轴对称图形又是中心对称图形 ．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：选项A：∵，，∴ A运算错误；
选项B：∵，，∴ B运算错误；
选项C：，与等式右边相等，∴ C运算正确；
选项D：，，∴D运算错误．
4. 加工厂计划生产一批笔筒，设计师给出该笔筒的三种视图如下图所示，则该笔筒的形状是（ ）
A. 三棱柱B. 四棱柱C. 五棱柱D. 圆柱
【答案】B
【解析】
【详解】解：由三视图可知，该笔筒的形状是四棱柱．
5. 下列任务中，适合采用普查方式的是（ ）
A. 了解某厂生产的锂离子电池充放电循环寿命情况
B. 了解某款手机的用户满意度
C. 了解乘客是否携带危险物品，火车站工作人员对乘客进行安检
D. 了解我国九年级学生每周参加体育活动的时间
【答案】C
【解析】
【详解】解：A选项，测试电池寿命具有破坏性，不适合普查；
B选项，用户数量大，调查范围广，不适合普查；
C选项，了解乘客是否携带危险物品，火车站工作人员对乘客进行安检，必须检查每一名乘客，适合采用普查；
D选项，我国九年级学生基数大，调查范围广，不适合普查．
6. 墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（ ）
A. 两点之间线段最短B. 垂线段最短
C. 三角形内角和定理D. 两点确定一条直线
【答案】D
【解析】
【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线，
∴其蕴含的数学道理是两点确定一条直线．
7. 在数轴上表示不等式组的解集，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：解得，
解得，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示如下：
8. 紫色石蕊溶液是一种常见酸碱指示剂，通常情况下紫色石蕊溶液遇酸性溶液变成红色，遇中性溶液仍为紫色，遇碱性溶液变成蓝色．实验桌上有三瓶因标签被污染而无法分辨的无色溶液：蒸馏水（呈中性）、稀盐酸溶液（呈酸性）、氢氧化钠溶液（呈碱性）．小明将紫色石蕊溶液随机滴入两瓶溶液中，这两瓶溶液恰好变成一红一蓝的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】列出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：将三瓶溶液分别标记：A为稀盐酸（遇石蕊变红），B为氢氧化钠溶液（遇石蕊变蓝），C为蒸馏水（遇石蕊呈紫色）．
列表如下：
共6种情况，其中满足“两瓶溶液恰好变成一红一蓝”的情况有2种，
∴这两瓶溶液恰好变成一红一蓝的概率是．
9. 已知点，都在一次函数的图象上，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合两个点的纵坐标大小，比较横坐标的大小即可．
【详解】解：∵一次函数中，比例系数，
∴随的增大而减小，
∵点，都在该一次函数图象上，且，
∴．
10. 某校运动会上，九年级男子长跑比赛扣人心弦．小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺，身后处的小亮也同时发起冲刺，…．若设小亮冲刺时的平均速度为，根据题意可得，则题中“…”表示的情境为（ ）
A. 小亮成功超越小华率先到达终点B. 小亮仍未超越小华
C. 小亮与小华同时到达终点D. 两人仍保持原有距离
【答案】A
【解析】
【分析】分别分析及的实际意义，进而根据判断“…”表示的情境即可．
【详解】解：小华在距终点时暂时领先，他以的平均速度向终点冲刺，
则表示小华冲刺的时间，
设小亮冲刺时的平均速度为，
则表示小华冲刺时小亮冲刺的路程，
小华在距终点时暂时领先，身后处的小亮也同时发起冲刺，
则为小亮距终点的距离，
∴表示小华冲刺时小亮冲刺的路程大于小亮距终点的距离，即小亮成功超越小华率先到达终点．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 计算的结果是______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据算术平方根以及立方根的概念计算即可 ．
【详解】解： ．
12. 2026年4月22日是第57个世界地球日，我国活动主题为“珍爱自然资源守护美丽中国”．希望我们每个人从点滴做起，如每人每年努力节约1度电，相当于节约0.4千克标准煤，由此估计，全国每年就节约14亿度电，相当于全国每年节约______千克标准煤（用科学记数法表示）．
【答案】
【解析】
【分析】先算出14亿度电，相当于全国每年节约多少千克标准煤，再用科学记数法表示．
【详解】解：14亿=1400000000，
（千克）．
13. 某物理兴趣小组通过实验发现气体的压强（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当压强为时，气体的体积为______．
