2026年高考数学真题完全解读（全国一卷）含答案

这是一份2026年高考数学真题完全解读（全国一卷）含答案，共31页。
试题分析
2026年新高考全国I卷数学试题延续19题结构（单选8道、多选3道、填空3道、解答5道），总分150分。试卷整体难度适中偏上，以基础性考查为主轴，兼顾综合性、应用性和创新性。单选题前5题侧重基础概念与基本运算，第6题函数最值与第7题等差数列应用适当提升思维层次；第8题空间点集随机变量期望具有较强的抽象性。多选题第9题复数性质为基础题，第10题空间二面角与第11题直线与三圆位置关系综合程度较高，体现多选部分给分机制对知识盲区的零容忍。填空题第12题双曲线离心率、第13题三角函数性质为基础题，第14题数列最值问题需要构造与转化思想，区分度明显。解答题第15题立体几何证明与距离计算、第16题解三角形属于中档题；第17题概率分布列结合投篮情境，考查建模能力；第18题椭圆综合与第19题函数集合综合作为压轴题，计算量与思维量并重，尤其是第19题打破传统函数导数模式，融入集合论思想，探究性特征突出。整卷对数学运算、逻辑推理、直观想象等核心素养覆盖全面，第7题以宁夏一百零八塔为情境体现传统文化育人导向。
试题亮点
1. 传统文化情境深度融合，凸显学科育人价值：第7题以宁夏青铜峡市一百零八塔为命题情境，将等差数列与历史文化建筑格局有机结合，要求学生在理解塔群排列规律的基础上运用等差数列前n项和与分组思想求解。这种以中华优秀传统文化为载体的命题方式，既考查了数学建模能力，又增强了文化认同感，体现数学学科的文化育人功能。
2. 知识交汇度显著提升，突出综合分析能力：第11题将直线与三个等圆的位置关系、弦长公式、距离公式及导数求最值熔于一炉；第19题以函数和集合为载体，打破函数与导数、集合论等模块壁垒，设置证明、存在性与单调性三问，层层递进。第10题空间几何中二面角与线面垂直的综合判断，同样需要跨知识点的灵活迁移。
3. 能力层级分明，强化思维品质考查：第8题空间点集随机变量期望问题，需要学生从抽象的64个空间点中提炼概率模型，利用对称性简化期望计算，对数学抽象素养要求极高；第14题数列最值问题需要构造三项块和，通过分类讨论与不等式放缩求得上界；第6题函数最值虽为单选题，但四种解法从特值验证到严格求导，为不同思维层次的学生提供了解题路径。
命题趋势
一、基础题送分到位但概念理解要求更深，拒绝机械刷题：2026年新高考I卷单选前5题、填空前两题仍保持较低难度，但如第3题将集合运算与三角函数特殊角值结合，表面考查交集，实则要求准确记忆并运算特殊角的三角函数值；第4题切线方程并非简单套用公式，而是需要先正确求导再代入点斜式。未来命题将继续以基础题为基本盘，但会通过反套路设计和知识小交汇检验学生是否真正理解概念本质，而非仅靠题型记忆得分。
二、解析几何与立体几何持续作为区分主战场：近三年新高考I卷均保持19题结构，解析几何与立体几何合计分值稳定在50分左右。2026年试卷中第10题二面角与空间位置关系、第11题直线与三圆位置关系、第12题双曲线离心率、第15题立体几何证明与距离、第18题椭圆综合，五道题共52分，占比超过三分之一。其中第11题和多选第10题的部分给分机制持续对知识盲区零容忍，预计这一结构将稳定延续。
三、概率统计创新性与抽象性显著增强：第1题中位数为基础统计概念，第8题则以空间点集创设高度抽象的概率情境，要求学生从64个点的坐标特征中提炼对称性求期望；第17题以投篮练习为情境，考查离散型随机变量的分布列与条件概率证明。随着新课标对数学建模素养的强调，概率统计模块的分值和考查深度稳中有升，抽象化与创新化成为新趋势。
四、压轴题探究性特征明显，函数与集合综合成为新方向：第19题以函数和集合为载体，设置求解析式、证明集合包含关系及单调性三问，第(2)(3)问需要学生自主构造辅助条件、利用反证法与条件递推。这种打破传统函数导数压轴模式、融入集合论与抽象代数思想的设计，体现了未来压轴题将继续淡化复杂计算、强化思维过程与探究能力考查的命题方向。
考点细目表
考点模块占比分析
