中考数学二轮培优几何专项练习：相似模型--旋转“手拉手”模型（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮培优几何专项练习：相似模型--旋转“手拉手”模型（2份，原卷版+解析版），共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，在中，，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点．若，则（ ）

A．B．C．D．
2．如图，与中，，，，交于D，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）个

A．4B．3C．2D．1
3．如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ）

A． B．C．D．
4．如图，在矩形中，，，将矩形绕着点A逆时针旋转45°，得矩形，其中交于点E，延长交于点F，连接，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．如图，已知和有公共顶点，且，，，则 度．

6．如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝2，连接AF，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值为 ．
7．如图，在和中，，E为的中点，将绕点O旋转，直线，交于点F，连接，则的最小值是 ．
三、解答题
8．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．

(1)知识理解：
如图①，与互为“旋转位似图形”．
①若，，，则 ；
②若，，，则 ；
(2)知识运用：
如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”；
(3)拓展提高：
如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求．
9．某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：．
(2)变式探究：如图2，在等腰中，，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接．判断和的数量关系，并说明理由；
(3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．
10．如图1，中，，，，将绕点顺时针旋转得到，其中是点的对应点，且，连接，．

(1)求证：；
(2)如图2，当点在线段上时，求的面积；
11．（1）问题发现，如图1，在中，，点是边上一动点（不与点重合），，连接．

(1)①求的值；
②求的度数．
(2)拓展探究，如图2，在中，．点是边上一动点（不与点重合），，连接，请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由．
12．如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点P、M．求证：

(1)；
(2)．
13．（1）如图①在内，，，D是内一点，将绕点B顺时针旋转，点C恰好与点A重合．D旋转到点E，连接、，判断与的位置关系，并说明理由．
（2）在（1）的条件下，如图②，当，延长交于点F，若，时，求的长．
（3）如图③，在和中，，，连接、填空：
①线段与的数量关系是______________；
②当时，点E到的距离的长为2，则线段的长为__________．
14．在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．
(1)【猜想观察】如图①，若，交于点，则的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是______；
(2)【类比探究】如图②，若，与，分别相交于点，，求的值及的度数；
(3)【解决问题】如图③，当时，若，，三点在同一直线上，且，交于点，，求的长．
15．已知和都是等腰三角形，，．

(1)当时，
①如图1，当点在边上时，请直接写出和的数量关系： ；
②如图2，当点不在边上时，判断线段和的数量关系，并说明理由；
(2)如图3，当时，请直接写出和的数量关系： ；
(3)在（1）的条件下，将绕点逆时针旋转，当时，请直接写出的长度．
16．某校数学兴趣小组在一次学习活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：

(1)发现问题∶如图1，在等腰中，，点M是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，，连接，求证：．
(2)类比探究：如图2，在等腰中，，，，点M是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，在点M运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不存在，请说明理由．
(3)拓展应用：如图3，在正方形中，点E是边上一点，以为边作正方形，M是正方形的中心，连接，若正方形的边长为12，，求的面积．
17．数学课上，李老师提出了一个问题：在矩形中，，，在边上取一点M使，将绕点A顺时针旋转度到，以为边作矩形（如图1所示），，连接、交于点N．

(1)求证：．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明，从而得到．请你按照他的思路完成证明过程．
(2)连接，当旋转角时（如图2），求的值．
(3)连接（如图3），当时，小明发现是一个定值，请求出这个值．
18．在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题．对直角三角形纸片进行如下操作：

【初步探究】如图1，折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平，则与位置关系为_______，与的数量关系为_______；
【再次探究】如图2，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，求的值；
【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当时，求的长．
19．如图，在中，，，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转，得到线段，连接．

(1)当点D落在线段上时，
①如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是______，______°；
②如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明；
(2)当时，过点A作交于点N，若，猜想与的数量关系并说明理由．
20．如图，在和中，．

(1)求证：；
(2)若，求的长．
21．问题背景：如图（1），已知，求证：；
尝试应用：如图（2），在和中，，，与相交于点，点在边上，，求；
拓展创新：如图（3），是内一点，，，，请直接写出的值．

22．已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接．

(1)如图1，在上取一点，使，连接，求证：；
(2)如图2，点在延长线上，求证： ；
(3)如图3，若把正方形改为矩形，且，其他条件不变，请猜想和的数量关系，直接写出结论，不必证明．
23．原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：
和都是等边三角形，将绕着点旋转到图位置，求证：小百合很快就通过≌，论证了．

