2026年高考数学真题完全解读（上海卷）含答案

这是一份2026年高考数学真题完全解读（上海卷）含答案，共11页。试卷主要包含了1秒，则__________．，02，86，03，63，47，60等内容，欢迎下载使用。

试题分析
2026年上海高考数学试卷延续上海卷独特的题型结构：填空题12道（每题4分，共48分）、选择题4道（每题5分，共20分）、解答题5道（共82分），总分150分。与全国新高考卷相比，上海卷无多选题，填空题占比高达32%，对基础运算的准确性和速度要求更高。试卷整体难度层次分明，填空题前8题侧重基础概念与常规运算，第9题等差数列前n项和区间问题、第10题空间向量共面问题、第11题三角函数物理情境建模、第12题椭圆顶点与焦点分类讨论体现较强的区分度。选择题第13-14题为基础概念题，第15题引入复数互相伴随的新定义，第16题正方体绕体对角线旋转的轨迹卦限判断具有较强的空间创新性。解答题第17题以工厂环保监测数据为情境，将统计图表与回归分析结合；第18题立体几何向量法证明与二面角计算；第19题函数切线与参数范围；第20题双曲线综合探究；第21题以排列为载体的函数新定义压轴题，层层递进，从具体判断到范围求解再到存在性证明，体现了上海卷压轴题一贯的抽象性与探究性特色。整卷对数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养覆盖全面，新定义题型和环保数据情境体现上海卷的本土特色。
试题亮点
1. 新定义题型贯穿全卷，抽象性与创新性并重：第15题引入复数互相伴随的新定义，要求学生理解当z1+z2为实数或z1-z2的共轭为实数时两复数互相伴随，进而推导互相伴随的充要条件；第21题以排列为背景定义函数排列，从判断具体排列到求参数范围再到证明存在性，三问层层递进。这种新定义题型是上海卷的特色，要求学生具备快速理解抽象定义并灵活运用的能力。
2. 空间几何动态问题创新设问，卦限判断体现空间想象力：第16题以正方体绕体对角线旋转为背景，要求判断顶点运动轨迹经过几个空间卦限。题目提供两种解法：解法一通过建立轨迹方程分析轨迹与各坐标面的交点；解法二利用补形法将轨迹转化为正三角形的内切圆。这种动态空间几何问题是上海卷的特色，与全国卷静态的线面关系判断形成鲜明差异。
3. 环保数据与城市特色情境深度融合，体现本土命题导向：第17题以上海工厂对空气中颗粒物密度和二氧化硫密度的九年监测数据为背景，考查古典概型、统计图表选择、相关系数判断和回归方程预测。题目将环保监测、数据分析与数学建模有机结合，体现了上海作为国际大都市对环境保护的重视，也反映了数学学科在城市治理中的实际应用价值。
命题趋势
一、新定义题型持续创新，函数与排列组合综合成为新方向：近三年上海卷压轴题均以新定义为特色，2024年函数新定义、2025年数列新定义、2026年排列新定义，呈现持续创新态势。第21题将排列组合与函数单调性、存在性证明综合，第(3)问需要利用反证法和严格单调函数的性质进行推导，对数学抽象素养要求极高。未来上海卷将继续以新定义为突破口，考查学生快速理解抽象概念并建立数学模型的能力。
二、空间几何动态化与物理化趋势明显，体对角线旋转与轨迹分析成为热点：第16题正方体绕体对角线旋转、第11题三角函数速度建模（导数为0对应速度极值，初始速度为0，速度第一次达到最大值的时间）均体现了几何问题的动态化和物理化趋势。上海卷近年来注重将空间几何与物理运动结合，通过建立坐标系或利用几何变换分析动态过程，预计未来这一方向将继续深化。
三、统计与数据分析融入城市治理情境，环保与公共卫生主题常态化：第17题以工厂环保监测数据为载体，考查概率、统计图表、相关系数和回归方程的综合应用。与上海卷近年命题风格一致，2024年、2025年也出现过公共卫生、环境监测等城市治理相关情境。随着上海城市数字化转型和智慧城市建设，基于真实数据的统计分析与预测能力将成为命题的持续重点。