基础知识模块（约11%，16分）：重点考查集合运算、平面向量基本定理与复数的基本性质，对应第2、3、9题。其中第3题将集合与三角函数特殊角值结合，体现基础知识的交汇考查，要求学生既准确掌握集合运算规则，又熟练记忆特殊角的三角函数值。
函数与导数模块（约18%，27分）：重点考查导数的几何意义、函数最值及函数性质综合，对应第4、6、19题。第4题直接考查导数的几何意义求切线方程；第6题通过分类讨论研究含参函数最值；第19题作为压轴题，将函数与集合论深度融合，体现极强的抽象性与探究性。
平面解析几何与立体几何模块（约35%，52分）：重点考查抛物线、双曲线、椭圆、直线与圆的位置关系及空间几何，对应第5、10、11、12、15、18题。本模块分值占比最高，其中第10题二面角与空间位置关系、第11题直线与三圆综合、第18题椭圆综合均为高区分度题目。
数列与三角函数模块（约20%，30分）：重点考查等差数列、等比数列及三角函数性质、解三角形，对应第7、13、14、16题。第7题以一百零八塔传统文化情境创设等差数列问题，体现文化育人导向；第14题数列最值需要构造三项块和利用不等式放缩求解。
概率与统计模块（约17%，25分）：重点考查中位数、数学期望、离散型随机变量分布列，对应第1、8、17题。第1题为基础统计概念；第8题以空间点集创设抽象概率情境，创新性显著；第17题以投篮练习为情境，考查分布列与条件概率的综合应用。
核心复习策略
1. 夯实基础，重视概念本质理解
（1）回归教材，深入理解集合、函数、向量、复数等核心概念的本质定义，建立清晰的知识网络。如第3题需准确记忆特殊角的三角函数值，第4题需理解导数的几何意义而非机械套用公式。
（2）通过变式训练检验概念理解的深度，避免仅靠题型记忆得分。关注不同模块知识点的内在联系，提高综合应用能力。
2. 强化解析几何与立体几何综合训练
（1）系统掌握直线与圆、圆锥曲线的定义与性质，熟练运用弦长公式、距离公式、韦达定理等核心工具。如第11题需将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系。
（2）加强空间想象能力的培养，通过作图、模型辅助理解二面角、线面关系等空间问题。第10题和第15题均需要在空间中准确判断位置关系。
3. 提升概率统计与数列的创新解题能力
（1）关注概率统计中的新情境、新定义问题，培养从抽象情境中提取数学模型的能力。如第8题需从空间64个点中抽象出概率模型，利用对称性简化期望计算。
（2）数列复习中注重构造法、转化思想的训练，掌握等差等比数列的性质及与其他知识点的交汇。如第14题需构造三项块和，通过分类讨论与不等式放缩求最值。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
忽视定义域与特殊情况：如第6题求函数最值时需先确定定义域，再对参数进行分类讨论，避免遗漏导致错选。
立体几何作图不规范导致逻辑混乱：第10、15题空间关系复杂，作图不清晰会影响后续推理，建议养成先作图再分析的习惯。
解析几何计算失误：第11、18题涉及大量代数运算，需养成分步检验的习惯，尤其在联立方程和利用韦达定理时注意符号。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
一、单选题
1．样本数据6,8,4,5,12的中位数为（ ）
A．5B．6C．8D．9
命题透视
►核心考点：中位数的概念与计算
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学运算情境，直接给出样本数据，要求学生运用中位数的定义进行求解。
（2）问题设计：直接设问，考查中位数的定义与排序运算，属于基础概念题。四个选项设置常见的混淆值，检验学生是否理解中位数与平均数、众数的区别。
（3）考查目标：考查数据分析和数学运算素养，侧重基础概念的准确理解和基本计算能力。
答案与解析
【答案】B
【分析】结合中位数定义可得.
【详解】将已知数据从小到大排序为4,5,6,8,12，则中位数为6.
