2026年8年级上册期末考试专项训练数学含答案专题04 二次根式及运算（10大题型）（期末复习专项训练）

这是一份2026年8年级上册期末考试专项训练数学含答案专题04 二次根式及运算（10大题型）（期末复习专项训练），共14页。试卷主要包含了判断是否为二次根式，二次根式有意义的条件，判断是否为最简二次根式，利用同类二次根式求参数，二次根式的运算之选择题，利用二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，二次根式中的新定义型问题等内容，欢迎下载使用。

题型1 判断是否为二次根式（常考点）
题型6 利用二次根式的性质化简（难点）
题型2 二次根式有意义的条件（常考点）
题型7 二次根式的混合运算（常考点）
题型3 判断是否为最简二次根式
题型8 二次根式中的新定义型问题（重点）
题型4 利用同类二次根式求参数
题型9 二次根式中的分母有理化（重点）
题型5二次根式的运算之选择题（常考点）
题型10 二次根式中的规律探究问题（难点）
题型一 判断是否为二次根式（共5小题）
1．（24-25八年级下·陕西安康·期末）下列各式中，是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的定义，根据二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数非负；②根指数为2（通常省略）．逐一验证各选项即可．
【详解】解：A、：被开方数为，不符合条件，不是二次根式；
B、：，故，被开方数为负，不是二次根式；
C、：根指数为3，不是二次根式；
D、：被开方数，且根指数为2（省略），符合二次根式定义，是二次根式．
故选：D．
2．（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列式子是二次根式的是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负一一判断即可．
【详解】解：．3是整数，不含根号，不是二次根式，故该选项不符合题意；
．的根指数为2（省略未写），被开方数，符合二次根式的定义，故该选项符合题意；
．的被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，故该选项不符合题意；
．的根指数为3，属于三次根式，不符合二次根式的条件，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级下·陕西延安·期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式的定义：形如（）的式子是二次根式，据此判断即可求解，掌握二次根式的定义是解题的关键．
【详解】解：、是二次根式，该选项符合题意；
、被开方数为，在实数范围内无意义，不是二次根式，该选项不合题意；
、根指数为，属于三次根式，不是二次根式，该选项不合题意；
、当时，是二次根式；当时，无意义，不是二次根式，故不一定是二次根式，该选项不合题意；
故选：．
4．（24-25九年级上·河南开封·期末）下列式子是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，逐一判断即可，一般形如的代数式叫做二次根式．当时，表示的算术平方根；当小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
【详解】解：A、无意义，故本选项不符合题意；
B、的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；
C、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
D、当时，根式无意义，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的判断，根据二次根式的定义：形如，这样的式子叫做二次根式，进行判断即可．
【详解】解：A、当时，不是二次根式，不符合题意；
B、当时，不是二次根式，不符合题意；
C、当时，不是二次根式，不符合题意；
D、是二次根式，符合题意；
故选：D．
题型二 二次根式有意义的条件（共5小题）
6．（24-25八年级下·福建厦门·期末）要使二次根式有意义，的值可以是（ ）
A．2B．0C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
∴的值可以是2．
故选：A．
7．（24-25八年级下·福建莆田·期末）下列各数中，能使二次根式在实数范围内有意义的是（ ）
A．B．0C．πD．7
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．
根据二次根式有意义的条件求出，再验证选项即可．
【详解】解：要使二次根式在实数范围内有意义，需满足被开方数，解得．
选项A：，不符合；
选项B：，不符合；
选项C：，不符合；
选项D：，符合条件；
故选：D．
8．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解此不等式即可确定的取值范围．
【详解】要使二次根式有意义
∴
∴．
故选：D．
9．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可．
【详解】解：如果二次根式有意义，那么，
解得，
故选：C．
10．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列二次根式一定有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义，二次根式有意义的条件是被开方数非负，需逐一分析各选项被开方数的取值范围，判断其是否恒非负，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、被开方数为，无论取何值，平方数恒非负，故被开方数，此二次根式有意义；
B、 的，故二次根式没有意义；
C、被开方数为，当（即）时，被开方数为负数，此时无意义；
D、被开方数为，虽然，但若为负数且（如），则被开方数为负，无意义；
故选：A
题型三 判断是否为最简二次根式（共5小题）
11．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数，对各选项逐一分析即可．
【详解】解：选项A：，即，被开方数含分母，不满足条件①，故不是最简二次根式；
选项B：，被开方数3是质数，无平方因数，且不含分母，满足最简二次根式的条件；
选项C：，被开方数8可分解为，其中4是平方数，可化简为，故不是最简二次根式；
选项D：，被开方数含分母，不满足条件①，故不是最简二次根式；
故选B
12．（24-25八年级下·青海玉树·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式，最简二次根式需满足：①被开方数不含能开得尽方的因数；②被开方数不含分母．据此判断即可．
【详解】解：A、的被开方数含分母，故不是最简二次根式；
B、的被开方数，含分母，故不是最简二次根式；
C、的被开方数，含开得尽方的因数，故不是最简二次根式；
D、的被开方数不含开得尽方的因数，故是最简二次根式．
故选：D
13．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）下列根式中，不能再化简的二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式的判断，二次根式的性质；掌握最简二次根式的概念是关键；判断二次根式能否化简的关键是检查被开方数是否存在平方因子或分母是否需要有理化．