(1)请你帮助小百合写出证明过程；
迁移应用：小百合想，把等边和等边都换成等腰直角三角形，将绕着点旋转到图位置，其中，那么和有什么数量关系呢？
(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；
(3)如图，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形绕点旋转，若，，在旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出的长度．
24．问题情境：
如图①，正方形的边长为，点在对角线上，，过点作，分别交，于点，．

数学思考：
(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)将图一中的四边形绕点顺时针旋转一定的角度得到图②连接，，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
25．综合与实践
问题情境：如图1，在中，，，．点，分别是边，的中点，连接

(1)特例分析：在图1中，的长为 ，的值为 ．
(2)拓展探究：将图1中的绕点C顺时针方向旋转．
①当点和点分别在和的延长线上时，的值为 ；
②当点和点旋转到的外部时，得到图2，判断此时的值是否变化，请说明理由；
(3)问题解决：当旋转到点，，三点在同一直线时，直接写出的长．
26．已知：四边形和都是正方形．

(1)如图1，若点C在对角线上，则的值为 ；（直接写结果）
(2)将正方形绕点A逆时针旋转．
①如图2，连接．的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的值及理由；
②当，时，交于点M，交于点N，且，求的长．
27．如图①，正方形和正方形，连接，．

(1)发现：当正方形绕点A旋转，如图②，①线段与之间的数量关系是________；②直线与直线之间的位置关系是________．
(2)探究：如图③，若四边形与四边形都为矩形，且，，证明：直线．
(3)应用：在（2）情况下，连接（点在上方），若，且，，则线段是多少？（直接写出结论）
28．如图，已知中，，点D是边上一点，且．

(1)求证：；
(2)求证：．
29．如图，在和中，，．

(1)求证：．
(2)若点H、G分别是的中点，且，连接，求的值．
(3)若在和中，，点H、G分别是的中点，且，连接，求的值．
30．【问题提出】
某数学兴趣小组展示项目式学习的研究主题：已知四边形，点为上的一点，，交于点．将绕点顺时针旋转得到，探究与的数量关系．
【问题探究】
探究一：若四边形为正方形
（1）如图1，正方形中，点为上的一点，交于点．则的值为______；
（2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转得到，连接、，试求的值；
探究二：若四边形为矩形
如图3，矩形中，点为上的一点，交于点，．
（3）将图3中的绕点顺时针旋转得到，连接、，请在图4中补全图形，并探究此时的值；
【联系拓广】
（4）如图3，矩形中，若，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接、，请直接写出的值．

31．【初步感知】如图①，和都是等边三角形，连结，．易知：（不用证朋）；

【深入探究】如图②，和是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中，，连结、．
(1)求的值；
(2)延长交于点，交于点，则______°；
(3)【拓展提升】如图③，和都是直角三角形，，且，连结，．延长交于点，交于点，若，则______．（用含的式子表示）
32．如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结．

(1)写出和的数量关系，并证明．
(2)求证：
(3)连接，若正方形的边长为6，求出的最小值．
33．矩形中，，是边上一点，以为边在矩形在内部构造矩形．

(1)特例发现
如图，当时， ；
(2)类比探究
如图，如图，将矩形绕点顺时针旋转度，连接，当时，求的值；
(3)拓展运用
如图，矩形在旋转的过程中，落在边上时，若、、三点共线，时，当时，则的长为 ．
34．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求的值，
（3）若DM＝1，CM＝2，求正方形AEFG的边长．
35．如图1，在中，，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E．现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得．
（1）①求证：；
②若，求的长；
（2）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，，求k的值；
（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，，试探究三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
36．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P是△ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转α得到线段PD，连接BD，CD，AP．
观察猜想：
（1）如图1，当α＝60°时，的值为 ，直线CD与 AP所成的较小角的度数为 °；
类比探究：
（2）如图2，当α＝90°时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；
拓展应用：
（3）如图3，当α＝90°时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交PF于点G，CD交AB于点H. 若CD＝2＋，求BD的长．
37．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为α，得到线段PD，连接DB，DC．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：PA＝DC；
（2）如图2，当α＝120°时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由．
（3）当α＝120°时，若AB＝6，BP＝，请直接写出点D到CP的距离．
38．如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D，E分别为AC，BC的中点．△CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为α（0°≤α≤360°），记直线AD与直线BE的交点为点P．
(1)如图1，当α＝0°时，AD与BE的数量关系为______，AD与BE的位置关系为______；
(2)当0°＜α≤360°时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；
(3)△CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值．
39．已知，在矩形中，，，点在边上，且，过点作的垂线，并在垂线上矩形外侧截取点F,使，连接，，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．．