知识总结
①核心概念：中位数是将一组数据按大小顺序排列后位于中间位置的数；当数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数。②解题要点：先排序再找中间位置，注意区分中位数、平均数与众数。③拓展关联：中位数反映数据的集中趋势，相比平均数不受极端值影响，在实际统计中常用于收入、房价等数据的描述。
2．已知平面向量a，b不共线，且2a+yb=xa−3b，则（ ）
A．x=2，y=−3B．x=−2，y=3C．x=2，y=3D．x=−2，y=−3
命题透视
►核心考点：平面向量基本定理
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，以平面向量的线性表示为背景，考查向量基本定理的应用。
（2）问题设计：给出向量不共线及线性等式，要求确定系数，考查向量基本定理中系数唯一性。选项设置对称的系数组合，检验学生是否掌握向量分解的唯一性原理。
（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重平面向量基本定理的理解与代数运算能力。
答案与解析
【答案】A
【分析】由平面向量基本定理可得.
【详解】由题意可知平面向量a,b不共线，且2a+yb=xa−3b，
则x=2y=−3.
知识总结
①核心概念：平面向量基本定理指出，平面内任意向量都可由两个不共线向量唯一线性表示，即对于不共线的向量a,b，任意向量c存在唯一实数对(x,y)使c=xa+yb。②解题要点：将等式两边按同一组基底展开，利用系数对应相等列方程求解。③拓展关联：平面向量基本定理是空间向量基本定理的特例，也是解析几何中坐标法的基础。
3．已知集合A=sin7π6,cs5π3,tan5π4，B=−32,−12,1，则A∩B=（ ）
A．−32,−12B．−32,1C．−12,1D．−32,−12,1
命题透视
►核心考点：集合的交集运算与特殊角的三角函数值
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，将集合运算与三角函数特殊角值相结合，考查两个知识点的综合应用。
（2）问题设计：以三角函数值为元素构造集合，要求求交集。题目将两个基础知识点交汇，表面简单但需准确计算多个特殊角的三角函数值。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重特殊角三角函数值的准确记忆与集合交集运算的综合应用。
答案与解析
【答案】C
【详解】因为sin7π6=sinπ+π6=−sinπ6=−12，cs5π3=cs2π−π3=csπ3=12，tan5π4=tanπ+π4=tanπ4=1，
即集合A=−12,12,1，且集合B=−32,−12,1，所以A∩B=−12,1.
知识总结
①核心概念：集合的交集是由同时属于两个集合的所有元素组成的集合；特殊角的三角函数值包括sin、cs、tan在0、pi/6、pi/4、pi/3、pi/2等角处的值。②解题要点：先分别求出两个集合的元素，再取公共元素。注意三角函数的诱导公式运用。③拓展关联：集合运算常与不等式、函数定义域、值域等结合考查，是高考基础题的重要载体。
4．曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为（ ）
A．y=3x+2B．y=5xC．y=8x−3D．y=13x−8
命题透视
►核心考点：导数的几何意义——求曲线的切线方程
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，以对数函数与一次函数的复合函数为背景，考查导数的几何意义。
（2）问题设计：给出曲线方程和切点坐标，要求求切线方程。属于导数几何意义的直接应用，但涉及对数函数求导，需要准确运用求导法则。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重导数计算和点斜式方程的熟练运用。
答案与解析
【答案】D
【详解】因为y=5x+8lnx，则y′=5+8x，当x=1时，y′=13，
所以曲线y=5x+8lnx在点(1,5)处的切线方程为y−5=13x−1，
即y=13x−8.
知识总结
①核心概念：函数在某点处的导数等于曲线在该点处切线的斜率；切线方程可用点斜式y-y0=f'(x0)(x-x0)表示。②解题要点：先求导得斜率，再代入点和斜率写点斜式，最后化为一般式或斜截式。③拓展关联：导数的几何意义还可拓展到求法线方程、两条曲线的公切线问题、切线不等式证明等。
5．已知抛物线C1:y2=2p1x（p1>0）和C2:x2=2p2y（p2>0）均经过点(4,8)，则C1的焦点与C2的焦点之间的距离为（ ）
A．12B．45C．6D．652
命题透视
►核心考点：抛物线的标准方程与焦点坐标
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，以两条不同类型的抛物线为背景，考查抛物线标准方程与焦点坐标的综合应用。
（2）问题设计：给出两条抛物线均经过同一点，要求求两焦点之间的距离。需要先确定参数再求焦点坐标，最后计算距离，步骤清晰但需细心运算。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重抛物线标准方程的求解和两点间距离公式的综合应用。
答案与解析
【答案】D
【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数p1,p2，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可.
