2026年高三高考上海卷数学高三高考真题（参考版）含答案

这是一份2026年高三高考上海卷数学高三高考真题（参考版）含答案，共13页。试卷主要包含了本考试分设试卷和答题纸等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟．
2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知集合，，则__________．
2. 已知为等比数列，，，则__________．
3. 已知，则__________．
4. 已知事件，互斥，，，则__________．
5. 已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．
6. 已知，则展开式中的系数为__________．
7. 已知，则的最大值为__________．
8. 已知随机变量的分布为，且，则__________．
9. 已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________．
10. 已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________．
11. 已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
12. 在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）
13. 为不为1的任意实数，则（ ）．
A. B. C. D.
14. 事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A. B. C. D.
15. 已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ）．
A. B.
C. D.
16. 已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对的对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（ ）．

A. B. C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
（1）为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
（3）2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
18. 已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，．
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为，求二面角的大小．
19. 已知，函数，．
（1）已知，求的解集；
（2）已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
20. 已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．
（1）求点到双曲线渐近线的距离；
（2）若，求；
（3）记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．
（1）已知，，，，判断是否为排列；
（2）对，，，满足条件的，求的取值范围；
（3）对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．
2026年普通高等学校招生全国统一考试
上海数学试卷
考生注意：
1．本试卷共5页，21道试题，满分150分．考试时间120分钟．
2．本考试分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 已知集合，，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意.
2. 已知为等比数列，，，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】设数列的公比为，则，则.
3. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】．
4. 已知事件，互斥，，，则__________．
【答案】##
【解析】
【详解】因为互斥，所以.
5. 已知函数是偶函数，当时，，若，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据偶函数的性质求解.
【详解】因为函数是偶函数，当时，，
所以，解得.
6. 已知，则展开式中的系数为__________．
【答案】
【解析】
【分析】写出二项式的通项，令的次数为，即可求出展开式中的系数.
【详解】由题意，
在中，通项，
当即时，，
∴展开式中的系数为.
7. 已知，则的最大值为__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论.
【详解】因为，当且仅当时等号成立，
结合可得，，
当且仅当，或，时等号成立，
所以当，或，时，取最大值，最大值为.
8. 已知随机变量的分布为，且，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据分布列性质及数学期望公式计算求解.
【详解】因为随机变量的分布为，且，
所以，且，
解得.
9. 已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解.
【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出，
且，是单调递增的，所以必须满足，
所以，所以.
10. 已知向量，，是两两不平行的向量，且，，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】方法一：由条件可得，，消去，根据平面向量基本定理列方程求结论；
方法二：先证明共面，设，由条件结合平面向量基本定理列方程求结论.
【详解】方法一：因为，所以，
因为，所以，
所以，
因为不平行，所以，
所以，
方法二：因为，，两两不平行，
所以，，
若不共面，所以，矛盾，
所以共面，可设，
所以，
所以，
因为，可设，
所以，，
所以，，
所以，所以.
11. 已知三角函数（，，，），若，当或时其导数为0，初始速度为0，且速度第一次达到4时用时为0.1秒，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件结合三角函数的性质构造方程组求出，结合初速度为0，求出，结合第一次达到最大值的时间构造方程求出，进而求出解析式．
【详解】由题意知，和时，导数为0，即的最小值为0，最大值为4，
又，
所以，解得，故；
已知初速度为0，则，解得，
已知，则，
速度第一次达到4时用时秒，则，
即，则，
解得，
解得，当时取得最小正数，，
此时．
12. 在中，，，．已知点，，分别为椭圆的上、下、右顶点，以及两个焦点中的三点，求椭圆的离心率__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆对称性分析各点的可能性情况，分情况讨论求的值，即可得离心率.
【详解】因为，
根据对称性可知：点其中一个为上下顶点，一个为右顶点，一个为焦点，不妨取上顶点.
①当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为左焦点，如图1
则或，解得或无解；
②当点中一个为上顶点，一个为右顶点，一个为右焦点，如图2，
则或，方程组均无解；
综上所述：，，，所以离心率.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）
13. 为不为1的任意实数，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】由，则.
14. 事件和事件相互独立，“和至少一个发生”的对立事件是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据事件的独立性及对立定义求解.
【详解】根据已知至少有一个发生，
则对立事件为都不发生，所以的对立事件为.
15. 已知，为复数，当为实数或的共轭复数为实数时，称和互相伴随．则当和互相伴随时，和互相伴随的充要条件是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，由条件结合和互相伴随的定义可得，根据充要条件判断结论.
【详解】设，，，，
则，，，，
，，
，，
因为和互相伴随，所以，
若，则为实数，所以和互相伴随，
若和互相伴随，则，
所以和互相伴随的充要条件为.
