2025-2026学年北京市第十五中学八年级（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年北京市第十五中学八年级（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.式子有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＞1B. x＜1C. x≥1D. x≤1
2.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 3，4，5B. 1，1，C. 5，12，13D. 4，6，8
3.下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4.正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A. 对边相等B. 对角相等C. 对角线互相垂直D. 对角线互相平分
5.对于一次函数y=x+6，下列结论错误的是（ ）
A. 函数图象与x轴交点坐标是（0，6）B. 当x增加1时，y增加1
C. 函数图象不经过第四象限D. 函数值y随自变量x的增大而增大
6.如图，每个小正方形的边长为l,在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.若矩形的宽为3.6，对角线相交所成钝角为120°，则对角线的长为（ ）
A. 3.6B. 7.2C. 1.8D. 14.4
8.如图，在平面直角坐标系中，将▱ABCD放置在第一象限，且AB∥x轴．直线y=-x从原点出发沿x轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l与直线在x轴上平移的距离m的函数图象如图2所示，则▱ABCD的面积为（ ）
A. 10B. C. 5D.
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.函数的自变量x的取值范围为 .
10.计算：= .
11.如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为 .
12.如图，菱形ABCD在平面直角坐标系中，∠ABC=120°，若AB=2，则菱形的面积为 .
13.在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=9，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，BE= .
14.学校发起为儿童福利院捐书包的活动，每个书包60元.张华现有积攒的零花钱480元，记他用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元，写出y关于x的函数解析式（不要求注明自变量取值范围） .
15.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架.其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺，若设折断处离地面的高度为x尺，则根据勾股定理，可列方程为： .
16.对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”.如图，已知四边形ABCD是“中方四边形”，四边形MPNQ是它的中点四边形.
①若线段MN的长度为6，BD的长为 ；
②若线段BD的长度为，则AB+CD的最小值为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.计算：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共9小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠B=45°，AB=，AC=17，AD⊥BC于点D，求△ABC的面积和△ADC斜边上的高.
19.(本小题8分)
已知一次函数y=kx+b的图象经过M（0，2），N（1，3）两点.
（1）求k,b的值；
（2）若一次函数y=kx+b的图象与x轴，y轴的交点分别为A，B.求交点坐标以及函数图象与坐标轴围成三角形ABO的面积（O为坐标原点）.
20.(本小题8分)
如图，在△ABC中，点D是线段AB的中点.求作：线段DE，使得点E在线段AC上，且.
作法：①连接CD，②以点A为圆心，CD长为半径作弧，再以C为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点M；③连接DM，交AC于点E，所以线段DE即为所求的线段.
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接AM，CM，
∵CD=______，AD=______，
∴四边形ADCM是平行四边形.
（______）（填推理的依据），
∵AC，DM交于点E，
∴AE=CE，即点E是AC的中点.
（______）（填推理的依据），
∵点D是AB的中点，
∴（______）（填推理的依据）.
21.(本小题9分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作CE∥AB交BF延长线于点E.
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若BC=2，菱形ADCE的面积为，求AB的长.
22.(本小题9分)
小刚在研究弹簧的伸长量与所受拉力的关系时，准备了两个弹簧：弹簧A（1号弹簧）和弹簧B（2号弹簧）.弹簧A是均匀的线性弹簧，而弹簧B是根据特殊材料设计的非线性弹簧.小刚分别对两个弹簧施加不同的拉力F（单位：N），并记录了弹簧的伸长量x（单位：cm），部分数据如下：
（1）补全表格（结果保留小数点后一位）.
（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画xA与F，xB与F之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当拉力为3.5N时，弹簧B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为______（结果保留小数点后一位）.
②在①的条件下，若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为______cm（结果保留小数点后两位）.
23.(本小题8分)
如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，连接DE，BE．
（1）求∠DEB的度数；
（2）过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
24.(本小题8分)
阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务.
任务：
（1）图一菱形EHGF的面积与矩形ABCD的面积之比为______；
（2）尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程.（保留作图痕迹，不要求写作法）
（3）若在矩形ABCD中，AB=6，BC=18，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值.
25.(本小题8分)
阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数m、n,使m2+n2=a且，则可将化为m2+n2±2mn,即（m±n）2，从而使得化简.
例如，，
所以.
请仿照上例化简下列根式.
（1）=______；
（2）=______；
（3）计算：.
26.(本小题8分)
通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形.如图（1）把两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形.如图（2）是由5个边长为1的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形.
（1）图（4）中拼成的正方形的边长为______；
（2）仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长；
（3）网格中的六边形ABCDEF是由边长为6的正方形左上角剪去边长为2的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为______；
如图甲，把六边形ABCDEF沿裁剪线EH，BG剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置.在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】x≠-1
10.【答案】11
11.【答案】或
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】y=480-60x
15.【答案】x2+42=（10-x）2
16.【答案】
16

17.【答案】
18.【答案】面积为92，高为．
19.【答案】k=1，b=2 A（-2，0），B（0，2），△ABO的面积为2
20.【答案】①如图所示：线段DE即为所求的线段； AM;CM;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;平行四边形对角线互相平分;三角形的中位线平行于三角形的第三条边且等于第三边的一半
21.【答案】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作CE∥AB交BF延长线于点E．
∴∠CEF=∠DBF，∠ECF=∠BDF．
∵点F是CD的中点，
∴CF=DF，
∴△CEF≌△DBF（AAS），
∴CE=BD．
在Rt△ABC中，点D是AB的中点，
∴，
∴CE=BD=AD．
∵CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形．
∵CD=AD，
∴四边形ADCE是菱形.
（2）.

22.【答案】3.0 如图函数图象即为所求 0.4 cm;1.95
23.【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∵将线段AB顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到线段AE，
∴∠EAB=α，AB=AE，
∴AE=AD，∠EAD=90°+α，
∴∠AED=45°-，
∵AE=AB，∠EAB=α，
∴∠AEB=90°-，
∴∠DEB=∠AEB-∠AED=（90°-）-（45°-）=45°．
（2）补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DE=CF．
证明：过C作CG⊥CF交FD延长线于G，
∵BF⊥DE，
∴∠BFC+∠CFD=90°，
∵CG⊥CF，
∴∠CFD+∠G=90°，
∴∠BFC=∠G，
∵∠BCD=∠FCG=90°，
∴∠BCF=∠DCG，
∵BC=CD，
∴△BCF≌△DCG（AAS），
∴BF=DG，CF=CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG=CF，
由（1）知，∠DEB=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BF，
∴EF=DG，
∴EF+FD=DG+FD，即DE=FG，
∴DE=CF．
24.【答案】 作图见解析 此矩形的内接菱形的面积最大值为60
25.【答案】+1
26.【答案】 ；裁剪方法及拼接后的正方形，如图5即为所求； ；裁剪方法及拼接后的正方形，如图甲、图乙即为所求．
F/N
0
1
2
3
4
5
6
xA/cm
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
xB/cm
0
0.8
1.4
1.9
2.3
2.6
2.9
作矩形的最大内接菱形的方法
顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形.在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”.实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法.
方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形EHGF（如图1），则四边形EHGF是矩形ABCD的内接菱形.
方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形AECF则四边形AECF也是矩形ABCD的内接菱形.（如图2）
方法三：通过尺规作图，作矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线EF，与AD边交于点E，与BC边交于F，连接AF，CE则四边形AECF是矩形ABCD的内接菱形.
实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形.