【答案】50
【解析】
【分析】因为压强p是体积V的反比例函数，所以设反比例函数解析式为，．因为函数图像过点，所以将该点坐标代入解析式，可求出常数k的值．因为要求压强为时的体积，所以将代入确定后的反比例函数解析式，求解V即可．
【详解】解：∵是的反比例函数，
设解析式为 ．
由图像可知，反比例函数过点，
将代入得： ，
解得 ，
因此函数解析式为 ．
当压强时，
代入解析式： ，
解得 ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，在轴上，且，点，的坐标分别为，．若将依次沿轴方向，轴方向平移，使点与点重合，则点的对应点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】因为且B、C在y轴上，所以点A在的垂直平分线上，据此可求点C的坐标．由点A平移到点C，计算横坐标、纵坐标的变化量，得到平移规则．将点B的坐标按照该平移规则进行坐标变换，得到对应点坐标．
【详解】因为，都在轴上，
所以点在的垂直平分线上，中点的纵坐标与点的纵坐标相等．
设，
已知，，
，
解得，即．
平移后点与点重合，
平移规律为：横坐标加（向右平移2个单位），纵坐标加（向上平移3个单位）．
原，按规律平移得：横坐标，纵坐标，
因此对应点坐标为．
15. 如图，在中，，，点，分别是边，上的点，连接，．若点为边的中点，且，，则线段的长为______．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于，延长，交延长线于，解直角三角形得出，根据平行四边形的性质，结合“三线合一”的性质得出，，，利用勾股定理求出，根据外角性质及得出，进而求出，，利用勾股定理求出，根据得出，可得，即可得出，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于，延长，交延长线于，
∵在中，，，，
∴，，，
∵，
∴，，，
∵点为边的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算与解方程
（1）计算：；
（2）解方程：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）按照有理数运算顺序，先算除法、绝对值化简与负整数次幂，再算乘法，最后进行加减运算；
（2）分式方程先确定最简公分母，方程两边同乘最简公分母转化为整式方程求解，最后代入分母检验根的有效性．
【小问1详解】
解：原式，
，
；
【小问2详解】
解：原方程可化为，
方程两边都乘，得，
解这个方程，得，
经检验，是原方程的根．
17. 某学校举办学生足球比赛，规定胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分．九年级（1）班共参加9场比赛，没有输过，最后共得23分．该班级共胜多少场？平多少场？
【答案】胜7场，平2场
【解析】
【分析】设出未知数，结合二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设该班级共胜场，平场.
根据题意得：，解得：，
答：该班级共胜7场，平2场．
18. 为对比近期甲、乙两地的气温情况，某实践活动小组从5月1日开始连续10日记录了两地每日的最低气温，绘制成如下折线统计图，并进行了数据分析．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）工作人员在画折线统计图时，遗漏了图例标识，请你根据上述表格中的数据推断出折线统计图中虚线表示 地（填“甲”或“乙”）；并计算表格中______，____；
（2）请你从上面表格中选择两种统计量对甲、乙两地这10日的日最低气温作出评价．
【答案】（1）乙，，16
（2）从平均数看，甲、乙两地这10日的日最低气温的平均数分别是、，说明甲地这10日的日最低气温平均数大于乙地这10日的日最低气温平均数（或者接近）；
从中位数看，甲、乙两地这10日的日最低气温的中位数分别是、，说明甲地这10日的日最低气温的中位数大于乙地这10日的日最低气温的中位数（或者接近）；
从众数看，甲、乙两地这10日的日最低气温的众数都是，说明甲、乙两地这10日的日最低气温中最多．
从方差看，甲、乙两地这10日的日最低气温的方差分别是、，说明甲地这10日的日最低气温方差大于乙地这10日的日最低气温方差，乙地这10日的日最低气温比甲地稳定．
【解析】
【分析】（1）根据方差反映数据的波动情况即可判断虚线表示乙地，根据中位数和众数的定义即可求出a，b的值；
（2）从平均数，中位数，众数，方差进行分析即可．
【小问1详解】
解：根据表格可知甲地的方差大于乙地的方差，
从折线统计图可知实线数据的波动性大于虚线数据的波动性，
所以推断出折线统计图中虚线表示乙地．
将甲地气温从大到小排序为：19，18，18，17，17，16，16，16，14，13，
处于中间位置的数据是17，16，故中位数为，
即；