【详解】解：A：，因，其中是平方数，故，可化简，不符合题意；
B：，被开方数含有分母含，需有理化，，可化简，不符合题意；
C：，因，其中是平方数，故，可化简，不符合题意；
D：，是无理数且不含平方因子，无法进一步化简，是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
14．（24-25八年级下·山东·期末）下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开方的因数（或因子），且分母不含根号，逐一分析各选项是否满足条件即可作答．
【详解】解：A、的被开方数7是质数，无平方因子，且不含分母，符合最简二次根式的条件；
B、的被开方数的分母10含非平方因子，且可化为，需进一步化简，不符合条件；
C、，被开方数含分母5，不符合条件；
D、，被开方数12含平方因子4，可化简，不符合条件；
故选：A
15．（24-25八年级上·江西宜春·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查最简二次根式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式，进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
题型四 利用同类二次根式求参数（共5小题）
16．（24-25八年级下·上海·期末）下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了同类二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键．
把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式是同类二次根式，据此逐项判断即可解答．
【详解】解：A．与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
B．，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意；
C．，与的被开方数相同，是同类二次根式，故此选项符合题意；
D．，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故此选项不符合题意．
故选：C．
17．（24-25七年级下·重庆·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义以及化简二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
先化简结合选项即可求解．
【详解】解：∵，
∴与是同类二次根式．
故选：A．
18．（24-25八年级上·湖南永州·期末）已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（ ）
A．4B．14C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简，然后根据同类二次根式的定义列式求解即可．
【详解】解：，
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴，
∴，
故选：A．
19．（2024八年级上·上海·专题练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（ ）
A．3B．C．1D．0
【答案】C
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求的值．
【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得：，
故选：C．
20．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，
根据同类二次根式的定义，化简后根号内的数相同，由此建立方程求解．
【详解】∵和最简二次根式是同类二次根式，
∴
∴．
故选：C．
题型五 二次根式的运算之选择题（共5小题）
21．（24-25八年级上·广东深圳·期末）下列算式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的加减、乘除运算以及完全平方公式的应用．对于每个选项，需要根据相应的运算法则进行计算，然后判断其正确性．本题主要考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则和完全平方公式的形式是解题的关键．
【详解】解：选项A：，此选项错误．
选项B：∵，，
∴，此选项错误．
选项C：∵
，此选项正确，
选项D：∵，此选项错误．
故选：C．
22．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列各式运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的运算，解题关键是熟练掌握二次根式的运算法则，准确进行计算．
根据二次根式运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A、与被开方数不同，不能合并，故错误，不符合题意；
B、，故错误，不符合题意；
C、，故正确，符合题意；
D、，故错误，不符合题意．
故选：C．
23．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的运算，包括加减乘除及乘法公式的应用．需逐一验证各选项的正确性．
【详解】解：选项A：中，与不是同类二次根式，无法合并，结果应为，故错误．
选项B：，而非，故错误．
选项C：利用平方差公式，，结果应为，故错误．
选项D：将除法分配至每一项：结果与选项一致，故正确．
故选：D．
24．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的加减运算和二次根式的乘除法运算．根据二次根式的加减与二次根式的乘除法逐一判断可得答案．
【详解】解：与不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
25．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）下列计算错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，包括加法，减法，乘法、除法和平方差公式的应用等，灵活运用相关法则是解题的关键．通过逐一计算各选项，判断其正确性．
【详解】解：选项A：
左边，
右边，故正确；
选项B：
左边，
，即左边≠右边，故错误；
选项C：
左边，故正确；
选项D：
左边，故正确．
综上，选项B计算错误．
故选：B．
题型六 利用二次根式的性质化简（共6小题）
26．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）化简二次根式结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键．
先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
