中考数学三轮冲刺练习重难点01 代数式规律题与代数式求值（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学三轮冲刺练习重难点01 代数式规律题与代数式求值（2份，原卷版+解析版），共9页。

考点一：代数式求值
代数式核心考点：
整式中：同类项与合并同类项、同底数幂的乘除法计算公式、乘法公式、整式的混合运算等；
分式中：分式的意义、分式的基本性质、分式的化简求值；
题型01 整式及其运算
【中考真题练】
1．（2023•黑龙江）下列运算正确的是（ ）
A．2x+3y＝5xyB．（a+b）2＝a2+b2
C．（xy2）3＝x3y6D．（a5）2÷a7＝a
【分析】根据合并同类项的法则、完全平方公式、幂的乘方和积的乘方及同底数幂的除法进行计算即可作答．
【解答】解：A．不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B．原式＝a2+b2+2ab，故本选项不符合题意；
C．原式＝x3y6，故本选项符合题意；
D．原式＝a3，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（2023•南充）关于x，y的方程组的解满足x+y＝1，则4m÷2n的值是（ ）
A．1B．2C．4D．8
【分析】根据方程组①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，即x+y＝，再根据x+y＝1，得2m﹣n＝3，所以4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．
【解答】解：∵方程组，
∴①﹣②得，2x+2y＝2m﹣n﹣1，
∴x+y＝，
∵x+y＝1，
∴＝1，
∴2m﹣n＝3，
∴4m÷2n＝22m÷2n＝22m﹣n＝23＝8．
故选：D．
3．（2023•江西）化简：（a+1）2﹣a2＝ 2a+1 ．
【分析】根据完全平方公式将原式展开后合并同类项即可．
【解答】解：原式＝a2+2a+1﹣a2
＝2a+1，
故答案为：2a+1．
4．（2023•凉山州）已知y2﹣my+1是完全平方式，则m的值是 ±2 ．
【分析】利用完全平方式的意义解答即可．
【解答】解：∵y2﹣my+1是完全平方式，y2﹣2y+1＝（y﹣1）2，y2﹣（﹣2）y+1＝（y+1）2，
∴﹣m＝﹣2或﹣m＝2，
∴m＝±2．
故答案为：±2．
5．（2023•宿迁）若实数m满足（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，则（m﹣2023）（2024﹣m）＝ ﹣1012 ．
【分析】根据a2+b2＝（a+b）2﹣2ab即可得答案．
【解答】解：（m﹣2023）2+（2024﹣m）2＝2025，
[（m﹣2023）+（2024﹣m）]2﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2（m﹣2023）（2024﹣m）＝2025，
1﹣2025＝2（m﹣2023）（2024﹣m），
（m﹣2023）（2024﹣m）＝﹣1012，
故答案为：﹣1012．
6．（2023•丽水）如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知m＞n且满足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，则图1阴影部分的面积是 25 ；
（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是 ．
【分析】（1）根据正方形的面积公式列得代数式，然后代入数值计算即可；
（2）结合已知条件可得a2+b2＝3，利用梯形面积公式可得（m+n）2＝10，然后将题干中的两个等式分别平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，继而求得m2+n2＝，再结合（m+n）2＝10可求得mn＝，根据正方形性质可得图2中阴影部分是一个直角三角形，利用勾股定理求得其两直角边长，再根据三角形面积公式可得其面积为mn＝．
【解答】解：（1）由题意可得图1阴影部分面积为：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案为：25；
（2）由题意可得a2+b2＝3，图2中四边形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高为：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，
整理得：2mn＝，
即mn＝，
∵图2中阴影部分的三角形的其中两边是两正方形的对角线，
∴这两边构成的角为：45°+45°＝90°，
那么阴影部分的三角形为直角三角形，其两直角边的长分别为：＝m，＝n，
故阴影部分的面积为：×m×n＝mn＝，
故答案为：．
7．（2023•西宁）计算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．
【分析】利用完全平方公式和平方差公式解答即可．
【解答】解：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）
＝（4a2﹣12a+9）﹣（a2﹣25）
＝4a2﹣12a+9﹣a2+25
＝3a2﹣12a+34．
8．（2023•河北）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图所示（a＞1）．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形（不重叠无缝隙），如表2和表3，其面积分别为S1，S2．
表2
表3
（1）请用含a的式子分别表示S1，S2，当a＝2时，求S1+S2的值；
（2）比较S1与S2的大小，并说明理由．
【分析】（1）根据图形，利用长方形的面积公式计算即可；
（2）利用作差法比较即可．
【解答】解：（1）由图可知S1＝（a+2）（a+1）＝a2+3a+2，S2＝（5a+1）×1＝5a+1，
当a＝2时，S1+S2＝4+6+2+10+1＝23；
（2）S1＞S2，
理由：∵S1﹣S2＝a2+3a+2﹣5a﹣1＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，
又∵a＞1，
∴（a﹣1）2＞0，
∴S1＞S2．
【中考模拟练】
1．（2024•天河区校级一模）下列计算，正确的是（ ）
A．a2⋅a3＝a6B．a2+a2＝2a4
C．（﹣a2）3＝﹣a6D．（a﹣1）2＝a2﹣1
【分析】根据同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，逐项判断即可求解．
【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，故本选项错误，不符合题意；
B、a2+a2＝2a2，故本选项错误，不符合题意；
C、（﹣a2）3＝﹣a6，故本选项正确，符合题意；
D、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
2．（2024•惠州模拟）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证等式（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2
B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2
【分析】第一个图形中阴影部分的面积计算方法是边长是a的正方形的面积减去边长是b的小正方形的面积，等于a2﹣b2；第二个图形阴影部分是一个长是（a+b），宽是（a﹣b）的长方形，面积是（a+b）（a﹣b）；这两个图形的阴影部分的面积相等．
【解答】解：∵图甲中阴影部分的面积＝a2﹣b2，图乙中阴影部分的面积＝（a+b）（a﹣b），
而两个图形中阴影部分的面积相等，