【详解】∵ 抛物线C1:y2=2p1x(p1>0)经过点(4,8)，
∴ 将x=4,y=8代入C1的方程得82=2p1⋅4，即64=8p1，解得p1=8.
∴ C1的焦点坐标为F1p12,0，即F1(4,0).
∵ 抛物线C2:x2=2p2y(p2>0)经过点(4,8)，
∴ 将x=4,y=8代入C2的方程得42=2p2⋅8，即16=16p2，解得p2=1.
∴ C2的焦点坐标为F20,p22，即F20,12.
根据两点间距离公式，F1与F2之间的距离为：
|F1F2|=(4−0)2+0−122=16+14=654=652.
知识总结
①核心概念：抛物线y^2=2px的焦点坐标为(p/2,0)，抛物线x^2=2py的焦点坐标为(0,p/2)。②解题要点：将已知点代入抛物线方程求参数p，再写出焦点坐标，最后用距离公式计算。③拓展关联：抛物线的定义是平面内到定点（焦点）与定直线（准线）距离相等的点的轨迹，此定义在解决焦点弦问题时非常有效。
6．已知函数f(x)=x+2ex+a的最大值为1，则a=（ ）
A．12B．1C．32D．2
命题透视
►核心考点：利用导数研究含参函数的最值
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，以对数型分式函数为载体，考查含参函数最值的求解方法。
（2）问题设计：已知函数最大值为1，求参数值。题目提供多种解法路径，从特值验证到严格求导，体现分层设问思想。选项设置引导学生从简单方法入手。
（3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重分类讨论思想、导数应用和函数最值分析能力。
答案与解析
【答案】B
【详解】法1：（1）当a2，
故最大值不为1，不合题意；
③当−1e20时，g(x)0)，解得a≥1.
同法2验证可得，故a=1满足题意，由选项唯一可得..
法4：由选项知a>0，则定义域为R，
由f(0)=21+a≤1(a>0)，解得a≥1.
验证：当a=1时，由不等式ex≥x+1可得ex+1≥x+2，
故f(x)=x+2ex+1≤1，当且仅当x=0时等号成立，
故a=1满足题意，由选项唯一可得.
知识总结
①核心概念：函数最值可通过求导找极值点，再结合端点值和定义域确定；含参函数需对参数分类讨论。②解题要点：先确定定义域，再求导找临界点，分析单调性，最后比较极值和端点值确定最值。③拓展关联：函数最值问题常与不等式恒成立、存在性问题结合，是高考压轴题的重要考查方向。
7．一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第i行中塔的座数记为ai(i=1,2,⋯,12)，其中a1=1，a2=a3=3，a4=a5=5，且a6，a7，…，a12是一个首项为7，公差为2的等差数列．将a1，a2，…，a12分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为d(d>0)的等差数列，则d=（ ）
A．2B．4C．6D．8
命题透视
►核心考点：等差数列在实际情境中的应用
►命题分析：
（1）情境创设：以宁夏青铜峡市一百零八塔为真实情境，将等差数列与历史文化建筑格局相结合。该塔群共108座塔，依山势自上而下排成12行，各行的塔数构成等差数列。
（2）问题设计：将108座塔按行分组，每行塔数构成等差数列，再将各组之和构成新的等差数列，要求求新数列的公差。情境信息丰富，需要学生从中提取数学模型。
（3）考查目标：考查数学建模和数学运算素养，侧重从真实情境中提取数学模型、运用等差数列性质解决实际问题的能力。
答案与解析
【答案】B
【分析】由条件求出数列an的前12项的和，设新数列为bn，设其公差为d，由条件可得b1+52d=18，结合选项判断即可.