(1)如图（1），当，求的值．
(2)如图2，若，求m关于n的数量关系．
(3)若旋转至A，E，F三点共线，求m的值．
40．综合与实践
问题情境
在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题．在正方形和正方形中，点G，A，B在一条直线上，连接，（如图1）．

操作发现
（1）图1中线段和的数量关系是______，位置关系是______．
（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由．
类比探究
（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形中都变为矩形，且，，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系．
拓展探索
（4）在（3）的条件下，若，，矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值．
41．转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用．
如图1，已知在中，，，．请解答下面的问题：

(1)基础巩固
如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是__________；
(2)拓展探究
如图2，点，分别是，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋转得到．
①求证：；
②用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；
(3)问题解决
点，分别是，的中点，连接，将绕点旋转得到，请直接写出点，，在同一直线上时的长．
42．综合与实践
综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动．
【操作判断】

如图①，在矩形中，，点M，P分别在边，上（均不与端点重合）且，以 和 为邻边作矩形，连接，．
（1）如图②，当时，与的数量关系为 ，与的数量关系为 ．
【迁移探究】
（2）如图③，当时，天天先将矩形绕点A 顺时针旋转，再连接，则CN与之间的数量关系是 ．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，求线段的长．
43．在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接、、．

(1)当时，
①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是_______________；
②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
(2)当时，
①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由；
②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值．
44．【问题呈现】
（1）如图1，和都是等边三角形，连接．求证：．

【类比探究】
（2）如图2，和都是等腰直角三角形，，连接．请直接写出的值．

【拓展提升】
（3）如图3，和都是直角三角形，，且．连接．

①求的值；
②延长交于点，交于点．求的值．
45．【感受与猜想】

(1)如图，四边形和四边形均为正方形，点正好落在对角线上．试猜想与的数量关系：__．
【探究与证明】
(2)如图，四边形和四边形均为正方形，正方形绕点顺时针旋转角()，连结，．()中的结论是否还成立，若成立，请给出证明．
【拓展与延伸】
(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，点为线段上一点，以为底边向下作等腰直角三角形．
①若，求点的坐标．
②若点落在边的中点处，与交于点，已知，求的长．
46．如图1所示，矩形中，点E，F分别为边，的中点，将绕点A逆时针旋转，直线，相交于点P．
（1）若，将绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是______，数量关系是______．
（2）若将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由．
（3）若，，将旋转至时，请直接写出的长．
47．如图1，正方形的边长为5，点E、F分别是边、上一点，且四边形为边长为2的正方形，连接．
（1）在图1中，求的值；
（2）将图1中的正方形绕点B旋转一周，探究的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由；
（3）当正方形旋转至D，G，E三点共线时，求的长．
48．如图，在中，，将绕点C旋转得到，连接AD．
(1)如图1，点E恰好落在线段AB上．
①求证：；
②猜想和的关系，并说明理由；
(2)如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若，，求CF的长．
49．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边BC上，BDBC，将线段DB绕点D顺时针旋转α至DE，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF．
(1)如图1，当α＝180°时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；
(2)当0°＜α＜180°时，
①如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，当BC＝10，且点B，E，F三点共线时，求线段AF的长．
50．如图，四边形ABCD和四边形AEFG是矩形且，点E线段BD上．
(1)连接DG，求证：∠BDG＝90°；
(2)连接DF，当AB＝AE时，求证：DF＝FG；
(3)在（2）的条件下，连接EG，若∠DGE＝45°，AB＝2，求AD的长．
51．如图，在矩形中，，点G为边上一点，过点G作，且，交于点F，连接．
(1)求证：；
(2)连接，求证：；
(3)当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长．
52．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且．
(1)观察猜想
小华将绕点逆时针旋转，连接，，如图（2），当的延长线恰好经过点时：
①的值为________；
②的度数为________度；
(2)类比探究
如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立?请说明理由．
(3)拓展延伸
若，，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．
53．如图1，在矩形中，已知．，点E、F分别是、的中点，连接．将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
(1)问题发现：
①当时，＝ ；②当时，＝ ；
(2)拓展探究：
将绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值；
(3)问题解决：
当旋转至A、F、E三点共线时，求线段的长（写出必要的解题过程）．
54．如图1，在中，，，，点D，E分别是中点，连接．在同一平面内，将绕点A逆时针旋转，射线相交于点P．
(1)如图2，在旋转过程中，的角度是否不变？若不变，请求出的度数．
(2)如图2，当时，求线段的长．
(3)连接，当线段取得最小值时，求线段的值．