∴阴影部分的面积＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
3．（2023秋•凉山州期末）已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．8
【分析】根据同底数幂的乘法求解即可．
【解答】解：∵x+y﹣3＝0，
∴x+y＝3，
∴2y•2x＝2x+y＝23＝8，
故选：D．
4．（2024•邗江区校级一模）已知a﹣2b＝8，则代数式a2﹣4ab+4b2的值为 64 ．
【分析】将代数式a2﹣4ab+4b2因式分解，然后根据a﹣2b＝8，即可解答本题．
【解答】解：∵a﹣2b＝8，
∴a2﹣4ab+4b2＝（a﹣2b）2＝82＝64，
故答案为：64．
5．（2024•长安区一模）规定一种新运算：a☆b＝ab+a﹣b，如2☆3＝2×3+2﹣3＝5．
（1）计算：（3a）☆5＝ 18a﹣5 ；
（2）如果2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，则x的值为 1或 ．
【分析】（1）按照定义的新运算进行计算，即可解答；
（2）按照定义的新运算可得：2（2x﹣3）+2﹣（2x﹣3）＝3x2﹣2，从而整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，然后按照解一元二次方程﹣因式分解法进行计算即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：（3a）☆5
＝3a•5+3a﹣5
＝15a+3a﹣5
＝18a﹣5，
故答案为：18a﹣5；
（2）∵2☆（2x﹣3）＝3x2﹣2，
∴2（2x﹣3）+2﹣（2x﹣3）＝3x2﹣2，
整理得：3x2﹣2x﹣1＝0，
（x﹣1）（3x+1）＝0，
x﹣1＝0或3x+1＝0，
x＝1或x＝﹣，
故答案为：1或﹣．
6．（2024•南岗区校级一模）阅读材料：若x满足（6﹣x）（x﹣4）＝﹣3，求（6﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：设（6﹣x）＝a，（x﹣4）＝b，则（6﹣x）（x﹣4）＝ab＝﹣3，a+b＝（6﹣x）+（x﹣4）＝2．
所以（6﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×（﹣3）＝10．
带仿照上例解决下面问题：
若x满足（20﹣x）（x﹣10）＝﹣5，则（20﹣x）2+（x﹣10）2的值是 110 ．
【分析】仿照阅读材料，设20﹣x＝a，x﹣10＝b，则a+b＝20﹣x+x﹣10＝10，ab＝﹣5，可得（20﹣x）2+（x﹣10）2＝（a+b）2﹣2ab，代入可得答案．
【解答】解：设20﹣x＝a，x﹣10＝b，则a+b＝20﹣x+x﹣10＝10，ab＝﹣5，
∴（20﹣x）2+（x﹣10）2
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝102﹣2×（﹣5）
＝100+10
＝110；
故答案为：110．
7．（2024•南京模拟）如图，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝9，两正方形的面积和S1+S2＝51，则图中阴影部分面积为 ．
【分析】设AC＝m，CF＝n，可得m+n＝9，m2+n2＝51，求出mn即可．
【解答】解：设AC＝m，CF＝n，
∵AB＝9，
∴m+n＝9，
又∵S1+S2＝51，
∴m2+n2＝51，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴92＝51+2mn，
∴mn＝15，
∴S阴影部分＝mn＝，
即：阴影部分的面积为．
故答案为：．
8．（2024•重庆模拟）要使（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，则a﹣b＝ 11 ．
【分析】利用多项式乘多项式法则先计算（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b），再根据积的展开式中不含x2项和x3项求出a、b的值，最后计算a﹣b．
【解答】解：（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）
＝2x4﹣x3+bx2﹣2ax3+ax2﹣abx+12x2﹣6x+6b
＝2x4﹣（2a+1）x3+（a+b+12）x2﹣（ab+6）x+6b．
∵（x2﹣ax+6）（2x2﹣x+b）展开式中不含x2项和x3项，
∴﹣（2a+1）＝0，且a+b+12＝0．
∴a＝﹣，b＝﹣．
∴a﹣b＝﹣﹣（﹣）
＝﹣+
＝11．
故答案为：11．
9．（2024•郸城县二模）（1）计算：；
（2）化简：（2x﹣y）（2x+y）﹣（2x﹣y）2．
【分析】（1）根据二次根式的性质、绝对值的性质和负整数指数幂的性质，先算乘方、开方和去掉绝对值符号，再算加减即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算乘方和乘法，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝
＝；
（2）原式＝4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2
＝4x2﹣4x2+4xy﹣y2﹣y2
＝4xy﹣2y2．
10．（2024•文水县一模）请阅读下面材料，并完成相应的任务，
妙用平方差公式解决问题
学完平方差公式后，王老师展示了以下例题：
例计算+
观察算式发现：如果将 乘 这时可以连续运用平方差公式进行计算，为使等式恒成立，需将式子整体再乘2．
解：原式＝
＝
＝
＝
＝
＝2﹣+
＝2．
以上计算的关键是将原式进行适当的变形后，运用平方差公式解决问题．计算符合算理，过程简洁．这种变形来源于认真观察（发现特点）、大胆猜想（运用公式）、严格推理（恒等变形）．学习数学要重视观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程．
任务：
（1）请仿照上述方法计算：2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1；
（2）请认真观察，计算：．
【分析】（1）仿照题中给出的方法计算即可；
（2）根据平方差公式分别计算，再根据有理数的乘法法则计算即可．
【解答】解：（1）2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1
＝（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）+1
＝（32﹣1）（32+1）（34+1）（38+1）+1
＝（34﹣1）（34+1）（38+1）+1
＝（38﹣1）（38+1）+1
＝316﹣1+1
＝316；
（2）
＝
＝
＝
＝．
题型02 分式及其化简计算
【中考真题练】
1．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】利用分式的加法法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝+
＝
＝，
故选：D．
2．（2023•河北）化简的结果是（ ）
A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6
【分析】先根据分式的乘方法则计算，再根据分式的乘法法则计算．
【解答】解：x3（）2
＝x3•
＝xy6，
故选：A．
3．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（ ）
A．0B．﹣1C．1D．0或1
【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列式计算．
【解答】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，
解得：x＝0，
故选：A．