四、填空题题量大、覆盖面广，基础运算准确性要求持续提升：上海卷填空题12道共48分，占总分近三分之一，且涵盖集合、数列、三角函数、概率、函数、二项式定理、不等式、向量、椭圆等多个模块。与全国卷相比，上海卷无多选题的容错机制，填空题答案唯一，对基础概念的理解深度和运算准确性要求更高。未来上海卷将继续保持这一结构特色，通过填空的广覆盖和解答题的深探究形成完整的考查链条。
考点细目表
考点模块占比分析
基础知识模块（约16%，24分）：重点考查集合运算、互斥事件概率、指数对数互化、独立事件与对立事件等基础概念，对应第1、4、13、14题。上海卷填空题前4题和选择题前2题均为基础概念的直接应用，难度较低但覆盖范围广。
函数与导数模块（约28%，42分）：重点考查函数性质、二项式定理、基本不等式、指数对数、切线方程及新定义排列，对应第5、6、7、13、19、21题。第21题作为压轴题，以排列为背景定义函数新定义，第(3)问需要利用反证法和严格单调函数性质进行存在性证明，体现了极强的抽象性。
平面解析几何与立体几何模块（约22%，33分）：重点考查椭圆、双曲线、空间向量、正方体旋转轨迹等，对应第12、16、18、20题。第16题正方体绕体对角线旋转的轨迹卦限判断是上海卷空间几何创新设问的典型代表；第20题双曲线第(3)问的存在性探究需要结合弦长公式和函数单调性分析。
数列与三角函数模块（约22%，33分）：重点考查等比数列、等差数列、三角函数诱导公式、物理情境建模，对应第2、3、9、11题。第9题等差数列前n项和在区间内至少有两项，需要分析数列单调性；第11题将三角函数与物理速度问题结合，体现数学建模导向。
概率与统计模块（约12%，18分）：重点考查互斥事件概率、分布列与期望、古典概型、统计图表与回归分析，对应第4、8、17题。第17题以环保监测数据为载体，将概率、统计图表、相关系数和回归方程融为一题，体现上海卷的本土特色。
核心复习策略
1. 夯实基础，提高填空题运算准确性和速度
（1）上海卷填空题12道共48分，占总分近三分之一，且无多选题容错机制，答案唯一。需系统梳理集合、数列、三角函数、概率、向量等基础概念，确保前8题基础填空零失误。
（2）加强限时训练，提高基础运算速度和准确率。填空题每题控制在2-3分钟内完成，为后面的解答题预留充足时间。
2. 突破新定义与动态空间几何
（1）新定义题型是上海卷的特色，复习中注重培养快速理解抽象定义的能力。如第15题复数互相伴随、第21题排列新定义，需要在理解定义的基础上建立数学模型。
（2）空间几何注重动态问题训练，如正方体旋转、点轨迹分析等。掌握建立空间直角坐标系和几何变换两种方法，提升空间想象能力。
3. 提升解答题综合能力和规范表达
（1）解答题第19-21题难度递增，需系统掌握导数应用、解析几何和存在性证明的方法。压轴题新定义问题注重从特殊到一般的归纳思维和反证法的运用。
（2）注重答题规范，解答题步骤清晰、逻辑严密。特别是分类讨论时要不重不漏，存在性问题要说明存在理由或构造反例。
避坑提醒（考试最易踩的雷）
填空题答案格式不规范失分：上海卷填空题答案需精确表达，如第4题概率需化简为最简分数，第7题最值需注明取等条件，第12题离心率需化简到最简形式。
新定义题型理解偏差：如第15题复数互相伴随的定义有双重条件（和为实数或差为实数），第21题排列的定义涉及两个不等式同时成立，理解偏差会导致后续推导全错。
分类讨论不完整：如第12题椭圆顶点与焦点的分类讨论、第20题双曲线直线斜率范围的讨论，容易遗漏某种情况导致答案不全。
×表达不规范：步骤、依据、单位或答语缺失都会造成失分。
一、填空题
1．已知集合，，则__________．
命题透视
►核心考点：集合的交集运算
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查集合的基本运算。
（2）问题设计：给出两个集合，要求求交集。属于集合运算的基础题，需要准确理解交集的定义并求解。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重集合运算基本概念的理解和应用。
答案与解析
【答案】
【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意.
