初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.4 角平分线的性质试讲课课件ppt

这是一份初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）5.4 角平分线的性质试讲课课件ppt，共38页。PPT课件主要包含了提炼图形，尺规作角的平分线，自学检测，角平分线的概念，线段PC的长，PDPE，OPOP，∴PDPE，应用所具备的条件，定理的作用等内容，欢迎下载使用。
挑战第一关 情境引入
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分 线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？
# 5.4 角平分线的性质和判定（七年级数学课件）## 幻灯片1：封面- 标题：5.4 角平分线的性质和判定- 副标题：七年级数学（下册/上册，根据教材版本调整）- 授课教师：XXX- 日期：XXXX年XX月XX日## 幻灯片2：目录## 幻灯片9：判定定理的推理证明### 已知：如图，点P在∠AOB内部，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE。### 求证：点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB）。### 证明：连接OP（构造辅助线）。∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知），∴ ∠PDO=∠PEO=90°（垂直定义），∴ △PDO和△PEO是直角三角形。在Rt△PDO和Rt△PEO中：$$\begin{cases} PO = PO \quad (\text{公共斜边}) \\ PD = PE \quad (\text{已知}) \end{cases}$$∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO（HL）。∴ ∠POD=∠POE（全等三角形的对应角相等）。∴ OP平分∠AOB（角平分线的定义），即点P在∠AOB的平分线上。## 幻灯片10：判定定理的符号表示与核心要点### 符号表示：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE（已知），∴ 点P在∠AOB的平分线上（到角两边距离相等的点在角平分线上）。### 核心要点：1. 前提条件：①点在角的内部；②点到角两边的距离相等（垂线段长度相等）；2. 结论：点在这个角的平分线上；3. 作用：判断一个点是否在角的平分线上，或证明某条射线是角平分线（多个点满足条件即可确定射线）。## 幻灯片11：性质与判定的区别与联系| 类别 | 性质定理 | 判定定理 ||------------|---------------------------------------|---------------------------------------|| 核心关系 | 线→点（角平分线→点到两边距离相等） | 点→线（点到两边距离相等→角平分线） || 作用 | 已知角平分线，证明两条垂线段相等 | 已知两条垂线段相等，证明点在角平分线上或射线是角平分线 || 逻辑关系 | 互逆定理（条件和结论互换） | 互逆定理（条件和结论互换） || 符号表示 | ∵ P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴ PD=PE | ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴ P在∠AOB的平分线上 |### 总结：- 性质：“有角平分线”→“距离相等”（用于求距离、证线段相等）；- 判定：“距离相等”→“有角平分线”（用于定位置、证射线是角平分线）；- 两者结合可解决角平分线相关的综合问题（如先判定角平分线，再用性质求距离）。## 幻灯片12：例题解析1——性质定理的基础应用（求距离）- 例题1： 如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD=3cm，求点P到OB的距离PE的长度。- 解题思路： 直接利用角平分线的性质定理“PD=PE”求解。- 解答过程： ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ∴ PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∵ PD=3cm（已知）， ∴ PE=3cm。 答：点P到OB的距离PE的长度为3cm。## 幻灯片13：例题解析2——判定定理的基础应用（证明角平分线）- 例题2： 如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD=CE，求证：AB=AC。- 解题思路： 先证明点A在∠BOC的平分线上（或证明△ABD≌△ACE），再推出∠ABC=∠ACB，进而证明AB=AC。- 解答过程： 证明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB（已知）， ∴ ∠ADB=∠AEC=90°（垂直定义）。 在Rt△ABD和Rt△ACE中： $$\begin{cases} ∠A = ∠A \quad (\text{公共角}) \\ ∠ADB = ∠AEC \quad (\text{已证}) \\ BD = CE \quad (\text{已知}) \end{cases}$$ ∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACE（AAS）。 ∴ AB=AC（全等三角形的对应边相等）。 （或用判定定理：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，BD=CE，∴ 点A在∠BOC的平分线上，∴ ∠BAO=∠CAO，再结合其他条件证明AB=AC）。## 幻灯片14：例题解析3——综合应用（性质+判定）- 例题3： 如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：BE=CF。- 解题思路： 先利用角平分线性质得DE=DF，再证明Rt△BDE≌Rt△CDF，得出BE=CF。- 解答过程： 证明： ∵ AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC（已知）， ∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∠DEB=∠DFC=90°（垂直定义）。 在Rt△BDE和Rt△CDF中： $$\begin{cases} ∠B = ∠C \quad (\text{已知}) \\ ∠DEB = ∠DFC \quad (\text{已证}) \\ DE = DF \quad (\text{已证}) \end{cases}$$ ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（AAS）。 ∴ BE=CF（全等三角形的对应边相等）。