4．（2023•北京）若代数式有意义，则实数x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
5．（2023•宁夏）计算：+＝ ．
【分析】利用同分母分式的加法法则运算即可．
【解答】解：原式＝
＝．
故答案为：．
6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 1 ．
【分析】根据+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．
【解答】解：∵+＝1，
∴+＝＝1，
∴ab＝2a+b，
∴＝＝＝1．
故答案为：1．
7．（2023•大庆）若x满足（x﹣2）x+1＝1，则整数x的值为 ﹣1或3或1 ．
【分析】根据零指数幂可得x+1＝0，根据有理数的乘方可得x﹣2＝1；x﹣2＝﹣1，x+1为偶数，再解即可．
【解答】解：由题意得：
①x+1＝0，
解得：x＝﹣1；
②x﹣2＝1，
解得：x＝3；
③x﹣2＝﹣1，x+1为偶数，
解得：x＝1，
故答案为：﹣1或3或1．
8．（2023•大连）计算：（+）÷．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝．
9．（2023•丹东）先化简，再求值：
，其中．
【分析】先算括号内的，把除化为乘，化简后将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝[﹣]×
＝（﹣）×
＝×
＝；
∵x＝（）﹣1+（﹣3）0＝2+1＝3，
∴原式＝＝1．
10．（2023•宜昌）先化简，再求值：+3，其中a＝﹣3．
【分析】根据分式的除法法则把原式化简，把a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝•+3
＝•+3
＝a+3，
当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．
11．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：（﹣a+1）÷
＝•
＝．
∵﹣2＜a＜3且a≠±1，
∴a＝0符合题意．
当a＝0时，原式＝＝﹣1．
【中考模拟练】
1．（2024•珠海校级一模）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解．
【解答】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D正确，符合题意；
故选：D．
2．（2024•绵阳模拟）如果a＝﹣3﹣2，b＝，c＝，那么a，b，c三数的大小为（ ）
A．a＜c＜bB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a
【分析】利用负整式指数幂的性质、零次幂的性质分别进行计算即可．
【解答】解：a＝﹣3﹣2＝﹣，
b＝＝9；
c＝＝1，
∵﹣＜1＜9，
∴a＜c＜b，
故选：A．
3．（2024•运城模拟）化简的结果是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据分式的加减法运算法则和顺序计算即可．
【解答】解：原式＝﹣＝＝＝1，
故选：D．
4．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．
【分析】先利用异分母分式加减法法则化简要求值代数式，再整体代入得结论．
【解答】解：∵﹣＝﹣
＝
＝﹣．
当x﹣y＝3xy时，
原式＝﹣＝﹣3．
故选：A．
5．（2024•湖州一模）若分式有意义，则实数x的取值范围是 x≠5 ．
【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于零即可求解．
【解答】解：由题意得：x﹣5≠0，
解得：x≠5．
故答案为：x≠5．
6．（2024•西城区校级一模）如果分式的值为0，则x的值是 0 ．
【分析】根据分式值为零的条件列式计算即可．
【解答】解：由题意得，x（x﹣2）＝0，x﹣2≠0，
解得，x＝0，
故答案为：0．
7．（2024•新疆模拟）当a＝﹣2时，代数式的值为 0 ．
【分析】先根据分式的加减法把原式进行化简，再把a＝﹣2代入求值即可．
【解答】解：原式＝＝＝﹣a﹣2，
当a＝﹣2时，原式＝2﹣2＝0．
故答案为：0．
8．（2024•凤翔区一模）化简：．
【分析】先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2a﹣4．
9．（2024•绵阳模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）先化简，然后计算加减法即可；
（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将m的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：（1）
＝2﹣1﹣++1﹣
＝2；
（2）
＝÷
＝•
＝
＝，
当时，原式＝＝+1．
10．（2024•天河区校级一模）先化简，然后从﹣1，0，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的代入进行计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝•
＝•
＝﹣，
∵x+1≠0，x﹣2≠0，
∴x≠﹣1，x≠2，
∴当x＝0时，原式＝﹣＝1．
11．（2024•兴庆区校级一模）在数学课上，老师出了一道题，让甲、乙、丙、丁四位同学进行“接力游戏”
规则如下：每位同学可以完成化简分式的一步变形，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步化简变形，直至将该分式化简完毕．
请根据如表的“接力游戏”回答问题：
任务一：①在“接力游戏”中，丁同学是依据 C 进行变形的．
A．等式的基本性质
B．不等式的基本性质
C．分式的基本性质
D．乘法分配律
②在“接力游戏”中，从 乙 同学开始出现错误，错误的原因是 去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号 ．
任务二：请你写出该分式化简的正确结果 ﹣ ．
【分析】①利用分式的相应的运算法则进行分析即可；
②利用分式的运算法则进行分析即可．
【解答】解：①丁同学是依据是分式的基本性质进行变形的．
故选：C；
故答案为：C；
②从乙同学开始出现错误，错误的原因是：去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
故答案为：乙；去括号时，括号前面是负号，没有将括号内的每一项都变号；
任务二：原式＝
＝•
＝•
＝﹣．
故答案为：﹣．
题型03 利用整体思想解决代数式求值问题
【中考真题练】
1．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ）
A．5B．7C．10D．﹣13
【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，
∴x2+3x＝5，
∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．
故选：B．
2．（2023•南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（ ）
A．24B．20C．18D．16
【分析】由已知条件可得a2﹣4a＝12，然后将2a2﹣8a﹣8变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，
∴a2﹣4a＝12，
∴2a2﹣8a﹣8
＝2（a2﹣4a）﹣8
＝2×12﹣8
＝24﹣8
＝16，
故选：D．
3．（2023•泰州）若2a﹣b+3＝0，则2（2a+b）﹣4b的值为 ﹣6 ．
【分析】直接利用整式的加减运算法则化简，进而把已知代入得出答案．
【解答】解：2（2a+b）﹣4b