知识总结
①核心概念：集合的交集是由同时属于两个集合的所有元素组成的集合。②解题要点：先化简或确定两个集合的元素，再找出公共元素。③拓展关联：集合运算常与不等式、函数定义域等结合考查。
2．已知为等比数列，，，则__________．
命题透视
►核心考点：等比数列的通项公式
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查等比数列的基本公式。
（2）问题设计：已知等比数列两项的值，要求求另一项。直接利用通项公式列方程求解。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重等比数列通项公式的熟练运用。
答案与解析
【答案】
【详解】设数列的公比为，则，则.
知识总结
①核心概念：等比数列通项公式an=a1*q^(n-1)。②解题要点：由已知条件列方程求公比q，再求目标项。③拓展关联：等比数列与等差数列是数列的基础模型。
3．已知，则__________．
命题透视
►核心考点：三角函数的诱导公式
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查三角函数的诱导公式。
（2）问题设计：给出三角函数值，要求利用诱导公式求另一三角函数值。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重诱导公式的灵活运用。
答案与解析
【答案】
【详解】．
知识总结
①核心概念：诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，如sin(π+α)=-sinα，cs(2π-α)=csα等。②解题要点：根据角的象限和诱导公式确定符号和函数名。③拓展关联：诱导公式与和差角公式、二倍角公式共同构成三角恒等变换的基础。
4．已知事件，互斥，，，则__________．
命题透视
►核心考点：互斥事件的概率加法公式
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查互斥事件的概率计算。
（2）问题设计：已知互斥事件的概率，要求求某事件的概率。直接利用互斥事件的加法公式。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重互斥事件概率加法公式的理解。
答案与解析
【答案】/
【详解】因为互斥，所以.
知识总结
①核心概念：互斥事件不能同时发生，P(A∪B)=P(A)+P(B)。②解题要点：确认事件互斥后，直接相加概率。③拓展关联：对立事件是特殊的互斥事件，P(A)+P(A的补)=1。
5．已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．
命题透视
►核心考点：偶函数的性质
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查偶函数的性质。
（2）问题设计：已知函数为偶函数，给出部分解析式和函数值关系，要求求参数值。利用偶函数f(-x)=f(x)的性质。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重偶函数性质的灵活运用。
答案与解析
【答案】
【分析】根据偶函数的性质求解.
【详解】因为函数是偶函数，当时，，
所以，解得.
知识总结
①核心概念：偶函数满足f(-x)=f(x)，图象关于y轴对称。②解题要点：利用偶函数性质将未知点的函数值转化到已知区间。③拓展关联：奇偶性是函数的重要性质，常与周期性、对称性综合考查。
6．已知，则展开式中的系数为__________．
命题透视
►核心考点：二项展开式的通项与系数
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查二项式定理的应用。
（2）问题设计：已知二项式，要求求展开式中某项的系数。利用通项公式确定项数。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重二项展开式通项公式的运用。
答案与解析
【答案】
【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数.
【详解】由题意，
在中，通项，
当即时，，
∴展开式中的系数为.
知识总结
①核心概念：二项式(a+b)^n展开式的通项为T_{r+1}=C(n,r)*a^(n-r)*b^r。②解题要点：写出通项，令未知数的指数等于目标值，解出r，再计算系数。③拓展关联：二项式系数性质、赋值法是二项式定理的重要应用。
7．已知，则的最大值为__________．
命题透视
►核心考点：利用基本不等式求最值
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查基本不等式的应用。
（2）问题设计：已知条件，要求利用基本不等式求最大值。需要注意取等条件。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重基本不等式的灵活运用和取等条件的验证。
答案与解析
【答案】/
【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论.
【详解】因为，当且仅当时等号成立，
结合可得，，
当且仅当，或，时等号成立，
所以当，或，时，取最大值，最大值为.