由折线统计图可得乙地气温中，出现的次数最多，故众数是16，即．
【小问2详解】
略
19. 如图，中，，以边为直径的交边于点，过点作的切线交边于点．
（1）求证：；
（2）若，，则的长为．
【答案】（1）证明：连接，．
是的切线，
，即．
为的直径，
，即．
又，
．
，
是的中位线．
．
．
．
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，由切线的性质得到，由为的直径得到，由等腰三角形的“三线合一”得到，即可得出是的中位线，因此，从而．
（2）根据等腰三角形的“三线合一”求出，从而，再由弧长公式求解即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的长为．
20. 请根据以下聪聪与弟弟的对话及聪聪的做法，解决问题．
聪聪的做法（如图）：
第一步：聪聪家住在一幢高层居民楼的顶层25层，他先在此层楼道的西窗户边安装测倾器，从测倾器顶部点处测得图书大厦顶端处的俯角；
第二步：他下楼到17层楼道相同位置的西窗户边安装测倾器，保持测倾器高度不变，从测倾器顶部点处测得图书大厦顶端处的俯角；
第三步：了解到该居民楼每相邻两层楼地板之间的距离为．
已知图中所有点均在同一竖直平面内，且点，，，在同一铅垂线上，点，在同一铅垂线上．
请你根据聪聪的做法，帮他求出他家所在的居民楼与图书大厦之间的距离（结果精确到．参考数据：，，，，，）．
【答案】
【解析】
【分析】添加辅助线，过点作，垂足为点，得到，根据楼层高度可得的长度，再结合直角三角形的正切值以及的正切值求解即可．
【详解】解：过点作，垂足为点，如图，
根据题意可得，
的长度就是与之间的距离，
根据题意可得，，
，
，，
根据题意可得，，
设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，解得
答：他家所在居民楼与图书大厦之间的距离为．
21. 下面是小晋同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务．
任务：
（1）补全材料：
①正八边形的每个内角为 °；
②= °，= °；
③设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ；（用含的代数式表示）
（2）在图2正方形的边上作出正八边形的边．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）①；②，；③，，
（2）如图所示，边即为所求．
【解析】
【分析】（）①根据正多边形单个内角度数公式，进而得出正八边形的内角度数．
②根据题意得出，，，，作出辅助线得出，，从而得出．
③利用②的结论得出，，进而得出，再得出，进而得出，进而得出，，再利用勾股定理得出．
（）利用（）得出的画图．
【小问1详解】
①∵正边形单个内角度数公式为：（其中），
∴代入可得，正八边形每个内角为．
②∵正方形和正八边形的中心重合为点，
∴，，
，．
如图，过点作于
∴，
，
∴．
③由②知，，，．
∴，，
∴，
∴，
∵八边形是正八边形，内角为
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴正方形的边长为，
∵（勾股定理），
∴，
∴，
∴．
综上，正方形的边长为，．
【小问2详解】
利用（）得出的画图．
如图，连接，相交于点．以点为圆心，为半径画弧交于点；再以点为圆心，为半径画弧交于点，则为正八边形的边．
本题考查正多边形内角与中心角公式、正方形几何性质、等腰直角三角形性质、勾股定理、尺规作图原理等知识点；解题用到数形结合、中心对称思想，关键是依托共中心的图形关系推导边角等量、利用等腰直角三角形边长比例代换线段．
22. 综合与实践
【问题情境】
小明热爱数学与建筑，梦想长大后成为一名建筑设计师．他想以抛物线为创作灵感，运用绘图软件设计一个造型别致又富有数学美感的创意建筑——山岚之眼（图1）．请你帮他一起设计，解决相关问题．
【建立模型】
整座建筑分为上下两部分，上部是一条抛物线的造型，其最高点到水平地面的距离为，左右两端，两点到水平地面的距离均为，且两点相距．
如图2，以水平地面所在直线为轴，垂直于水平地面且经过左端点的直线为轴，建立平面直角坐标系．
（1）求建筑上部抛物线造型对应的函数表达式；
【问题解决】
（2）将建筑上部的抛物线造型沿直线折叠得到一条新的抛物线，其与水平地面交于，两点（点在点的左侧）．抛物线在水平地面之上的部分与线段共同组成了建筑的下部．
①求线段的长；
②小明带着这份设计方案虚心请教了相关老师，老师建议增设两根竖直的圆柱形装饰杆，（在的左侧），其中点，在建筑的上部，点，在建筑的下部．小明只记得两根装饰杆的高度均为，却忘记了它们的具体位置，请你直接写出点，的坐标．
【答案】（1）
（2）①线段的长为；②，
【解析】
【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）①先求出抛物线的解析式为：，然后求出，，再求出的长度即可；
