中考数学二轮提升训练重难点06 开放探究与新定义问题（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学二轮提升训练重难点06 开放探究与新定义问题（2份，原卷版+解析版），共14页。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc164072568" 题型01 新定义问题
\l "_Tc164072569" 类型一 新定义问题-数、式、方程
\l "_Tc164072570" 类型二 新定义问题-函数
\l "_Tc164072571" 类型三 新定义问题-图形的性质与变化
\l "_Tc164072572" 题型02 方法迁移题型
\l "_Tc164072573" 题型03 归纳概括问题
\l "_Tc164072574" 题型04 探究实践类问题
【命题趋势】开放探究与新定义问题是近年中考数学的热点问题．开放探究（阅读理解）问题通常不会单独考查，往往会结合初中数学中某个知识点进行命题，进而既能考查初中数学中某个知识点的掌握情况，又能考查学生的自学能力和分析问题、解决问题的能力． 新定义问题是在问题中定义了初中数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．一般有三种类型问题：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接新知识；（3）定义新概念．这类试题考查考生对新定义的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将新定义的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题．
题型01 新定义问题
类型一 新定义问题-数、式、方程
1．（2022·四川巴中·中考真题）对于实数a，b定义新运算：a※b=ab2−b，若关于x的方程1※x=k有两个不相等的实数根，则k的取值范围（ ）
A．k>−14B．k−14且k≠0D．k≥−14且k≠0
2．（2022·内蒙古·中考真题）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2−ab，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3) ⊗x=k−1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
3．（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b=1a+1b．若(x+1)⊗x=2x+1x，则x的值为 ．
4．（2023·山东枣庄·中考真题）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b=a−ba≥2ba+b−6(a0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B.若OB=14OA，求b的值．
【拓展延伸】
（3）如图，函数y=12x+t（t为常数，t>0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON=OC.以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE.若函数y=12x+t（t为常数，t>0）的轴点函数y=mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．

7．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：
若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．

(1)如图，点A−1,0，B1−22,22，B222,−22
①在点C1−1,1，C2(−2,0)，C30,2中，弦AB1的“关联点”是______．
②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；
(2)已知点M0,3，N655,0．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
8．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）定义：在平面直角坐标系xOy中，当点N在图形M的内部，或在图形M上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”．

(1)如图①，矩形ABCD的顶点坐标分别是A−1,2，B−1,−1，C3,−1，D3,2，在点M11,1，M22,2，M33,3中，是矩形ABCD“梦之点”的是___________；
(2)点G2,2是反比例函数y1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H的坐标是___________，直线GH的解析式是y2=___________．当y1>y2时，x的取值范围是___________．
(3)如图②，已知点A，B是抛物线y=−12x2+x+92上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点，连接AC，AB，BC，判断△ABC的形状，并说明理由．
类型三 新定义问题-图形的性质与变化
9．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ，sin(α−β)=sinαcsβ−csαsinβ．例如：当α=45°，β=30°时，sin45°+30°= 22×32+22×12=6+24，则sin15°的值为 ．
10．（2023·江苏·中考真题）综合与实践
定义：将宽与长的比值为22n+1−12n（n为正整数）的矩形称为n阶奇妙矩形．
（1）概念理解：
当n=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，如图（1），这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽（AD）与长CD的比值是_________．
（2）操作验证：
用正方形纸片ABCD进行如下操作（如图（2））：
第一步：对折正方形纸片，展开，折痕为EF，连接CE；
第二步：折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H，展开，折痕为CG；
第三步：过点G折叠纸片，使得点A、B分别落在边AD、BC上，展开，折痕为GK．
试说明：矩形GDCK是1阶奇妙矩形．

（3）方法迁移：
用正方形纸片ABCD折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．
（4）探究发现：
小明操作发现任一个n阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点E为正方形ABCD边AB上（不与端点重合）任意一点，连接CE，继续（2）中操作的第二步、第三步，四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由．
11．（2023·浙江宁波·中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．

(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．
(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．
12．（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a