＝4a+2b﹣4b
＝4a﹣2b
＝2（2a﹣b），
∵2a﹣b+3＝0，
∴2a﹣b＝﹣3，
∴原式＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
4．（2023•宁夏）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡．测得x与y的几组对应数据如下表：
由表中数据的规律可知，当x＝20克时，y＝ 50 毫米．
【分析】观察列表中数据可知当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，把x＝20代入求值即可．
【解答】解：由题可得当放入0克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10毫米，
当放入2克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×2＝14（毫米），
当放入4克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×4＝18（毫米），
当放入6克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×6＝22（毫米），
当放入8克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×8＝26（毫米），
当放入10克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×10＝22（毫米），
……
所以当放入x克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为（10+2x）毫米，
当放入x＝20克物品时，秤砣所挂位置与提纽的距离为10+2×20＝50（毫米），
故答案为：50．
5．（2023•赤峰）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2的值是（ ）
A．6B．﹣5C．﹣3D．4
【分析】分别利用平方差公式和完全平方公式将括号去掉，再合并同类项并利用已知条件即可解答．
【解答】解：原式＝（2a）2﹣32+（2a）2﹣4a+1
＝2×（2a）2﹣4a﹣32+1
＝8a2﹣4a﹣9+1
＝8a2﹣4a﹣8
＝4（2a2﹣a）﹣8．
∵2a2﹣a﹣3＝0，
∴2a2﹣a＝3，
∴4（2a2﹣a）﹣8＝4×3﹣8＝4．
故选：D．
6．（2023•福建）已知+＝1，且a≠﹣b，则的值为 1 ．
【分析】根据+＝1，可得ab＝2a+b，再代入即可求出答案．
【解答】解：∵+＝1，
∴+＝＝1，
∴ab＝2a+b，
∴＝＝＝1．
故答案为：1．
7．（2023•北京）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．
【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，
∴x+2y＝1，
∴＝
＝
＝
＝2，
∴的值为2．
8．（2023•成都）若3ab﹣3b2﹣2＝0，则代数式（1﹣）÷的值为 ．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1﹣）÷
＝•
＝•
＝b（a﹣b）
＝ab﹣b2，
∵3ab﹣3b2﹣2＝0，
∴3ab﹣3b2＝2，
∴ab﹣b2＝，
∴原式＝．
故答案为：．
9．（2023•菏泽）先化简，再求值：（+）÷，其中x，y满足2x+y﹣3＝0．
【分析】利用分式的相应的法则对式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：（+）÷
＝
＝
＝2（2x+y），
∵2x+y﹣3＝0，
∴2x+y＝3，
∴原式＝2×3＝6．
【中考模拟练】
1．（2023•香洲区一模）已知2a+3b＝4，则整式﹣4a﹣6b+1的值是（ ）
A．5B．3C．﹣7D．﹣10
【分析】根据相反数的定义得：﹣2a﹣3b＝﹣4，首先化简﹣4a﹣6b+1，然后把﹣2a﹣3b＝﹣4代入化简后的算式，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：∵2a+3b＝4，
∴﹣2a﹣3b＝﹣4，
∴﹣4a﹣6b+1＝2（﹣2a﹣3b）+1＝﹣8+1＝﹣7，
故选：C．
2．（2023•巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（ ）
A．5B．7C．10D．﹣13
【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，
∴x2+3x＝5，
∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．
故选：B．
3．（2023•姑苏区校级二模）若a2﹣3a+2＝0，则1+6a﹣2a2＝（ ）
A．5B．﹣5C．3D．﹣3
【分析】由题意知a2﹣3a＝﹣2，根据1+6a﹣2a2＝﹣2（a2﹣3a）+1，计算求解即可．
【解答】解：由题意知a2﹣3a＝﹣2，
∴1+6a﹣2a2＝﹣2（a2﹣3a）+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，
故选：A．
4．（2023•龙江县四模）代数式3x2﹣4x﹣5的值为7，则x2﹣x﹣5的值为（ ）
A．4B．﹣1C．﹣5D．7
【分析】根据题意列出等式，变形后求出x2﹣x的值，代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：∵3x2﹣4x﹣5的值为7，
3x2﹣4x＝12，
代入x2﹣x﹣5，得（3x2﹣4x）﹣5＝4﹣5＝﹣1．
故选：B．
5．（2024•兰山区校级模拟）若x﹣y＝3xy，则的值是（ ）
A．﹣3B．3C．D．
【分析】先利用异分母分式加减法法则化简要求值代数式，再整体代入得结论．
【解答】解：∵﹣＝﹣
＝
＝﹣．
当x﹣y＝3xy时，
原式＝﹣＝﹣3．
故选：A．
6．（2024•汉川市模拟）已知x2﹣x﹣6＝0，则的值是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】先把已知条件变形为x2﹣x＝6，再将分式变形为，整体代入计算即可．
【解答】解：∵x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝6，
∴
＝
＝
＝
＝，
故选：B．
7．（2024•潼南区一模）当x＝1时，ax3+bx+3＝5；则当x＝﹣2时，则多项式ax2﹣2bx﹣2的值为 6 ．
【分析】根据x＝1时，ax3+bx+3＝5可得a+b＝2，然后将x＝﹣2代入ax2﹣2bx﹣2中，可得结果．
【解答】解：∵x＝1时，ax3+bx+3＝5，
即a+b＝2，
当x＝﹣2时，ax2﹣2bx﹣2＝4a+4b﹣2＝4（a+b）﹣2＝4×2﹣2＝6，
故答案为：6．
8．（2024•咸安区模拟）已知x2﹣2x﹣2＝0，代数式（x﹣1）2+2021＝ 2024 ．
【分析】将已知条件利用完全平方公式整理得（x﹣1）2＝3，将其代入（x﹣1）2+2021中计算即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣2＝0，
∴x2﹣2x+1﹣3＝0，
∴（x﹣1）2＝3，
∴（x﹣1）2+2021＝3+2021＝2024，
故答案为：2024．
9．（2024•安溪县模拟）已知，且x≠y，则的值为 3 ．
【分析】先将已知条件化为3y﹣2x＝xy，再代入中化为，即可求值．
【解答】解：∵，
∴3y﹣2x＝xy，
∴
＝
＝
＝
＝
＝
＝3，
故答案为：3．
10．（2024•武侯区校级一模）若2x2+2xy﹣5＝0，则代数式的值为 ．
【分析】根据分式的加法法则、除法法则把原式化简，整体代入计算即可．
【解答】解：原代数式＝（+）•
＝•
＝x（x+y）
＝x2+xy，
∵2x2+2xy﹣5＝0，
∴2x2+2xy＝5，