②先判断圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边，点E的右侧，然后根据函数解析式得出，求出x的值，即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：，，，
设抛物线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：
；
【小问2详解】
解：①根据题意得：抛物线的顶点坐标为：，
设抛物线的解析式为：，把代入得：
，
∴抛物线的解析式为：
，
把代入得：，
解得：，，
∵点在点的左侧，
∴，，
∴；
②把代入得：，
∵，
∴圆柱形装饰杆应该安装在点D的左边，点E的右侧，
∴，
解得：，，
把代入得：，
把代入得：，
∴，．
23. 综合与探究
【问题情境】
如图1，在中，连接，．点为边上一点，连接．将沿折叠得到，点的对应点为点，连接．
【猜想证明】
（1）如图2，当点与点重合时，连接．判断四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】
（2）如图3，当点为边的中点时，判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，，在折叠的过程中当为直角三角形时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）四边形为矩形，
方法一：证明：
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
由折叠得，，，
，，
，，三点在同一条直线上，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形；
方法二：证明：
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
由折叠得，，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，
为矩形；
（2）
方法一：
证明：如下图所示，连接交于点，
由折叠得，是线段的垂直平分线，
点是的中点，
点是的中点，
是的中位线，
，即；
方法二：
证明：如下图所示，连接交于点，
点是的中点，
，
由折叠得，，垂直平分线段，
，，
，，
，
，
，
；
方法三：
证明：点是的中点，
.
由折叠得，，.
，，
，
，
，
；
（3）线段的长度为或
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据即可证明四边形为矩形；
（2）方法一、连接交于点，根据折叠的性质可知点是的中点，即可证明是的中位线，根据中位线定理可证；
方法二、连接交于点，由折叠可知，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可证，根据同位角相等，两直线平行可证；
方法三、根据折叠的性质和三角形外角的性质可证，根据内错角相等，两直线平行可证；
（3）当为直角三角形时，分、、三种情况求出的长度．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：当时，如下图所示，
过点作交延长线于点，
，，
设，，
，，
，
解得：，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
由折叠可知，，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
解得：，
，，
在中，，
；
当时，如下图所示，过点作，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，，
由折叠可知，，
，
，
，
由折叠可知，
；
当时，如下图所示，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
由折叠可知，
，
，
不成立；
综上所述，线段的长度为或．
平均数（）
中位数（）
众数（）
方差
甲地
16
乙地
16
正多边形的嵌套
我了解到在一些建筑上常有多边形相互嵌套的图案．如图1所示的建筑图案就是一个正方形里面嵌套了一个正八边形．我想利用尺规在正方形中作出正八边形，且使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点．
已知：如图2，正方形．
求作：正八边形，使正方形的每条边上有两个正八边形的顶点．
【草图分析】结合题意画出草图（如图3），对图形分析如下：
①正八边形的每个内角为 °；
②由正多边形的对称性可得，正方形的中心与正八边形的中心重合，记为点．连接，，，，可得 °， °．
【制定方案】根据上面的分析，我制定了如下作图方案：
①连接，相交于点；
②作的角平分线交于点；
【回顾反思】根据上面的方案我完成了作图，但发现作图过程繁琐．继续深入分析图3，设正八边形的边长为，则正方形的边长为 ， ， ，于是得到了新的作图方案．