【详解】由已知a1=1，a2=a3=3，a4=a5=5，ai=7+2i−6=2i−5，i=6,7,8,9,10,11,12，
所以数列an的前12项的和为1+6+10+7+19×72=17+91=108，
设新数列为bn，n=1,2,3,4,5,6，
由已知数列bn为等差数列，设其公差为d，d>0，
又an的前12项都为奇数，bn所有项都为偶数，
由已知d为正偶数，b1为正偶数，
则6b1+6×52×d=108，故b1+52d=18，
若d=2，则b1=13，矛盾，
若d=6，则b1=3，矛盾，
若d=8，则b1=−2，矛盾，
若d=4，则b1=8，此时可取b1=a1+a6=8，b2=a2+a7=12，b3=a4+a8=16，
b4=a3+a11=20，b5=a5+a12=24，b6=a9+a10=28，满足要求；
知识总结
①核心概念：等差数列前n项和公式为Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2；若将等差数列按固定项数分组，各组之和可能构成新的等差数列。②解题要点：先根据总项数和首项、公差求出原数列，再按要求分组，利用新数列的等差性质列方程求解。③拓展关联：等差数列与等比数列是数列的基础模型，在实际问题中常用于描述均匀增长或等距分布的现象。
8．设U=x1,x2,x3xi∈−2,−1,1,2,i=1,2,3为空间中64个点构成的集合，点P1,1,1，记样本空间Ω=∁UP，从Ω中随机取一个点，定义随机变量X如下：对Ω中的每个点Ax1,x2,x3，令X(A)=x1+x2+x3，则X的数学期望值为（ ）
A．−121B．−163C．0D．17
命题透视
►核心考点：离散型随机变量的数学期望
►命题分析：
（1）情境创设：以空间中64个点构成的集合为抽象情境，定义随机变量为点到三个坐标平面的距离之和，考查数学期望的计算。
（2）问题设计：创设高度抽象的概率模型，要求计算随机变量的数学期望。题目提供三种解法，分别对应直接计算、对称性分析和坐标和总和法，体现多路径解题思想。
（3）考查目标：考查数学抽象和数学运算素养，侧重从抽象情境中建立概率模型、利用对称性简化计算的能力。
答案与解析
【答案】A
【分析】由题意可知nΩ=63.解法一：根据古典概型求相应的概率，进而可得期望；解法二：可得PX=−3=463，PX=3=363，根据对称性运算求解；解法三：根据点的特征结合古典概型运算求解.
【详解】由题意可知：nΩ=4×4×4−1=63，且随机变量X的取值为−6，−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6.
解法一：依题意，可得PX=−6=PX=6=163，
PX=−5=PX=5=PX=−4=PX=4=363，
PX=−3=463，PX=3=363，
PX=−2=PX=2=PX=−1=PX=1=963，PX=0=663，
所以EX=−6+6×163+−5+5−4+4×363−3×463+3×363+−2+2−1+1×963+0×663=−121；
解法二：根据对称性可知：PX=−6=PX=6，PX=−5=PX=5，PX=−4=PX=4，PX=−2=PX=2，PX=−1=PX=1，
又PX=−3=463，PX=3=363，
所以EX=−3×463+3×363=−121；
解法三：因为xi∈−2,−1,1,2，i∈1,2,3，
对于任意一点x1,x2,x3，均存在−x1,−x2,−x3与之对应，可知这两点的坐标和为0，
因为P1,1,1，样本空间Ω=∁UP，
可知样本空间Ω中存在唯一点−1,−1,−1与点P1,1,1对应，
所以Ω中所有点的坐标和的总和为−1−1−1=−3，
故E(X)=−363=−121.
知识总结
①核心概念：离散型随机变量的数学期望E(X)=sum(xi*Pi)，反映随机变量取值的平均水平。②解题要点：解法一直接列举所有取值及概率；解法二利用对称性发现E(X)=E(Y)=E(Z)；解法三利用所有点坐标和为0的性质。③拓展关联：数学期望是概率统计的核心概念，在风险评估、决策分析、机器学习等领域有广泛应用。
二、多选题
9．设z=3+2i，则（ ）
A．z=3−2iB．z=5C．z2=5+12iD．z+3z−i∈R
命题透视
►核心考点：复数的基本运算与性质
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，以复数的代数形式为背景，考查复数的共轭、模、乘除运算等基本性质。
（2）问题设计：给出复数z的具体值，要求判断四个关于复数性质的命题。选项涵盖共轭复数、模、乘方、除法运算，全面考查复数的基础知识。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重复数基本运算的准确性和对复数性质的全面理解。
答案与解析
【答案】ACD
【详解】对于A选项，复数z=a+bi的共轭复数z=a−bi，因此z=3−2i，A选项正确.
对于B选项，复数的模|z|=a2+b2，因此|z|=32+22=13≠5，B选项错误.