16. 已知空间直角坐标系中有一正方体，其三组棱分别与轴、轴、轴重合，顶点与坐标原点重合，点是正方体底面中与相对对角顶点，点在点的正上方．将正方体绕直线旋转一周，试问点的运动轨迹会经过几个空间卦限（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】不妨设正方体的棱长为3，分析可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，解法一：设，列方程分析点的轨迹与各坐标面的交点即可判断；解法二：利用补形法，可知点的轨迹即为的内切圆，即可判断结果.
【详解】不妨设正方体的棱长为3，
则，，，
可得，，
设点在体对角线上的投影为，，，

则，
可得，解得，
则，即，且，
可知点的轨迹是以点为圆心，半径的圆，
解法一：在点的轨迹任取一点，则，
则，整理可得，
令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，
令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，
令可得，解得，可知点的轨迹与平面相切，
所以点轨迹经过空间中的1个卦限；
解法二：将正方体补成边长为6的正方体，如图所示：

则，，，
可知为边长为的正三角形，且其中心为，且内切圆半径，
即可知点的轨迹即为的内切圆，所以点的轨迹经过空间中的1个卦限.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 某工厂为进行环境保护和改善，对2023年前九年间空气中颗粒物密度和二氧化硫密度进行了监测和记录，数据如下：
（1）为进一步研究，从这 9 年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在 ，，哪个区间内？（直接写结论）
（3）2023年前9年的年份()的平均数为 2018，(颗粒物密度) 关于(年份) 的回归方程拟采用，或. 已知2023年实际颗粒物密度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小？
参考数据：
【答案】（1）；
（2）散点图；
（3）的预测值与实际值之差的绝对值更小.
【解析】
【分析】（1）结合古典概型概率公式求解即可；
（2）根据图表数据可以判断用散点图分析；结合相关系数的性质判断区间；
（3）根据题意分别求解两种方程下的预测值与实际值的差值绝对值即可.
【小问1详解】
9年间共有7年颗粒物密度大于二氧化硫密度，故概率为.
【小问2详解】
统计图表需要呈现出随着二氧化硫密度变化时，颗粒物密度的变化趋势，故需要散点图进行呈现.
随着二氧化硫密度增加，颗粒物密度呈现增加趋势，故二者正相关，相关系数为正，
又因为相关系数，故相关系数在区间上.
【小问3详解】
采用方程时，2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为
，
所以，可得.
故采用方程时，
2023年预测值为，
预测值与实际值差值绝对值为；
因为，故方程对于2023 年的预测值与实际值的差值绝对值更小.
18. 已知四棱锥，底面为矩形，底面，垂足在边上，且，，．
（1）求证：；
（2）若四棱锥的体积为，求二面角的大小．
【答案】（1）根据已知四棱锥的性质，结合已知条件，以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，
则，设点，
则，
，
．
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，得出相关点和向量坐标，利用向量的数量积为0，推出向量垂直；
（2）利用棱锥体积公式求出，进而求出点，得出相关向量坐标，求出平面的法向量，进而利用向量夹角余弦公式求解．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
四棱锥体积，解得，
，则，，
设平面的法向量为，则，
令，则，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设二面角为，则，
由图可知，二面角为锐角，则二面角大小为．
19. 已知，函数，．
（1）已知，求的解集；
（2）已知，是在点处的切线，是过点且垂直于的直线，与、在第一象限内均无公共点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出参数，解不等式即可求出的范围；
（2）求出直线与的方程，利用与、在第一象限内均无公共点，得出与无正实数解，分离参数，转化为直线与与曲线在内均无交点，对求导讨论其单调性，得出函数的最值，建立不等关系，即可求出实数的取值范围.
【小问1详解】
由题意，，
在与中，
，解得，
∴，
∵，
∴，解得或或
∴不等式的解集为.
【小问2详解】
由题意及（1）得，，
在中，，
∴
∵直线为在点的切线，
∴直线的方程为：，即，
∵是过点且垂直于的直线，
∴直线的方程为：，即，
在中，，与、在第一象限内均无公共点，
∴与无正实数解，
分离参数得，，，
∴直线与与曲线在内均无交点，
而，
当时，解得（舍）或，
∴当即时，函数单调递减，
当即时，函数单调递增，
∴在处取最小值，，
当时，，当时，，
∴且，即或，
∴实数的取值范围为.
20. 已知双曲线，点在上，，分别为双曲线的左、右焦点．
（1）求点到双曲线渐近线的距离；
（2）若，求；
（3）记为双曲线满足和的部分；直线，均过右焦点，与交于，两点（分别在第一、第四象限），与交于，两点（分别在第三、四象限），问：是否存在常数，使得对任意直线，都存在唯一一对应的直线满足？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在实数符合题意，此时的取值范围为
【解析】
【分析】（1）根据双曲线方程求，即可得渐近线方程以及点到直线的距离；
（2）解法一：根据余弦定理可得，结合定义可得，，即可得面积；解法二：设，根据数量积可得，即可得面积；解法三：根据极化恒等式和中线长性质可得，，结合面积公式运算求解；
（3）根据题意结合双曲线性质可得直线斜率取值范围，设直线方程结合弦长公式可得，，进而分析取值范围即可得解.