知识总结
①核心概念：基本不等式a+b≥2√ab（a,b>0），当且仅当a=b时取等号。②解题要点：将目标式变形为基本不等式的形式，注意验证取等条件是否满足已知约束。③拓展关联：基本不等式常与约束条件结合，注意等号能否取到。
8．已知随机变量的分布为，且，则__________．
命题透视
►核心考点：分布列的性质与数学期望
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查离散型随机变量的分布列和期望。
（2）问题设计：给出随机变量的分布列和期望条件，要求求参数值。利用分布列概率和为1及期望公式列方程组。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重分布列性质和期望公式的综合应用。
答案与解析
【答案】/
【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.
【详解】因为随机变量的分布为，且，
所以，且，
解得.
知识总结
①核心概念：分布列中所有概率之和为1；期望E(X)=Σxi*Pi。②解题要点：利用概率和为1和期望条件列方程组求解参数。③拓展关联：方差D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2，是描述随机变量离散程度的量。
9．已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________．
命题透视
►核心考点：等差数列前n项和与区间问题
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查等差数列前n项和的性质。
（2）问题设计：已知等差数列前n项和在区间内至少有两项，要求公差的取值范围。需要分析前n项和的单调性和区间覆盖。
（3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重数列单调性分析和不等式求解。
答案与解析
【答案】
【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.
【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出，
且，是单调递增的，所以必须满足，
所以，所以.
知识总结
①核心概念：等差数列前n项和Sn=na1+n(n-1)d/2，是关于n的二次函数（d≠0时）。②解题要点：分析Sn的单调性，确定Sn进入和离开区间的条件，确保至少有两项在区间内。③拓展关联：等差数列前n项和的最值问题可通过分析二次函数的顶点来解决。
10．已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________．
命题透视
►核心考点：向量共面与平面向量基本定理
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，以空间向量为背景，考查向量共面条件。
（2）问题设计：已知三个两两不平行的向量满足线性关系，要求求参数值。方法一消元后利用平面向量基本定理；方法二先证明共面再设线性组合。
（3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重向量共面条件的理解和运用。
答案与解析
【答案】
【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论；
方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论.
【详解】方法一：因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为不平行，所以，
所以，
方法二：因为，，两两不平行，
所以，，
若不共面，所以，矛盾，
所以共面，可设，
所以，
所以，
因为，可设，
所以，，
所以，，
所以，所以.
知识总结
①核心概念：若三个向量共面，则其中一个可由另两个线性表示；平面向量基本定理指出不共线向量可作为基底。②解题要点：方法一消去一个向量，利用不平行向量的系数对应相等；方法二先证共面再设线性组合。③拓展关联：向量共面是立体几何中判断四点共面的重要工具。
11．已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
命题透视
►核心考点：三角函数在物理情境中的应用
►命题分析：
（1）情境创设：以物理速度问题为情境，考查三角函数的性质和参数确定。
（2）问题设计：已知三角函数形式，给出导数为0的条件（速度极值）、初始速度为0、速度第一次达到最大值的时间，要求确定解析式中的参数。
（3）考查目标：考查数学建模和数学运算素养，侧重从物理情境中提取数学模型、利用三角函数性质求解参数的能力。
答案与解析
【答案】
【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式．
【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，
又，
所以，解得，故；
已知初速度为0，则，解得，
已知，则，
速度第一次达到4时用时秒，则，
即，则，
解得，
解得，当时取得最小正数，，
此时．
知识总结
①核心概念：三角函数s=Asin(ωt+φ)+B中，A为振幅，ω为角频率，φ为初相位；导数为0对应极值点。②解题要点：由导数为0确定振幅A和垂直位移B，由初始条件确定初相位φ，由达到最大值的时间确定ω。③拓展关联：三角函数在简谐振动、交流电、波动等物理问题中有广泛应用。
12．在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
命题透视
►核心考点：椭圆的顶点、焦点与离心率
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查椭圆的几何性质和分类讨论。
（2）问题设计：三角形三个顶点分别是椭圆的上、下、右顶点以及两个焦点中的三点，要求求离心率。需要对三点的身份进行分类讨论。
（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重椭圆几何性质的理解和分类讨论思想。
答案与解析
【答案】
【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率.