∴x2+xy＝，
则原式＝，
故答案为：．
11．（2024•东阿县模拟）已知：m+＝5，则m2+＝ 23 ．
【分析】将m+＝5代入m2+＝（m+）2﹣2，计算可得．
【解答】解：当m+＝5时，
m2+＝（m+）2﹣2
＝52﹣2
＝25﹣2
＝23，
故答案为：23．
12．（2023•河源一模）已知m2﹣4m+1＝0，则代数式值＝ 14 ．
【分析】由m2﹣4m+1＝0得出m﹣4+＝0，即m+＝4，再两边平方，进一步求解即可．
【解答】解：∵m2﹣4m+1＝0，
∴m﹣4+＝0，
则m+＝4，
∴（m+）2＝16，
∴m2+2+＝16，
∴m2+＝14，
故答案为：14．
13．（2024•东城区校级模拟）已知a2+a﹣2＝0，求代数式的值．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵a2+a﹣2＝0，
∴a2+a＝2，
∴原式＝．
考点二：代数式规律题
题型01 数字变化类规律题
【中考真题练】
1．（2023•牡丹江）观察下面两行数：
1，5，11，19，29，…；
1，3，6，10，15，…．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是（ ）
A．92B．87C．83D．78
【分析】观察第2行数可知第n个数为1+2+3+…+n，第一行数的第n个数为第2行第n个数的2倍减1，即可求出每行数的第7个数，从而得到答案．
【解答】解：观察第2行数可知，第7个数为：1+2+3+4+5+6+7＝28，
第1行的第7个数为28×2﹣1＝55，
∵28+55＝83，
∴取每行数的第7个数，这两个数的和是83；
故选：C．
2．（2023•常德）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数若排在第a行b列，则a﹣b的值为（ ）
A．2003B．2004C．2022D．2023
【分析】观察数表得到a，b的值，即可求出答案．
【解答】解：观察数表可得，同一行的分数，分子与分母的和不变，（m，n为正整数）在第（m+n﹣1）行，第n列，
∴在第2042行，第20列，
∴a＝2042，b＝20，
∴a﹣b＝2042﹣20＝2022，
故选：C．
3．（2023•临沂）观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…
按照上述规律， （n﹣1）（n+1）+1 ＝n2．
【分析】根据数字的变化规律，写出第（n﹣1）个等式即可．
【解答】解：观察下列式子：
1×3+1＝22；
2×4+1＝32；
3×5+1＝42；
…；
按照上述规律，（n﹣1）（n+1）+1＝n2．
故答案为：（n﹣1）（n+1）+1．
4．（2023•内蒙古）观察下列各式：
S1＝＝1+，S2＝＝1+，S3＝＝1+ …
请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+…+S50＝ 50 ．
【分析】由题干中的式子总结规律，然后利用裂项法进行计算即可．
【解答】解：S1+S2+…+S50
＝1++1++1++...+1+
＝（1+1+1+...+1）+（+++...+）
＝1×50+（1﹣+﹣+﹣+...+﹣）
＝50+（1﹣）
＝50+
＝50，
故答案为：50．
5．（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，…①
0，7，﹣4，21，﹣26，71，…②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 （﹣2）10 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为 ﹣22024+2024 ．
【分析】观察可得，第①行数的第n个数为（﹣2）n，第②行数的第n个数为（﹣2）n+（n+1），即可得到答案．
【解答】解：观察数列可得，第①行数的第10个数为（﹣2）10，
第①行数的第2023个数为（﹣2）2023，第②行数的第2023个数为（﹣2）2023+2024，
∵（﹣2）2023+（﹣2）2023+2024＝﹣22024+2024，
∴取每行数的第2023个数，这两个数的和为﹣22024+2024．
故答案为：（﹣2）10，﹣22024+2024．
6．（2023•聊城）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：（3，5）；（7，10）；（13，17）；（21，26）；（31，37）…如果单独把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对： （n2+n+1，n2+2n+2） ．
【分析】根据题意把每一个数对中的第一个数字和第二个数字按顺序排列起来，可发现第n个数对的第一个数为n（n+1）+1，“第n个数对的第二个数为（n+1）2+1，于是得到结论．
【解答】解：每个数对的第一个数分别为3，7，13，21，31，．．．，
即1×2+1，2×3+1，3×4+1，4×5+1，5×6+1，..．，
则第n个数对的第一个数为n2+n+1，
每个数对的第二个数分别为5，10，17，26，37，..．，
即22+1，32+1，42+1，52+1，．．．，
则第n个数对的第二个数为（n+1）2+1＝n2+2n+2，
∴第n个数对为（n2+n+1，n2+2n+2）．
故答案为：（n2+n+1，n2+2n+2）．
7．（2023•浙江）观察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）写出192﹣172的结果；
（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）；
（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以写出192﹣172的结果；
（2）根据题目中给出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）将（2）中等号左边的式子利用平方差公式计算即可．
【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由题意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正确．
【中考模拟练】
1．（2024•官渡区校级模拟）按一定规律排列的式子：a，2a3，4a5，8a7，16a9，…，则第2024个式子为（ ）
A．22023a2025B．（22024﹣1）a4047
C．22023a4047D．22024a4049
【分析】由题目可得式子的一般性规律：第n个式子为：2n﹣1•a2n﹣1，当n＝2024时，第2024个式子为：22023•a4047，即可得出答案．
【解答】解：式子的系数为1，2，4，8，16，⋯，则第n个式子的系数为：2n﹣1；
式子的指数为1，3，5，7，9，⋯，则第n个式子的指数为：2n﹣1，
∴第n个式子为：2n﹣1•a2n﹣1，
当n＝2024时，第2024个式子为：22023•a4047，
故选：C．
2．（2024•渝中区校级模拟）有一列数{﹣1，﹣2，﹣3，﹣4}，将这列数中的每个数求其相反数得到{1，2，3，4}，再分别求与1的和的倒数，得到，设为{a1，a2，a3，a4}，称这为一次操作，第二次操作是将{a1，a2，a3，a4}再进行上述操作，得到{a5，a6，a7，a8}；第三次将{a5，a6，a7，a8}重复上述操作，得到{a9，a10，a11，a12}…以此类推，得出下列说法中，正确的有（ ）个．
①a5＝2，，，，
②a10＝﹣2，
③a2015＝3，
④．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析得出规律，再进行分析即可．
【解答】解：∵{a1，a2，a3，a4}对应为{，，，}，
∴a5＝2，，，，故①说法正确；
a9＝﹣1，a10＝﹣2，a11＝﹣3，a12＝﹣4，
∴经过两次操作后，所给的数重复出现，即每12个数为一组，