对于C选项，∵ z=3+2i，
∴ z2=(3+2i)2=32+2×3×2i+(2i)2=9+12i−4=5+12i，该选项正确.
对于D选项，
∵ 分子z+3=3+2i+3=6+2i，分母z−i=3+2i−i=3+i，
∴ z+3z−i=6+2i3+i=(6+2i)(3−i)(3+i)(3−i)=18−6i+6i−2i29−i2=2010=2，2是实数，故z+3z−i∈R，该选项正确.
知识总结
①核心概念：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为sqrt(a^2+b^2)；复数的乘除运算可转化为代数运算。②解题要点：先确定复数的实部和虚部，再逐项验证各选项。注意i^2=-1的运算规则。③拓展关联：复数与平面向量一一对应，复数的模对应向量的模，复数的乘法对应旋转和伸缩变换。
10．在空间中，A、B为两个定点，动点C到直线AB的距离为2，动点D到直线AB的距离为1．若二面角C−AB−D为60°，则（ ）
A．∠CAD≥60°B．CD≥3
C．当AB⊥CD时，CD⊥平面ABDD．当AB⊥平面ACD时，AC⊥AD
命题透视
►核心考点：二面角与空间位置关系的综合判断
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，以空间中两条异面直线和动点轨迹为背景，考查二面角、线面垂直、线面平行等空间位置关系的综合判断。
（2）问题设计：设置动点到两条直线的距离条件，结合二面角的大小，判断四个关于空间位置关系的命题。选项涉及距离、线面垂直、平面重合等，需要较强的空间想象能力。
（3）考查目标：考查直观想象和逻辑推理素养，侧重空间图形的分析、二面角的理解和空间位置关系的综合判断能力。
答案与解析
【答案】BC
【分析】做出满足条件的图，过点C作CE⊥AB，E为垂足，过点D作DF⊥AB，F为垂足，过点E作EG//FD，由条件可得∠CEG=60∘，解三角形可得CG=3，由此判断B，当点A与点E的距离无限大时，可得∠CAD趋向于0∘，排除A，先证明AB⊥平面CDG，结合AB⊥CD，证明 D,G重合，由此证明CD⊥平面ABD，由AB⊥平面ACD推出点A与点E重合，点D与点G重合，判断D.
【详解】不失一般性作图如下，
过点C作CE⊥AB，E为垂足，过点D作DF⊥AB，F为垂足，
过点E作EG//FD，EG=FD，连接GD，
则EG⊥AB，因为二面角C−AB−D为60∘，
所以∠CEG=60∘，由已知CE=2,DF=1，
所以CG2=4+1−2×2×1×cs60∘=3，所以CG=3，
故CG⊥EG，CD≥CG=3，B正确；
当点A与点E的距离无限大时，CA，AD无限大，CA,CD无限靠近AB，
此时∠CAD趋向于0∘，A错误；
因为AB⊥CE,AB⊥EG，CE∩EG=E，CE,EG⊂平面CEG，
所以AB⊥平面CEG，又CG⊂平面CEG，所以AB⊥CG，
若AB⊥CD，D,G不重合，结合CG∩CD=C，CG,CD⊂平面CDG，
可得AB⊥平面CDG，DG⊂平面CDG，
所以AB⊥DG，矛盾，所以D,G重合，
因为AB⊥CG，CG⊥EG，EG∩EF=E，EG,EF⊂平面EFDG，
所以CG⊥平面EFDG， 故CD⊥平面ABD，C正确；
因为AB⊥平面CEG，若AB⊥平面ACD，
则平面CEG与平面ACD重合，此时点A与点E重合，点D与点G重合，
故AC与AD的夹角为60∘，D错误，
知识总结
①核心概念：二面角是两个半平面所成的角；线面垂直的判定定理要求直线垂直于平面内两条相交直线；点到直线的距离是垂线段的长度。②解题要点：通过作辅助线构造二面角的平面角，利用解三角形判断距离关系，结合线面垂直的判定与性质进行推理。③拓展关联：空间向量法是解决立体几何问题的有效工具，可将几何关系转化为代数运算。
11．已知圆C1:(x+1)2+y2=1，圆C2:(x−1)2+y2=1，圆C3:x2+(y−3)2=1，直线l:y=kx+b与C1，C2，C3均有两个交点．记l被C1，C2，C3截得的弦长分别为s1、s2、s3，则（ ）
A．k可以取任意实数B．满足s1=s2=s3的直线l共有3条
C．满足s1+s2+s3=3的直线l多于3条D．当b=0时，s1+s2+s3的最大值为2213
命题透视
►核心考点：直线与圆的位置关系与弦长问题
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，以三个等圆和一条公共直线为背景，考查直线与圆的位置关系、弦长公式及最值问题。
（2）问题设计：三个等圆的圆心位置确定，直线与三圆均相交，要求判断弦长相关的四个命题。题目将弦长公式、距离公式、导数求最值等多维知识熔于一炉，计算量较大。
（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重弦长公式的灵活运用、代数运算能力和最值问题的求解方法。
答案与解析
【答案】BCD
【分析】已知三个圆均为半径r=1的等圆，圆心分别为C1(−1,0)、C2(1,0)、C3(0,3)，利用弦长公式si=21−di2（di为直线l到对应圆心的距离，且dik+mPX>k=1−pk+m1−pk
=1−pm=PX>m
即P(X>k+mX>k)=PX>m.