27．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）若，则可化简为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．先求出，，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：成立，
，
，
，，
，
，
，
．
故选：D．
28．（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（ ）
A．11B．C．1或11D．或1
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质及代数式求值，解题的关键是依据二次根式的性质正确确定的取值．
根据二次根式的性质即可得到结果．
【详解】解：， 根据二次根式性质
， 即或；
， 根据二次根式性质
；
当时，；
当时，．
的值为1或11，此结果对应选项．
故选：C．
29．（24-25八年级上·吉林长春·期末）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，关键是根据二次根式的性质化简解答．
先根据，两点在数轴上的位置得到，再把绝对值和二次根式进行化简求解即可．
【详解】解：由图可知，，
，
．
故选：A．
30．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）（1）化简：；
（2）已知，，求代数式的值．
【答案】（1）（2）
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，再运算乘法，最后运算减法，即可作答．
（2）先把，分别代入进行计算，即可作答．
【详解】解：（1）
；
（2）∵，，
∴
31．（24-25八年级下·陕西安康·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得，
，
原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
【答案】（1）1（2）
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，理解题意熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）根据隐含条件得出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可；
（2）由数轴得，，，进一步判断出，，再根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：（1）隐含条件，
解得，
，
；
（2）由数轴得，，，
，，
．
题型七 二次根式的混合运算（共5小题）
32．（24-25八年级上·宁夏固原·期末）计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
（1）先根据二次根式的除法法则求解，再计算加法即可；
（2）先将各二次根式化成最简二次根式后再合并同类二次根式即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
33．（25-26八年级上·江西·期末）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）直接使用二次根式运算性质计算，化简结果即可；
（2）综合运用平方差公式和二次根式性质计算即可．
【详解】（1）解：原式
=．
（2）解：原式
．
34．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）计算：
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运算二次根式的乘除，再运用二次根式的性质进行化简，最后运算加减法，即可作答．
（2）先整理原式，再运算乘法，最后运算减法，即可作答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
35．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）计算：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)3
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先利用完全平方公式和二次根式乘法计算法则去括号，然后计算加减法即可得到答案；
（2）先化简二次根式，再计算括号内的减法，最后计算二次根式除法即可得到答案；
（3）先化简二次根式和计算二次根式除法，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
36．（24-25八年级下·山西朔州·期末）计算：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，
对于（1），先根据二次根式的除法计算，再根据二次根式的加减法法则计算；
对于（2），先根据乘法分配律计算，再计算二次根式的加减法即可；
对于（3），先根据平方差公式和完全平方公式计算，再计算即可.
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
题型八 二次根式中的新定义型问题（共5小题）
37．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）现定义一个新运算“※”，规定对于任意实数，都有，则的值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，掌握相关运算法则是解题关键．根据新定义运算计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
38．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）定义运算：．例如．若，则a的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查求平方根、二次根式的乘法，理解题干中的运算定义是解答的关键．根据题干中运算定义得到，进而得到，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：根据题意，由得
∴
解得
故答案为：
39．（24-25八年级下·山东青岛·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义的二次根式运算．
直接根据新定义计算即可．
【详解】解：
故答案为：．
40．（24-25八年级下·浙江·期中）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
(1)若与是关于的共轭二次根式，则_______________；
(2)若与是关于4的共轭二次根式，求的值；
(3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查的是新定义的含义，二次根式的乘法与除法运算；
（1）由新定义可得，再计算即可；
（2）由新定义可得，再计算即可；
（3）由新定义可得，再进一步计算即可；
【详解】（1）解： ，
∴；
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