∵2015÷12＝167……11，
∴a2015＝﹣3，故③说法错误；②说法正确；
∵a1+a2+a3+…+a12＝﹣，
∴a1+a2+a3+…+a49+a50
＝4×（﹣）+
＝﹣
＝﹣，故④说法错误．
故正确的说法有1个．
故选：C．
3．（2024•南岗区校级一模）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
那么，当输入数据为8时，输出的数据为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由表格中的数据可知，输入的数据与输入的数据的分子相同，分母是分子的平方加1，从而可以解答本题．
【解答】解：∵由表格可知，输入的数据与输出的数据的分子相同，而输出数据的分母正好是分子的平方加1，
∴当输入数据为8时，输出的数据为：＝．
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，项D错误．
故选：C．
4．（2024•东兴区一模）对于每个正整数n，设f（n）表示n×（n+1）的末位数字．例如：f（1）＝2（1×2末位数字），f（2）＝6（2×3的末位数字），f（3）＝2（3×4的末位数字）…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2023）的值是（ ）
A．4020B．4030C．4040D．4050
【分析】根据题意，可以写出前几个式子的值，然后即可发现式子的变化特点，从而可以求得所求式子的值．
【解答】解：由题意可得，
f（1）＝2，
f（1）+f（2）＝2+6＝8，
f（1）+f（2）+f（3）＝2+6+2＝10，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+6+2+0＝10，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）＝2+6+2+0+0＝10，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）＝2+6+2+0+0+2＝12，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）＝2+6+2+0+0+2+6＝18，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）+f（7）+f（8）＝2+6+2+0+0+2+6+2＝20，
…，
∵2023÷5＝404…3，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…f（2023）
＝（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+（2+6+2+0+0）+…+（2+6+2+0+0）+2+6+2
＝10×404+10
＝4040+10
＝4050，
故选：D．
5．（2024•沈阳模拟）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，F（n）＝3n+1；②当n为偶数时，（其中k是使F（n）为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取n＝12，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是（ ）
A．B．37C．1D．4
【分析】根据题意，通过通过罗列计算可发现从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数是是偶数次时，结果是4；当次数是是奇数次时，结果是1．据此解答即可．
【解答】解：当n＝12时，
第1次结果是：＝3，
第2次结果是：3×3+1＝10，
第3次结果是：＝5，
第4次结果是：3×5+1＝16，
第5次结果是：＝1，
第6次结果是：3×1+1＝4，
第7次结果是：，
第8次结果是：3×1+1＝4，
•••，
可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数是是偶数次时，结果是4；当次数是是奇数次时，结果是1．
∴第2024次“F”运算的结果是4．
故选：D．
6．（2024•兰山区校级模拟）如图的数字三角形被称为“杨辉三角”，图中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…，第n个数记为an，则a2023﹣a2021＝ 4045 ．
【分析】通过归纳出第n个数an的表达式为进行求解．
【解答】解：由题意得，
a1＝1，
a2＝3＝1+2＝，
a3＝6＝1+2+3＝，
a4＝10＝1+2+3+4＝，
……，
∴第n个数记为an＝，
∴a2023﹣a2021
＝﹣
＝
＝4045，
故答案为：4045．
7．（2024•湖南模拟）观察下面“品”字图形中各数字之间的规律，根据观察到的规律得出a+b的值为 139 ．
【分析】根据题目中的图形，可以发现数字的变化特点，①最上面的小正方形中的数字是连续奇数，②左下小正方形中的数字是2n，③右下是前两个数的和；从而可以得到a和b的值，相加可得结论．
【解答】解：由图可知，
每个图形的最上面的小正方形中的数字是连续奇数，所以第n个图形中最上面的小正方形中的数字是2n﹣1，
即2n﹣1＝11，n＝6，
∵2＝21，4＝22，8＝23，…，左下角的小正方形中的数字是2n，
∴b＝26＝64，
∵右下角中小正方形中的数字是2n﹣1+2n，
∴a＝11+b＝11+64＝75，
∴a+b＝75+64＝139，
故答案为：139．
8．（2023•咸丰县模拟）把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，……，则第21个数字是 1830 ．
【分析】由虚线上第2个数字，虚线上第3个数字，虚线上第4个数字，•••总结虚线上第n个数字的规律即可．
【解答】解：虚线上第2个数字是6＝1+2+3，
虚线上第3个数字是21＝1+2+3+4+5+6，
虚线上第4个数字是1+2+3+4+5+6+7+8+9，•••
总结规律得：
虚线上第n个数字是1+2+3+4+5+6+7+8+9+•••+3（n﹣1），
∴虚线上第21个数字是1+2+3+4+5+6+7+8+9+•••+3（21﹣1）＝1+2+3+4+•••+60＝＝1830．
故答案为：1830．
9．（2024•花山区校级一模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个式：
第3个等式：
第4个等式：
…
【总结规律】按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出第n个等式： （用含有n的等式表示）；
（3）利用以上规律，化简下面的问题（结果只需化简）．
．
【分析】（1）根据题中所给的式子直接写出第4个等式即可；
（2）根据（1）中的规律可得第n个等式即可；
（3）将（1）（2）中发现的规律代入进行计算即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意可得：
第5个等式为：，
故答案为：；
（2）∵第1个等式：
第2个式：
第3个等式：
第4个等式：
……，
∴第n个等式为：，
故答案为：；
（3）
＝
＝
＝
＝．
题型02 图形变化类规律题
【中考真题练】
1．（2023•重庆）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
A．14B．20C．23D．26
【分析】根据前4个图中的个数找到规律，再求解．
【解答】解：第①个图案中有2个圆圈，
第②个图案中有2+3×1＝5个圆圈，
第③个图案中有2+3×2＝8个圆圈，
第④个图案中有2+3×3＝11个圆圈，
...，
则第⑦个图案中圆圈的个数为：2+3×6＝20，
故选：B．
2．（2023•达州）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，、、、的圆心依次为A、B、C、D循环，则的长是（ ）