【分析】（1）求出X的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列.
(2)（i）PX>k等价于前k次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出PX>k.
（ii）利用条件概率公式，结合 (i) 的结论与事件的包含关系即可证明结论.
【详解】（1）由题意，
整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N次，
当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习，
∴X的可能取值为1，2，3，4，
当X=1时，表示第一次就投进球，PX=1=13，
当X=2时，表示第2次投进球，第1次没有投进，P(X=2)=1−13×13=29，
当X=3时，表示第3次投进球，前两次没有投进，P(X=3)=1−132×13=427，
当X=4时，表示在第4次停止，此事件等价于前3次投篮均未投中，P(X=4)=PX>3=1−133=827，
作出X的分布列如下图所示：
（2）（i）由题意及（1）得，
整数N≥2，某同学进行投篮练习，至多投篮N次，
当且仅当投中1次时或N次均未投中时，停止练习，
当k≤N−1时，X>k表示前k次均未投中，
∴PX>k=1−pk.
（ii）略.
知识总结
①核心概念：离散型随机变量的分布列列出所有可能取值及对应概率；条件概率P(A|B)=P(AB)/P(B)；事件的包含关系指若A发生则B一定发生。②解题要点：先明确随机变量的所有可能取值，再逐个计算概率，注意停止规则的理解；证明概率不等式时善用条件概率公式和事件包含关系。③拓展关联：概率问题中的停止规则、递推关系是竞赛和高考压轴题的常见模型，马尔可夫链是其进阶形式。
18．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F(−1,0)，离心率为12．
(1)求C的方程；
(2)设O为坐标原点，过F且斜率大于0的动直线l与C交于P，Q两点，其中Q在第三象限，直线PO与C的另一个交点为R．
（i）若△PQR的面积是△PFO的面积的3倍，求l的方程；
（ii）求tan∠PQR的最小值．
命题透视
►核心考点：椭圆的标准方程与几何性质综合
►命题分析：
（1）情境创设：以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程、离心率、直线与椭圆的位置关系、三角形面积及最值问题。
（2）问题设计：第(1)问根据焦点和离心率求椭圆方程；第(2)问(i)利用面积倍数关系求直线方程，(ii)求角的最小值。题目涉及联立方程、韦达定理、面积公式和基本不等式，计算量大，综合性强。
（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重椭圆几何性质的理解、直线与椭圆联立方程的运算能力和最值问题的求解方法。
答案与解析
【答案】(1)x24+y23=1
(2)（i）y=52x+1；（ii）43
【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解；
（2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于∠PQR是直线PQ与直线RQ的夹角，根据tan∠PQR=kPQ−kQR1+kPQ⋅kQR列出表达式即可求解.
【详解】（1）已知椭圆x2a2+y2b2=1的左焦点为F−1,0，离心率e=12，
则c=1,e=ca=12，解得a=2，b2=a2−c2=22−12=4−1=3，
因此椭圆方程为x24+y23=1.