## 幻灯片15：尺规作角平分线（回顾与应用）### 作图任务：已知∠AOB，求作它的角平分线OC。### 作图步骤（图文分步展示）：1. 以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；2. 分别以D、E为圆心，大于½DE的长度为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；3. 作射线OC，OC即为∠AOB的角平分线。### 作图依据：到角两边距离相等的点在角平分线上（OC上的点到OA、OB的距离相等）。### 应用：用尺规作一个角的平分线，再利用性质定理验证：在平分线上取一点，作到两边的垂线，测量距离是否相等。## 幻灯片16：易错点辨析- 易错点1：性质定理应用时，忽略“垂线段”条件（误将非垂直的线段当作距离）； - 纠正：必须是点到角两边的垂线段长度相等，而非任意线段，需明确“PD⊥OA，PE⊥OB”。- 易错点2：判定定理应用时，忽略“点在角内部”的前提（角外部也存在到两边距离相等的点）； - 纠正：仅当点在角的内部时，到两边距离相等的点才在角平分线上，外部点在角平分线的反向延长线上。- 易错点3：混淆“角平分线的性质”与“角平分线的定义”（定义是平分角，性质是距离相等）； - 纠正：角平分线的定义是“把角分成两个相等的角”，性质是“距离相等”，两者是不同的结论，需根据需求选择使用。## 幻灯片17：课堂练习（基础题）1. 填空： （1）角平分线上的点到角两边的______相等； （2）到角两边距离相等的点在这个角的______上； （3）如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=5cm，则PE=______cm。 （答案：（1）距离；（2）平分线；（3）5）2. 选择： 下列说法正确的是（ ） A. 角平分线上的点到角两边的线段相等 B. 到角两边距离相等的点一定在角平分线上 C. 角平分线是到角两边距离相等的点的集合 D. 以上说法都不正确 （答案：C，A选项需强调“垂线段”，B选项需强调“在角内部”）## 幻灯片18：课堂练习（提升题）1. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AB=10cm，AC=8cm，△ABC的面积为45cm²，求DE的长度。 （解答：∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE=DF；△ABC面积=△ABD面积+△ACD面积=½×AB×DE + ½×AC×DF=½×10×DE + ½×8×DE=9DE=45，∴ DE=5cm）2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，求证：AD=DE=DC。 （证明：∵ ∠A=90°，BD平分∠ABC，∴ AD=DE（角平分线性质）；∵ ∠C=90°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴ DE=DC（角平分线性质），∴ AD=DE=DC）## 幻灯片19：课堂小结- 本节课重点内容回顾： 1. 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等（线→点）； 2. 判定定理：到角两边距离相等的点在角平分线上（点→线）； 3. 核心应用： - 性质：求距离、证明垂线段相等； - 判定：证明角平分线、确定点的位置； - 综合：结合全等三角形解决复杂问题； 4. 关键提醒： - 性质定理需满足“垂线段”条件； - 判定定理需满足“点在角内部”条件； - 尺规作角平分线的依据是判定定理。## 幻灯片20：作业布置1. 基础作业： - 教材习题XX页第15、16、17题； - 如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，OD=OE，求证：△PDO≌△PEO（用两种方法证明：AAS和HL）。2. 提升作业： - 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC，交AD于F，交AC于E，求证：AE=AF； - 思考：如何利用角平分线的性质和判定证明“三角形的三条角平分线交于一点”？（提示：证明两条角平分线的交点在第三条角平分线上）
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等.
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点N．
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
为什么OC是角平分线呢？
已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。
证明：连接CM,CN 在△OMC和△ONC中， OM=ON， MC=NC， OC=OC， ∴ △OMC≌ △ONC（SSS） ∴∠MOC=∠NOC 即：OC平分∠AOB
　如下图：用尺规过点Ｃ画直线Ｌ的垂线。怎么画呢？
若点Ｃ在Ｌ外呢？互相交流一下，看这个问题能不转化为“画线段垂直平分线”的问题呢？
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 .
3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 .
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵OP 是∠AOB的平分线，
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA,PE⊥OB，
例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
2.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
1. 如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F， DE =DF， ∠EDB= 60°，则 ∠EBF= 度，BE= .
3.已知用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知∠AOB的两边上，分别取OM=ON,再分别过点M,N作OA,OB的垂线，交点为P，画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么？
1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结：__________
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的 任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
证明： ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
1.应用角平分线性质：
2.联系角平分线性质：
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解