A．B．2023πC．D．2022π
【分析】由观察规律可得的半径为2×2023﹣1＝4045，再用弧长公式列式计算即可．
【解答】解：由已知可得，的半径为为1，的半径为，的半径为2，的半径为...，
∴后一段90°的圆心角所对的弧比相邻的前一段90°的圆心角所对的弧的半径大，
∴的半径为3，的半径为5，的半径为7...，
∴的半径为2×2023﹣1＝4045，
∴的长为×2π×4045＝，
故选：A．
3．（2023•广元）在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”，根据规律第八行从左到右第三个数为 21 ．
【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）8的展开式中第三项．
【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3＝1+2；
（a+b）4的第三项系数为6＝1+2+3；
（a+b）5的第三项系数为10＝1+2+3+4；
不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+…+（n﹣2）+（n﹣1），
因为第八行为（a+b）7，
∴（a+b）7展开式的第三项的系数是1+2+3+…+6＝21，
∴第八行从左到右第三个数为为21．
故答案为：21．
4．（2023•山西）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 （2+2n） 个白色圆片（用含n的代数式表示）．
【分析】每增加一个图案增加2个白色圆片，据此解答．
【解答】解：第1个图形中有2+2×1＝4个白色圆片；
第2个图形中有2+2×2＝6个白色圆片；
第3个图形中有2+2×3＝8个白色圆片；
•••••
第n个图形中有（2+2n）个白色圆片；
故答案为：（2+2n）．
5．（2023•十堰）用火柴棍拼成如图图案，其中第①个图案由4个小等边三角形围成1个小菱形，第②个图案由6个小等边三角形围成2个小菱形，…，若按此规律拼下去，则第n个图案需要火柴棍的根数为 6n+6 ．（用含n的式子表示）
【分析】第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12＝3×4，第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18＝3×6，第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24＝3×8，…，据此可求得第n个图案所需要的火柴棍的根数．
【解答】解：∵第①个图案所需要的火柴棍的根数为：12＝3×4，
第②个图案所需要的火柴棍的根数为：18＝3×6，
第③个图案所需要的火柴棍的根数为：24＝3×8，
…，
∴第n个图案需要火柴棍的根数为：3（2n+2）＝6n+6．
故答案为：6n+6．
6．（2023•绥化）在求1+2+3+…+100的值时，发现：1+100＝101，2+99＝101…，从而得到1+2+3+…+100＝101×50＝5050．按此方法可解决下面问题．图（1）有1个三角形，记作a1＝1；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作a2＝5；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作a3＝9；按此方法继续下去，则a1+a2+a3+…+an＝ 2n2﹣n .（结果用含n的代数式表示）
【分析】根据题意可求得an＝4n﹣3，从而可求解．
【解答】解：∵图（1）有1个三角形，记作a1＝1；
图（2）有5个三角形，记作a2＝5＝1+4＝1+4×1；
图（3）有9个三角形，记作a3＝9＝1+4+4＝1+4×2；
…，
∴图（n）中三角形的个数为：an＝1+4（n﹣1）＝4n﹣3，
∴a1+a2+a3+…+an
＝1+5+9+…+（4n﹣3）
＝
＝2n2﹣n．
故答案为：2n2﹣n．
7．（2023•安徽）【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“◎”的个数为 3n ；
（2）第1个图案中“★”的个数可表示为，第2个图案中“★”的个数可表示为，第3个图案中“★”的个数可表示为，第4个图案中“★”的个数可表示为，……，第n个图案中“★”的个数可表示为 ．
【规律应用】
（3）结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+……+n等于第n个图案中“◎”的个数的2倍．
【分析】（1）不难看出，第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，第3个图案中“◎”的个数为：9＝1+2+2+3+1，…，从而可求第n个图案中“◎”的个数；
（2）根据所给的规律进行总结即可；
（3）结合（1）（2）列出相应的式子求解即可．
【解答】解：（1）∵第1个图案中“◎”的个数为：3＝1+2，
第2个图案中“◎”的个数为：6＝1+2+2+1，
第3个图案中“◎”的个数为：9＝1+2+2+3+1，
…，
∴第n个图案中“◎”的个数：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，
故答案为：3n；
（2）由题意得：第n个图案中“★”的个数可表示为：；
故答案为：；
（3）由题意得：＝2×3n，
解得：n＝11或n＝0（不符合题意）．
【中考模拟练】
1．（2024•济宁一模）如图都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，第9个图形中小正方形的个数是（ ）
A．100B．99C．98D．80
【分析】根据图形间变化可得第n个图中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，再代入n＝9进行计算即可．
【解答】解：∵第1个图中小正方形的个数是3＝22﹣1，
第2个图中小正方形的个数是8＝32﹣1，
第3个图中小正方形的个数是15＝42﹣1，
第4个图中小正方形的个数是24＝52﹣1，
…
∴第n个图中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，
∴第9个图中小正方形的个数是（9+1）2﹣1＝100﹣1＝99．
故选：B．
2．（2024•松山区一模）如图所示是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，…，第n（n是正整数）个图案中由（ ）个基础图形组成．
A．3n﹣1B．3n+1C．4n﹣1D．4n
【分析】根据图形的变化，找出其规律，再计算求值即可．
【解答】解：根据题意有，
第1个图案基础图形个数为：1+3×1＝4，
第2个图案基础图形个数为：1+3×2＝7，
第3个图案基础图形个数为：1+3×3＝10，
……，
第n个图案基础图形个数为：1+3×n＝3n+1．
故选：B．
3．（2024•张家口一模）如图是P1，P2，…，P10十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等份．连接P1P2和P5P6，并延长交于一点，连接P9P10和P6P7并延长交于一点，则夹角各是多少（ ）
A．30°和60°B．54°和72°C．36°和54°D．36°和72°
【分析】先利用圆周角定理分别求出∠P1P2P5，∠P2P5P6，∠P10P7P6，∠P9P10P7度数，再利用三角形外角性质和三角形内角和定理分别求出∠P5QP2和∠P10PP7即可．
【解答】解：如图所示，设直线P9P10与直线P6P7交于P，直线P1P2和直线P5P6交于一点Q，
连P2P5，P7P10，
由题意得，
弧P1P7P5所对圆周角∠P1P2P5的度数为：，
弧P2P1P6所对圆周角∠P2P5P6的度数为：，
∴∠QP2P5＝∠QP5P2＝180°﹣108°＝72°，
则∠P5QP2＝180°﹣72°×2＝36°，
弧P6P5P10所对圆周角∠P10P7P6的度数为：，