41．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．
因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)已知：，则___________；
(2)化简：___________；___________；
(3)计算：
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可；
（）分母有理化即可得答案；
（）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可；
本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化．
【详解】（1）解：因为，
所以，
故答案为：；
（2）解：；
；
故答案为：；；
（3）解：原式
．
题型九 二次根式中的分母有理化（共4小题）
42．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）【基本概念】
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如—样的式子，其实我们还可将其进一步化简：，，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
【理解应用】
（1）化简；
【拓展提升】
（2）化简：．
【答案】（1）
（2）．
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化，理解题意并熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）将原式的分子，分母同时乘以后计算即可；
（2）将原式变形后利用分母有理化化简后进行计算即可．
【详解】解：（1）
；
（2）原式
=．
43．（24-25八年级上·甘肃酒泉·期末）观察下列运算
由，得；
由，得；
由，得；
由，得；
(1)通过观察，请填空：_________________________．
(2)利用你发现的规律，计算：．
【答案】(1)（为正整数）；
(2)
【分析】本题考查了分母有理化，正确得出规律是解此题的关键．
（1）根据题意得出规律即可得解；
（2）根据（1）中的规律进行计算即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：（为正整数）；
（2）解：由（1）可得（为正整数），
∴原式
．
44．（24-25八年级下·河南信阳·期末）数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式．
，得；
，得；
利用你发现的规律：
(1)化简：______；
(2)______填>，
(3)
【分析】（1）分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再比较大小；
（3）先分母有理化，再算加减．
本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2），
，
，
；
故答案为：>；
（3）
45．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在进行二次根式运算时，我们有时会遇到这样的式子，小明和小新对这类式子有不同的化简方法．
小明的方法：
小新的方法：
(1)请你选择一种你喜欢的方法化简：．
(2)化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了分母有理化的知识，解题的关键是理解题意，掌握分母有理化的两种方法．
（1）首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案；
（2）结合题意，可将原式化为，继而求得答案．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
题型十 二次根式中的规律探究问题（共4小题）
46．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
……
(1)请直接写出第5个等式：______（不用化简）；
(2)根据上述规律，请用含n的式子表示第n个等式（为正整数），并证明等式成立；
(3)利用（2）的结论计算：．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、规律型数字的变化美，解决本题的关键是根据示例发现规律写出式子．
（1）根据示例，可得第5个等式：不用化简；
（2）；
（3）利用（2）的结论，将数据代入计算即可．
【详解】（1）解：第5个等式是：不用化简，
故答案为：；
（2）第n个等式为正整数为：，
证明：因为n为正整数，
所以有：
；
（3）
．
47．（24-25八年级下·山东威海·期末）【观察·发现】
填空：
①； ②； ③
④__________； ⑤__________； ⑥__________；
……
【归纳·猜想】
如果为正整数，按照此规律，第个式子可以表示为__________；
【应用·运算】
①用发现的规律填空，并通过计算验证：__________；
②直接写出结果：若，则__________．
【答案】
【观察·发现】④；⑤；⑥
【归纳·猜想】
【应用·运算】①，验证见解析；②
【分析】本题考查了实数的规律题．
[观察·发现]由题干中的已知等式即可得出答案；
[归纳•猜想]由已知等式总结规律即可；
[应用•运算]①由所得规律即可求得答案，然后将原式计算并验证即可；
②由所得规律求得m，n的值后代入原式计算即可．
【详解】解：[观察·发现]由已知等式可得④，⑤，⑥，
故答案为：④；⑤；⑥；
[归纳·猜想]如果n为正整数，按照此规律，第n个式子可以表示为，
故答案为：；
[应用·运算]①由所得规律可得，验证如下：
，
故答案为：；
②若，
则，，
解得：，，
则，
故答案为：．
48．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出第个等式：______；（用含的等式表示）
(3)根据上面的结论计算：
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则，得出规律是解此题的关键．
（1）结合第1至第4个等式，即可得出答案；
（2）根据题目中所给式子呈现的规律，即可得出答案；
（3）根据（2）中得出的规律，计算即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意，可得；
故答案为：；
（2）根据题意，可得第个等式：；
故答案为：；
（3）原式
．
49．（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）观察下列等式：
第1个等式；
第2个等式
第3个等式；
…
根据你所发现的规律，解决下列问题：
(1)填空______；
(2)猜想______；（用含n的式子表示，n为正整数）
(3)计算．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】本题考查数式规律问题，实数的运算，结合已知条件总结出规律是解题的关键．
(1)根据题干中的已知等式即可求得答案；
(2)根据已知等式总结规律即可；
(3)根据所的规律先化简再算乘法即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）（n为正整数，
故答案为：；
（3）原式．