【详解】因为，
根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.
①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1
则或，解得或无解；
②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，
则或，方程组均无解；
综上所述：，，，所以离心率.
知识总结
①核心概念：椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的顶点为(±a,0)和(0,±b)，焦点为(±c,0)，离心率e=c/a。②解题要点：根据对称性分析点的可能身份，分情况列方程求解a、b、c的关系。③拓展关联：椭圆的几何性质（定义、标准方程、离心率）是解析几何的核心内容。
二、单选题
13．为不为1的任意实数，则（ ）．
A．B．C．D．
命题透视
►核心考点：指数式与对数式的互化
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查指数与对数的关系。
（2）问题设计：已知a为不为1的任意实数，判断指数式与对数式的等价关系。利用对数定义直接判断。
（3）考查目标：考查数学运算素养，侧重指数与对数互化的基本概念。
答案与解析
【答案】B
【详解】由，则.
知识总结
①核心概念：a^b=N等价于b=lg_aN（a>0且a≠1，N>0）。②解题要点：利用对数的定义将指数式转化为对数式进行判断。③拓展关联：指数函数与对数函数互为反函数，图象关于y=x对称。
14．事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A．B．C．D．
命题透视
►核心考点：独立事件与对立事件
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，考查事件的独立性和对立事件。
（2）问题设计：已知事件A和B相互独立，判断A和B至少一个发生的对立事件。利用对立事件的定义和德摩根定律。
（3）考查目标：考查逻辑推理素养，侧重对立事件概念和德摩根定律的理解。
答案与解析
【答案】C
【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.
【详解】根据已知至少有一个发生，
则对立事件为都不发生，所以的对立事件为.
知识总结
①核心概念：A和B至少一个发生的对立事件是A和B都不发生，即A的补∩B的补；德摩根定律：(A∪B)的补=A的补∩B的补。②解题要点：直接利用对立事件的定义写出结果。③拓展关联：独立事件P(AB)=P(A)P(B)，对立事件与互斥事件是不同的概念。
15．已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ）．
A．B．
C．D．
命题透视
►核心考点：复数新定义（互相伴随）
►命题分析：
（1）情境创设：纯数学情境，引入复数互相伴随的新定义，考查抽象概念理解和逻辑推理。
（2）问题设计：定义当z1+z2为实数或z1-z2的共轭为实数时，两复数互相伴随。已知z1和z2互相伴随，求z1和z2互相伴随的充要条件。
（3）考查目标：考查数学抽象和逻辑推理素养，侧重新定义的理解和充要条件的推导。
答案与解析
【答案】D
【分析】设，，由条件结合和互相伴随的定义可得，根据充要条件判断结论.
【详解】设，，，，
则，，，，
，，
，，
因为和互相伴随，所以，
若，则为实数，所以和互相伴随，
若和互相伴随，则，
所以和互相伴随的充要条件为.
知识总结
①核心概念：复数z=a+bi为实数当且仅当b=0；共轭复数z̄=a-bi。②解题要点：设复数的代数形式，利用新定义条件列方程，推导充要条件。③拓展关联：新定义题型是上海卷的特色，需要快速理解定义并建立数学模型。
16．已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（ ）．

A．B．C．D．
命题透视
►核心考点：正方体旋转轨迹与空间卦限
►命题分析：
（1）情境创设：以正方体绕体对角线旋转为情境，考查空间几何中的轨迹分析和卦限判断。
（2）问题设计：正方体绕体对角线旋转一周，判断顶点运动轨迹经过几个空间卦限。提供坐标系法和补形法两种解法。
（3）考查目标：考查直观想象和数学运算素养，侧重空间轨迹的建立和分析能力。
答案与解析
【答案】A
【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，解法一：设，列方程分析点的轨迹与各坐标面的交点即可判断；解法二：利用补形法，可知点的轨迹即为的内切圆，即可判断结果.