弧P7P8P9所对圆周角∠P9P10P7的度数为：，
∴∠P10PP7＝108°﹣36°＝72°，
故选：D．
4．（2024•重庆模拟）用大小相同的圆点摆成如图所示的图案，其中地①个图案用了7个圆点，第②个图案用了10个圆点，第③个图案用了14个圆点，第④个图案用了19个圆点，…，按照这样的规律摆放，则第7个图案中共有画点的个数是（ ）
A．40B．49C．50D．52
【分析】根据观察图形可知，第一个图形总共有7个圆点，第二个图形总共有7+3＝10圆点，第三个图形总共有7+3+4＝14圆点，以此类推，第n个图形应该有7+3+4+5+...+n+1个圆点，第7个图形就有为7+3+4+5+6+7+8＝40个圆点．
【解答】解：根据图中原点摆放找出规律：
当n＝1时，圆点个数为7，
当n＝2时，圆点个数为7+3＝10，
当n＝3时，圆点个数为7+3+4＝14，
当n＝4时，圆点个数为7+3+4+5＝19，
当n＝7时，圆点个数为7+3+4+5+6+7+8＝40．
故选：A．
5．（2024•南岸区校级模拟）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为（ ）
A．C12H24B．C12H25C．C12H26D．C12H28
【分析】由甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，总结规律得十二烷的化学式为C12H2+2×12，即C12H26．
【解答】解：由甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，
得十二烷的化学式为C12H2+2×12，即C12H26．
故选：C．
6．（2024•渝中区校级模拟）下列图形都是由同样大小的△按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6个△，第②个图形中一共有13个△，第③个图形中一共有22个△，……，按此规律排列，则第⑧个图形中△的个数为（ ）
A．97B．95C．87D．85
【分析】由题中所给图形，依次求出图形中△的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第①个图形中△的个数为：6＝12+1×4+1；
第②个图形中△的个数为：13＝22+2×4+1；
第③个图形中△的个数为：22＝32+3×4+1；
…，
所以第n个图形中△的个数为（n2+4n+1）个，
当n＝8时，
n2+4n+1＝82+4×8+1＝97（个），
即第⑧个图形中△的个数为97个．
故选：A．
7．（2024•阿城区一模）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，继续排列下去，如果第n幅图中有337个菱形，则n＝ 169 ．
【分析】依次求出图形中菱形的个数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1幅图中菱形的个数为：1＝1×2﹣1；
第2幅图中菱形的个数为：3＝2×2﹣1；
第3幅图中菱形的个数为：5＝3×2﹣1；
…，
所以第n幅图中菱形的个数为（2n﹣1）个．
令2n﹣1＝337，
解得n＝169，
即第169幅图中菱形的个数为337个．
故答案为：169．
8．（2024•巴东县模拟）如图，数轴上的点O为原点，点A表示的数为﹣3，动点P从点O出发，按以下规律跳动：第1次从点O跳动到OA的中点A1处，第2次从点A1跳动到A1A的中点A2处，第3次从点A2跳动到A2A的中点A3处，…，第n次从点An﹣1 跳动到An﹣1A的中点A，处，按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6，…，A2024处，那么点A2024所表示的数为 ．
【分析】依次求出点A1，A2，A3，…，所表示的数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A表示的数为﹣3，
所以OA＝3．
又因为点A1为OA的中点，
所以AA1＝，
则点A1所表示的数为：；
同理可得，
点A2所表示的数为：；
点A3所表示的数为：；
…，
依次类推，点An所表示的数为：﹣3+，
当n＝2024时，
﹣3+．
即点A2024所表示的数为：﹣3+．
故答案为：．
9．（2024•滕州市一模）如图，正方形ABCB1中，AB＝，AB与直线l所夹锐角为60°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则线段A2023A2024＝ 2× ．
【分析】利用含30°角的直角三角形的性质分别求出A1B1＝，AA1＝2AB1＝2，同理得出A2A3＝2×（）2，A3A4＝2×（）3，得到规律．
【解答】解：∵四边形ABCB1是正方形，
∴AB1＝AB＝1，
∵A1C∥AB，
∴∠B1A1A＝30°，
∴A1B1＝，AA1＝2AB1＝2，
∵四边形A1B1C1B2为正方形，
∴A1B2＝A1B1＝，
∵A2C1∥A1B1，
∴∠B2A2A1＝60°，
∴A1A2＝＝2×，
同理可得A2A3＝2×（）2，A3A4＝2×（）3
∴线段A2023A2024＝2×，
故答案为：2×．
10．（2024•东莞市校级一模）如图：Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，把边长分别为x1，x2，x3，…xn的n个正方形依次放在△ABC中：第一个正方形CM1P1N1的顶点分别放在Rt△ABC的各边上；第二个正方形M1M2P2N2的顶点分别放在Rt△AP1M1的各边上，…其他正方形依次放入，则第2022个正方形的边长x2022为 （）2022 ．
【分析】由四边形CDEF是正方形，即可得CD＝CF＝DE＝EF＝x1，DE∥AC，然后根据平行线分线段成比例定理，即可得，又由BC＝1，AC＝2，即可求得x1的值，同理求得x2，x3的值；观察规律即可求得第n个正方形的边长xn＝（）n．
【解答】解：如图，∵四边形CM1P1N1是正方形，
则CN1＝CM1＝P1N1＝M1P＝x1，P1N1∥AC，
∴，
即，
∴x1＝，
同理：x2＝（）2，
x3＝（）3，
…
∴xn＝（）n．
∴x2022＝（）2022．
故答案为：（）2022．
易错点01：幂的各公式记背
易错点02：乘法公式的记背与区别
完全平方公式：
首先，需注意公式中ab乘积项的符号与两数和或差的一致性；其次，公式也是等式，从右往左也可以应用，故应用时要注意两平方项符号的一致性，如：
特别注意：当完全平方公式未知项为“中间项”时，答案一般会有两种情况，即正负皆可。
平方差公式：
平方差公式从左往右应用，只要一项系数相同，一项系数互为相反数即可，不需要都和公式长的一模一样，而结果特征为符号相同项的平方-符号相反项的平方；如：
易错点01：分式的判断只需要确定分母中含有未知数即可，不需要看化简后的结果；
易错点02：分式的值为0时，必须同步保证分母是有意义的，也就是分母不等于0，否则分式无意义；
解题大招01：若，则A、B同号；若 ，则A、B异号；
解题大招02：分式的化简求值问题中，加减通分，乘除约分，结果最简，喜欢的数既要方便计算，又尽可能大点；
接力游戏
老师：化简：
甲同学：原式＝
乙同学：＝
丙同学：＝
丁同学：＝．
代数式求值问题常用处理办法：
①变形已知条件，使其符合待求式中含字母部分的最简组合形式
②将待求式变形，使其成为含有上面最简组合式的表达式，
③代入未知最简组合形式部分的值，求出最后结果；
x/克
0
2
4
6
10
y/毫米
10
14
18
22
30
解题大招01：周期型规律题常见处理办法：
①.找出第一周期的几个数，确定周期数
②.算出题目中的总数和待求数
③.用总数÷周期数=m……n（表示这列数中有m个整周期，最后余n个）
④.最后余几，待求数就和每周期的第几个一样；
解题大招02：推理型规律题常见处理办法：
①依题意推出前3~4项规律的表达式；
②类推第N项表达式
输入
…
1
2
3
4
5
…
输出
…
…
解题大招：多从图形的变化规律上找相同点，再类比数字变化类推论去推导所求目标项的数字或表达式