（2）解法一：
设l:y=kx+1k>0，点Px1,y1，点Qx2,y2，其中x1>x2，
联立直线l与椭圆方程y=kx+1x24+y23=1，得3+4k2x2+8k2x+4k2−12=0，
由韦达定理得x1+x2=−8k23+4k2,x1x2=4k2−123+4k2，
由于P,R两点在椭圆上，关于原点对称，
所以点R−x1,−y1，且y1=kx1+1,y2=kx2+1，
（i）

由面积公式，S△PQO=12OF⋅y1−y2=12⋅1⋅y1−y2=12y1−y2=k2x1−x2，
又因为O是线段PR的中点，所以S△PQO=S△RQO，所以S△PQR=2S△PQO=kx1−x2，
S△PFO=12OF⋅y1=y12=kx1+12，
由于S△PQRS△PFO=3，得2x1−x2=3x1+1，即x1+2x2=−3，
令u=k2，由x1+x2=−8u3+4u与x1+2x2=−3，得x1=9−4u3+4u,x2=−9+4u3+4u，
代入x1x2=4u−123+4u，得−9−4u9+4u3+4u2=4u−123+4u，解得u=54，
所以k=52，所以直线l的方程为y=52x+1.
（ii）直线QR的斜率为−y1−y2−x1−x2=kx1+x2+2x1+x2=−34k，
于是tan∠PQR=k+34k1−34=4k+3k≥24k⋅3k=43，当且仅当k=32时取等号，
故tan∠PQR的最小值为43.
解法二：
（i）如图所示，设直线l的方程为x=my−1，其中斜率k=1m>0⇒m>0，


设点Px1,y1，点Qx2,y2，且x2,y20,y20，解得m=25=255，
所以直线l的方程为x=255y−1，即y=52x+1.
（ii）由题意，∠PQR即为直线QP与直线QR的夹角，
直线QP即直线l，方程为x=my−1m>0，
点Qx2,y2，点Px1,y1，点R−x1,−y1，直线QP的斜率kQP=1m，
直线QR的斜率kQR=y2−−y1x2−−x1=y2+y1x2+x1，
由于P,Q在直线x=my−1m>0上，有x1=my1−1,x2=my2−1，
则kQR=y1+y2my1+y2−2，代入y1+y2=6m3m2+4，
则kQR=6m3m2+4m⋅6m3m2+4−2=6m6m2−23m2+4=6m−8=−3m4，
设直线QP的倾斜角为α，直线QR的倾斜角为β，则∠PQR=π−β+α，
因此tan∠PQR=tanπ−β+α=tanα−β=tanα−tanβ1+tanαtanβ=kQP−kQR1+kQP⋅kQR，
即tan∠PQR=kQP−kQR1+kQP⋅kQR=1m−−3m41+1m⋅−3m4=4+3m2m=3m+4m，
由基本不等式得3m+4m≥23m⋅4m=43，当且仅当3m=4m，即m=233时取等号，所以tan∠PQR的最小值为43.
知识总结
①核心概念：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=c/a，c^2=a^2-b^2；弦长公式|AB|=sqrt(1+k^2)*|x1-x2|；三角形面积可用底乘高或向量叉积计算。②解题要点：联立直线与椭圆方程后用韦达定理表示根与系数关系；面积问题常将面积比转化为线段比；最值问题注意基本不等式的使用条件。③拓展关联：椭圆的光学性质、焦点三角形面积公式、设而不求思想是解决椭圆综合题的重要工具。
19．已知函数fx的定义域为R，且当xfx0．
(1)若当x≥0时，fx=1−x，求D−1；
(2)若fx是奇函数，fx1≤fx2，且x1x2≠0，证明：Dx2⊆Dx1；
(3)设fx满足：①若fx1≤fx2，则Dx2⊆Dx1；②当00时，Dx0=d∈Rfx0+d>fx0=−∞,−x0∪0,+∞，
∴Dx=0,−x,x0，
∵x1x2≠0，
∴x1≠0且x2≠0，即fx1≠0，fx2≠0，
∵fx1≤fx2，
∴①当fx1≤fx20时，fx≤0，再证明对∀x0>0，d>0，都有d∈Dx0，进而证明出fx在0,+∞上单调递增.
【详解】（1）由题意，
在fx中，fx=2x,xfx0中，
D−1=d∈Rf−1+d>f−1=d∈Rf−1+d>12，
∴f−1+d>12，
当−1+d12=2−1，−1+d>−1，解得d>0，
当−1+d≥0时，1−−1+d>12，解得d