北京十五中分校2025-2026学年度第二学期八年级数学期中试卷

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1.下列二次根式中，最简二次根式是（）
A. B. C. D.
2.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
3.将下列长度的三条线段首尾顺次连接，不能组成直角三角形的是（）
A. 5，12，13B. 0.3，0.4，0.5C. ，，2D. 1，，
4.两个边长分别为，，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成如图所示的图形，可得等式为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，数轴上有五个点，根据图中各点表示的数，表示数的点会落在（ ）
A. 点和之间B. 点和之间C. 点和之间D. 点和之间
6.如图，两地被池塘隔开，小明想测量两地间的距离，但是不方便测量．于是想了个办法，他先选一个能直接到达的点，然后测出，的中点，．并且测得的长为18米，则，间的距离是（ ）．
A. 36米B. 27米C. 18米D. 9米
7.如图,在菱形ABCD中,AB=1,DAB=,则AC的长为( )
A. B. 1C. D.
8.如图①，在中，，，，以这个直角三角形三边为边向三角形外部分别作正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边之比为的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长向外作正方形．图②是1次操作后的图形，图③是2次操作后的图形．那么10次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ）
A. 225B. 250C. 275D. 300
二、填空题：本题共9小题，共20分。
9.若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10.已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数是 ．
11.若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是 ．
12.如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使平行四边形是矩形．．
13.在中，，则 ．
14.若是整数，则正整数可能取值（写出一个即可） ．
15.如图，有一架梯子斜靠在与地面（）垂直的墙（）上，小明需要爬梯子（）到高处作业．为安全起见，防止梯子沿墙下滑，他将梯子中点与墙角用绳子系紧．请问∶ 这种操作方式能达到安全目的吗？ （填“能”或“不能”或“不确定”）．
16.如图，矩形中，，，点为边上一动点，连接，将沿折叠得到，连接、，设．有以下结论∶（1）当时，；（2）不可能为等腰三角形；（3）当点落在对角线上时，；（4）线段的最小值为4；（5）当为直角三角形时，或6．其中正确结论的序号为 ．
17.已知，都是正整数，现定义新运算：．
(1) 计算：= ， ；
(2) 若，则的值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
18.计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
四、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题6分)
已知，．
(1) 求的值；
(2) 求的值．
20.(本小题6分)
如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，，，．求线段的长．
21.(本小题6分)
已知：如图，．求作：的平分线．
(1) 根据下列步骤完成作图：
①以的顶点为圆心，任意长为半径作圆弧，分别交两边于点、；
②分别以、为圆心，（或）长为半径作圆弧，两弧相交于点；
③作射线，则射线即为∠的平分线．
(2) 连接、，由（1）中作图可知四边形是菱形，所以射线为的平分线．四边形是菱形的依据是 ；为的平分线的依据是 ．
22.(本小题6分)
一架快递无人机自仓库地面处垂直起飞到点，沿水平正东方向匀速飞行一段距离到点，随后再次垂直上升90米到点并悬停执行配送任务．此时，地面操控者发现点与无人机之间的直线距离恰好比无人机水平飞行的距离多30米．求该无人机水平飞行的距离为多少米？
23.(本小题6分)
如图，在中，，点在上，．过点分别作，的平行线交于点．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 连接，若，求的长．
24.(本小题9分)
材料阅读：
两个不等于0的根式的积不含根式，则称这两个根式互为共轭根式．例如：与，与，与，共轭根式的一个特点是通过相乘能把根号去掉．
在二次根式的运算中，经常会出现诸如，的式子，对这类式子进行分母有理化，可以通过分子和分母同时乘以分母的共轭根式实现．例如，，中分母的共轭根式分别为，，则∶；．
解决问题：
(1) 分母有理化：
(2) 分母有理化：
(3) 应用：光学中的焦距．在光学中，凸透镜成像公式为：，其中为焦距，为物距，为像距．已知某凸透镜的物距，像距，求该凸透镜的焦距．
25.(本小题6分)
如图，正方形，等腰，，点在射线上，连接．
(1) 如图1，当点在线段上时．
①求证：；
②猜想线段、与之间的关系，并证明．
(2) 当点在延长线上（点在直线的下方）时，在图2中补全图形，并直接写出线段、与之间满足的关系式．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系中，对于点、图形以及直线，给出如下定义：若点是点与图形上一动点所连线段的中点，点是点关于直线的对称点．则称点是点关于图形、直线的“点称点”．
已知点，
(1) 若直线是过点且垂直于轴的直线．
①当时，点关于点、直线的“点称点”是 ；
②若点关于线段、直线的“点称点”在四边形的内部（包括边界），则的取值范围是 ​​​​​​​；
(2) 若直线是过点且平行第一、三象限角平分线的直线，点为线段的中点．当线段上存在点关于四边形、直线的“点称点”时，直接写出的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】x≥-1
10.【答案】110°/110度
11.【答案】5
12.【答案】
13.【答案】5或
14.【答案】/（答案不唯一）
15.【答案】不能
16.【答案】（1）（3）（4）（5）
17.【答案】【小题1】

【小题2】
64或4

18.【答案】【小题1】
解：原式
；
【小题2】
解：原式
；
【小题3】
解：原式
；
【小题4】
解：原式
．

19.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴，
∵，
∴．
【小题2】
解：∵，，
∴，
∴．

20.【答案】【小题1】
证明：如图，连接交于点，
∵ 平行四边形，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形．
【小题2】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴．

21.【答案】【小题1】
【小题2】
四条边都相等的四边形是菱形
菱形的每条对角线平分一组对角

22.【答案】解：该无人机水平飞行的距离为x米，则，
在中，，，
∴，
解得；，
答：该无人机水平飞行的距离为120米．

23.【答案】【小题1】
证明：∵过点分别作，的平行线交于点．
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
【小题2】
解：如图：过点A作于点F，连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴在中，，
由（1）已证：，
∴，
∴在中，．
∵，
∴，解得：．

24.【答案】【小题1】
解：．
【小题2】
解：．
【小题3】
解：将、代入得：
，
，
．
答：该凸透镜的焦距．

25.【答案】【小题1】
证明：①四边形是正方形，
，，
在等腰中，，，
，
在和中，
，
，
②猜想：，证明如下：
四边形是正方形，
，
，
，
即，
，
．
【小题2】
如图所示补全图形，
​​​​​​​四边形是正方形，
，
，
由（1）同理可得：，
，，
，
，
在等腰中，，
．

26.【答案】【小题1】

​​​​​​​
【小题2】
解：∵点D为线段OT的中点，，
∴．
∵直线l过点且平行于一、三象限角平分线，
∴，且．
∵四边形顶点：，动点在四边形上，．
由题意可知：点M是D与Q的中点，点N是M关于直线l的对称点，则N是D关于四边形、直线l的“点称点”．
∴，
设M关于直线的对称点，
∴，
∵点N在线段上，线段在x轴上，
∴，且需在与之间（含端点）．
∴，即，
∵在四边形上，，
∴，解得：；
∵，且在线段上，
∴当时，，故；
当时，，故，
∵，
∴，
∴只需考虑，此时．
∵，
∴，
∴不等式组有解，
∴，解得：，
综上，t的取值范围是：．