【详解】不妨设正方体的棱长为3，
则，，，
可得，，
设点在体对角线上的投影为，，，

则，
可得，解得，
则，即，且，
可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
解法一：在点的轨迹任取一点，则，
则，整理可得，
令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，
令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，
令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，
所以点的轨迹经过空间中的1个卦限；
解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：

则，，，
可知为边长为的正三角形，且其中心为，且内切圆半径，
即可知点的轨迹即为的内切圆，所以点的轨迹经过空间中的1个卦限.
知识总结
①核心概念：空间直角坐标系中，卦限由坐标符号的正负决定；点到平面的距离公式。②解题要点：解法一建立轨迹方程，分析与各坐标面的交点；解法二补形为正三角形，利用内切圆性质。③拓展关联：空间旋转问题常通过建立坐标系或利用几何对称性来简化分析。
三、解答题
17．某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
(1)为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
(2)为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
(3)2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
命题透视
►核心考点：古典概型、散点图、回归方程
►命题分析：
（1）情境创设：以工厂环保监测数据为实际情境，考查统计与概率的综合应用。
（2）问题设计：第(1)问利用古典概型求概率；第(2)问选择统计图表并判断相关系数区间；第(3)问比较两种回归方程的预测精度。
（3）考查目标：考查数据分析和数学建模素养，侧重从真实数据中提取信息、选择合适统计方法和评估模型精度的能力。
答案与解析
【答案】(1)；
(2)散点图；
(3)的预测值与实际值之差的绝对值更小.
【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；
（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.
【详解】（1）9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.
（2）统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，
又因为相关系数，故相关系数在区间上.
（3）采用方程时，2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为
，
所以，可得.
故采用方程时，
2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
知识总结
①核心概念：古典概型P(A)=m/n；散点图用于展示两个变量的相关关系；回归方程用于预测。②解题要点：统计图表选择需考虑数据特点；相关系数r∈[-1,1]，正相关r>0；比较预测值与实际值的差值绝对值。③拓展关联：线性回归方程ŷ=bx+a中，b为回归系数，a为截距。
18．已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，．
(1)求证：；
(2)若四棱锥的体积为，求二面角的大小．
命题透视
►核心考点：线线垂直的证明与二面角计算
►命题分析：
（1）情境创设：以四棱锥为几何体背景，考查空间几何中的垂直证明和二面角计算。
（2）问题设计：第(1)问证明线线垂直，通过建立空间直角坐标系，利用向量数量积为0证明；第(2)求二面角大小，利用法向量夹角求解。
（3）考查目标：考查直观想象和数学运算素养，侧重空间向量法解决立体几何问题的能力。
答案与解析
【答案】(1)根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
则，设点，
则，
，
．
(2)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直；
（2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解．
【详解】（1）略
（2）四棱锥体积，解得，
，则，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设二面角为，则，
由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为．
知识总结
①核心概念：向量a·b=0等价于a⊥b；二面角可用两个平面法向量的夹角表示。②解题要点：建立坐标系，写出各点坐标，求相关向量，利用数量积为0证明垂直；求法向量，用法向量夹角求二面角。③拓展关联：空间向量法是解决立体几何问题的通用方法，将几何关系代数化。
19．已知，函数，．
(1)已知，求的解集；
(2)已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
命题透视
►核心考点：切线方程、不等式与参数范围
►命题分析：
（1）情境创设：以函数导数为载体，考查切线方程、不等式求解和参数范围。
（2）问题设计：第(1)问已知不等式解集求参数；第(2)求切线方程和过定点垂直于切线的直线与曲线无交点时参数的范围。
（3）考查目标：考查逻辑推理和数学运算素养，侧重导数的几何意义、不等式恒成立和参数分离方法。
答案与解析
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；
（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.
【详解】（1）由题意，，
在与中，
，解得，
∴，
∵，
∴，解得或或
∴不等式的解集为.
（2）由题意及（1）得，，
在中，，
∴
∵直线为在点的切线，
∴直线的方程为：，即，
∵是过点且垂直于的直线，
∴直线的方程为：，即，
在中，，与、在第一象限内均无公共点，
∴与无正实数解，
分离参数得，，，
∴直线与与曲线在内均无交点，
而，
当时，解得（舍）或，
∴当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴在处取最小值，，
当时，，当时，，
∴且，即或，
∴实数的取值范围为.