【小问1详解】
由题意可知：，，
则，，渐近线方程为，即，
所以点到双曲线渐近线的距离为.
【小问2详解】
解法一：因为，
由余弦定理可得，
整理得：，
因点是双曲线上一点，则，可得，
代入可得，，则，
所以的面积为；
解法二：设，则，即，
可得，，
因为，即，解得，
所以的面积为；
解法三：因为，即，
由中线长定理可知：，
因为，可得，
代入可得，，可得，
解得，则，，
所以的面积为.
【小问3详解】
不妨取，，则直线的斜率，
依题意，设直线：，则，设直线：，则，，，
联立方程，消去x可得，
则，，
可得，
可知函数在内单调递增，则，
且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故，
因，所以；
同理可得：
可知在内单调递减，则，
且当趋近于1时，趋近于，即在内的值域为，故；
由题意可知：，可得，解得，
所以存在实数符合题意，此时的取值范围为.
21. 已知是，，的一个排列，若函数，，，对任意，都有且，则称是关于，，的一个排列，则关于，，的排列总数记为．
（1）已知，，，，判断是否为排列；
（2）对，，，满足条件的，求的取值范围；
（3）对，且对任意，，令，，，，证明：若严格减，则存在，使；若严格增，则存在，．
【答案】（1）是排列；
（2）；
（3）首先证明第1个结论，
观察（2）问的6个情况，若和在上同时成立，
那么排列都将排列，此时至少为4．
当时，即，
因为是定义在上的函数，且严格单调递减，实数，
则恒成立，
又因为函数在上单调递增，
则在区间上，，.
若恒成立，则，
则只需，即，因为对任意的，，
则，则，则解得，
当时，即，
因为严格递减，所以且，
，
只要，就有，
则可取即可满足题意．
即存在，使得.
再证明第2个结论.
假设对于任意的，都有，
因为（2）中①排列始终满足条件，
则在剩下的5种排列中，只有唯一的一个是排列．
首先，我们证明不可能恒成立：
假设对于某个，在上恒有．
即，
即，
取．由于严格递增，
令，
则，
于是对任意正整数：
，
当时，，这与矛盾！
因此，不可能恒成立．则排列③排列和④排列永远不可能是排列．
接下来只剩②排列，其需满足，
⑤排列，其需满足，
⑥排列，其需满足，
下面证明：对于任意在上恒成立＂与＂在上恒成立＂这两个命题，必须有且只有一个为真．
（i）若对任意，都有，即都有，
对于任意和，
则，
当且仅当时等号成立，又因为，故等号无法取到，
所以恒成立，
则对所有的恒成立.
则此时②排列，⑤排列，⑥排列均成立，
则，与假设矛盾！
（ii）并非对于所有都有，即，
则必定存在，使得，
设，
因为是严格单调递增的连续函数，
则对于已知的，总可以找到，使得，
即，即，
同时，因为严格递增且，必有．
即，
即，即，
则可取充分小的使得，即存在，使得，
所以＂恒成立＂这个命题是假的．
既然为假，那么＂恒成立＂必须为真．
即除①排列外剩余的5个排列中，只有②排列成立，此时满足，
则对于，在时都有：
，
即，
取，则对于任意：
，
因为严格递增，则．
则
又因为，
则
即，对任意都成立．
取，因为，则，
则对于内的任意，都满足，
因为，故有，
但是，之前我们得到，
即，则，
则有：， 这与我们的假设相矛盾．
综上，原命题成立，必然存在，使得．
【解析】
【分析】（1）根据排列的定义判断即可；
（2）分析得，，的全排列均符合题意，则得到不等式组，解出即可；
（3）第一个结论分和讨论即可证明，第二个结论利用反证法即可证明.
【小问1详解】
由题意得，
则当，，
则恒成立，
，
则恒成立，
故是为排列.
【小问2详解】
若，则1，2，3的全排列均满足题意，
①，则有：，此时两个不等式显然成立．
②，则有：，即.
③，则有：，即.
④，则有：，即.
⑤，则有：．
⑥，则有：，即.
则上述不等式均要成立，取它们的交集有，
即，即对恒成立，
分离参数得，因为当时，，
所以.
【小问3详解】
略.
颗粒物密度
101.02
87.02
57.47
21.85
11.76
8.86
5.03
4.63
3.86
二氧化硫密度
119.47
81.94
53.20
9.16
6.60
4.40
3.31
3.35
3.86
颗粒物密度
101.02
87.02
5747
21.85
11.76
8.86
5.03
4.63
3.86
二氧化硫密度
119.47
81.94
53.20
9.16
6.60
440
3.31
3.35
3.86