知识总结
①核心概念：函数在某点处的导数等于切线斜率；不等式恒成立可转化为函数最值问题。②解题要点：先求参数和解析式；求切线方程；分离参数转化为函数最值问题。③拓展关联：参数分离法是解决恒成立问题的常用技巧，需分析函数的单调性和极值。
20．已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．
(1)求点到双曲线渐近线的距离；
(2)若，求；
(3)记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
命题透视
►核心考点：双曲线的几何性质与存在性探究
►命题分析：
（1）情境创设：以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质、面积计算和存在性探究。
（2）问题设计：第(1)求点到渐近线的距离；第(2)已知向量条件求三角形面积；第(3)探究是否存在常数使两直线弦长满足特定关系。
（3）考查目标：考查数学运算和逻辑推理素养，侧重双曲线性质、弦长公式和存在性问题的分析方法。
答案与解析
【答案】(1)
(2)
(3)存在实数符合题意，此时的取值范围为
【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离；
（2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解；
（3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解.
【详解】（1）由题意可知：，，
则，，渐近线方程为，即，
所以点到双曲线渐近线的距离为.
（2）解法一：因为，
由余弦定理可得，
整理得：，
因点是双曲线上一点，则，可得，
代入可得，，则，
所以的面积为；
解法二：设，则，即，
可得，，
因为，即，解得，
所以的面积为；
解法三：因为，即，
由中线长定理可知：，
因为，可得，
代入可得，，可得，
解得，则，，
所以的面积为.
（3）不妨取，，则直线的斜率，
依题意，设直线：，则，设直线：，则，，，
联立方程，消去x可得，
则，，
可得，
可知函数在内单调递增，则，
且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故，
因，所以；
同理可得：
可知在内单调递减，则，
且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故；
由题意可知：，可得，解得，
所以存在实数符合题意，此时的取值范围为.
知识总结
①核心概念：双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的渐近线为y=±(b/a)x；弦长公式|AB|=√(1+k^2)|x1-x2|。②解题要点：利用点到直线距离公式求距离；利用余弦定理或向量数量积求面积；设直线方程联立，用弦长公式表示，分析取值范围。③拓展关联：存在性问题通常假设存在，推导必要条件，再验证充分性。
21．已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．
(1)已知，，，，判断是否为排列；
(2)对，，，满足条件的，求的取值范围；
(3)对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．
命题透视
►核心考点：新定义（排列）与存在性证明
►命题分析：
（1）情境创设：以排列为背景引入函数新定义，考查抽象概念理解和严格的数学证明能力。
（2）问题设计：第(1)判断给定排列是否满足新定义；第(2)对全排列求参数范围；第(3)证明严格单调函数条件下存在性结论。
（3）考查目标：考查数学抽象和逻辑推理素养，侧重新定义的理解、分类讨论、反证法和严格证明能力。
答案与解析
【答案】(1)是排列；
(2)；
(3)首先证明第1个结论，
观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立，
那么排列都将是排列，此时至少为4．
当时，即，
因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数，
则恒成立，
又因为函数在上单调递增，
则在区间上，，.
若恒成立，则，
则只需，即，因为对任意的，，
则，则，则解得，
当时，即，
因为严格递减，所以且，
，
只要，就有，
则可取即可满足题意．
即存在，使得.
再证明第2个结论.
假设对于任意的，都有，
因为（2）中①排列始终满足条件，
则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列．
首先，我们证明不可能恒成立：
假设对于某个，在上恒有．
即，
即，
取．由于严格递增，
令，
则，
于是对任意正整数：
，
当时，，这与矛盾！
因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列．
接下来只剩②排列，其需满足，
⑤排列，其需满足，
⑥排列，其需满足，
下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真．
（i）若对任意，都有，即都有，
对于任意和，
则，
当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到，
所以恒成立，
则对所有的恒成立.
则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立，
则，与假设矛盾！
（ii）并非对于所有都有，即，
则必定存在，使得，
设，
因为是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的，总可以找到，使得，
即，即，
同时，因为严格递增且，必有．
即，
即，即，
则可取充分小的使得，即存在，使得，
所以＂恒成立＂这个命题是假的．
既然为假，那么＂恒成立＂必须为真．
即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足，
则对于，在时都有：
，
即，
取，则对于任意：
，
因为严格递增，则．
则
又因为，
则
即，对任意都成立．
取，因为，则，
则对于内的任意，都满足，
因为，故有，
但是，之前我们得到，
即，则，
则有：， 这与我们的假设相矛盾．
综上，原命题成立，必然存在，使得．
【分析】（1）根据排列的定义判断即可；
（2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；
（3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.
【详解】（1）由题意得，
则当，，
则恒成立，
，
则恒成立，
故是为排列.
（2）若，则1，2，3的全排列均满足题意，
①，则有：，此时两个不等式显然成立．
②，则有：，即.
③，则有：，即.
④，则有：，即.
⑤，则有：．
⑥，则有：，即.
则上述不等式均要成立，取它们的交集有，
即，即对恒成立，
分离参数得，因为当时，，
所以.
（3）略.
知识总结
①核心概念：新定义需仔细阅读题设条件；反证法先假设结论不成立，推出矛盾；严格单调函数的取值具有单调性。②解题要点：理解排列定义中的两个不等式条件；分类讨论全排列情况；利用反证法证明存在性，注意严格单调函数的性质运用。③拓展关联：新定义压轴题是上海卷的特色，需要具备从特殊到一般的归纳思维和严密的逻辑推理能力。题号
题型
分值
具体考点
关键能力
1
填空
4
集合与常用逻辑用语→集合运算→集合的交集运算
数学运算
2
填空
4
数列→等比数列→等比数列的通项公式
数学运算
3
填空
4
三角函数与解三角形→三角恒等变换→三角函数的诱导公式
数学运算
4
填空
4
概率与统计→随机事件→互斥事件的概率加法公式
数学运算
5
填空
4
函数与导数→函数性质→偶函数的性质
数学运算
6
填空
4
函数与导数→二项式定理→二项展开式的通项与系数
数学运算
7
填空
4
函数与导数→基本不等式→利用基本不等式求最值
数学运算
8
填空
4
概率与统计→离散型随机变量→分布列的性质与数学期望
数学运算
9
填空
4
数列→等差数列→等差数列前n项和与区间问题
逻辑推理、数学运算
10
填空
4
平面向量与复数→空间向量→向量共面与平面向量基本定理
逻辑推理、数学运算
11
填空
4
三角函数与解三角形→三角函数图像与性质→三角函数在物理情境中的应用
数学建模、数学运算
12
填空
4
解析几何→椭圆→椭圆的顶点、焦点与离心率
数学运算、逻辑推理
13
选择
5
函数与导数→指数与对数→指数式与对数式的互化
数学运算
14
选择
5
概率与统计→随机事件→独立事件与对立事件
逻辑推理
15
选择
5
平面向量与复数→复数→复数新定义（互相伴随）
数学抽象、逻辑推理
16
选择
5
立体几何→空间位置关系→正方体旋转轨迹与空间卦限
直观想象、数学运算
17
解答
14
概率与统计→统计图表与回归分析→古典概型、散点图、回归方程
数据分析、数学建模
18
解答
14
立体几何→空间向量→线线垂直的证明与二面角计算
直观想象、数学运算
19
解答
14
函数与导数→导数应用→切线方程、不等式与参数范围
逻辑推理、数学运算
20
解答
18
解析几何→双曲线→双曲线的几何性质与存在性探究
数学运算、逻辑推理
21
解答
22
函数与导数→函数性质→新定义（排列）与存在性证明
数学抽象、逻辑推理
颗粒物密度
101.02
87.02
57.47
21.85
11.76
8.86
5.03
4.63
3.86
二氧化硫密度
119.47
81.94
53.20
9.16
6.60
4.40
3.31
3.35
3.86