2026年上海市高考数学试卷（回忆版）（原卷版＋解析版）

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1．（4分）已知集合A＝{2，1+a}，且﹣1∈A，则a＝ ．
2．（4分）已知数列{an}是等比数列，且a1＝2，a2＝6，则a4＝ ．
3．（4分）已知sinα=15，则cs2α＝ ．
4．（4分）已知事件A与事件B互斥，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.5，则P（A∪B）＝ ．
5．（4分）已知函数f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x−a，若f（﹣4）＝3，则a＝ ．
6．（4分）在（x2+x）5的二项展开式中，x7项的系数为 ．
7．（5分）已知a2+4b2＝1，则ab的最大值为 ．
8．（5分）已知随机变量X的分布为−101a0.3b，且E（X）＝0.5，则b＝ ．
9．（5分）已知{an}为等差数列，a1＝0，d为公差，Sn为{an}的前n项和，若Sn中至少有两项位于（0，1）之间，则公差d的取值范围为 ．
10．（5分）已知k∈R，向量a→，b→，c→两两不平行，且a→+3b→∥b→+c→，2a→+kc→∥b→+c→，则k＝ ．
11．（5分）已知速度v与时间t满足v（t）＝Asin（ωt+φ）+B（A＞0，B∈R，ω＞0，0≤φ＜2π），若初始速度为0，v（t）＝0及v（t）＝4时导数皆为0，且速度第一次达到4时，用时为0.1秒，则v（t）＝ ．
12．（5分）已知A，B，C为某椭圆的4个顶点和2个焦点中任意三个，且满足|AB|＝3，|BC|=14，|AC|＝5，则椭圆的离心率为 ．
二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分。每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。）
13．（4分）已知a为不为1的任意实数，则a•3a=（ ）
A．a32B．a43C．a52D．a53
14．（4分）已知事件A、B为独立随机事件，事件C表示“事件A、B至少有一件发生”，则C=（ ）
A．A∩BB．A∪BC．A∩BD．A∪B
15．（5分）对于任意两个复数z，w，如果满足“z﹣w∈R”或“z−w∈R”，那么就称z与w伴随．若z与w伴随，则w﹣i与z+i伴随的充要条件是（ ）
A．Rez+Rew＝0B．Rez﹣Rew＝0C．Imz+Imw＝0D．Imz﹣Imw＝0
16．（5分）如图，空间直角坐标系中，存在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，A为坐标原点，将该正方体绕体对角线AC1为旋转轴旋转一周，点C将经过（ ）个卦限．
A．1B．3C．4D．7
三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分。解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。）
17．（14分）某工厂为进行环境保护与改善，对九年间空气中某颗粒物密度与二氧化硫密度进行了监测与记录，数据如下：
（1）为进一步研究，从这9年间随机抽取一年，该年份颗粒物的密度大于二氧化硫密度的概率是多少？
（2）为研究颗粒物密度与二氧化硫密度的相关性，该工厂应选取茎叶图、扇形图、散点图中的哪一种进行分析，并请你判断相关系数在（﹣1，0），（0，1），（1，2）哪个区间内（直接写结论）．
（3）2023年前9年的年份x的平均数为2018，y（颗粒物密度）关于x的回归方程拟合采用y＝106.544e﹣0.461（x﹣2014）或y＝a（x﹣2014）+83.743，若2023年实际颗粒物浓度为3.88，则哪个回归方程对于2023年的预测值与实际值的差值绝对值更小，说明理由．
18．（14分）已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PH⊥底面ABCD，AH＝1，HD＝4，AB＝2．
（1）证明：HC⊥PB；
（2）若四棱锥体积VP﹣ABCD=1053，求二面角C﹣PB﹣H的大小．
19．（14分）已知a∈R，函数f（x）＝x2+ax+3，g（x）＝4x+1x2．
（1）若f（1）＝4，求f（x）+1x2＞g（x）的解集；
（2）若a≠0，l1是f（x）在点（0，3）处的切线，l2是过点（0，3）且垂直于l1的直线，g（x）与l1、l2在第一象限内均无公共点，求a的取值范围．
20．（18分）已知双曲线Γ：x2﹣y2＝1，P为Γ上一点，F1，F2为别为左、右焦点．
（1）求点（2，0）到Γ渐近线的距离；
（2）若PF1→•PF2→=1，求△PF1F2的面积；
（3）已知Ω为双曲线Γ满足x＞0y≥−1和x＜0y≤−1的部分，过F2的直线l与Ω相交于P，Q两点，且分别位于第一、四象限，过F2的直线m与Ω相交于M，N两点，且分别位于第三、四象限，是否存在实数λ，对任意的直线l，都存在唯一的直线m，使得λ|PQ|＝|MN|？若存在，请求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
21．（18分）已知（i，j，k）是1，2，3的一个排列，对函数f1（x），f2（x），f3（x），对于任意x∈I，都有f1（x）≤fi（x）且f1（x）+f2（x）≤fi（x）+fj（x），则称（i，j，k）是关于f1（x），f2（x），f3（x）的一个I排列，关于f1（x），f2（x），f3（x）的I排列总数记为nI．
（1）若I＝[3，+∞），f1（x）＝x，f2（x）＝0，f3（x）＝x2+1，判断（3，1，2）是否为Ⅰ排列？
（2）若I＝（0，+∞），f1（x）＝x﹣1，f2（x）＝x+m，f3（x）＝x2，满足条件的nI＝6，求m的取值范围？
（3）对x∈[0，+∞），且对任意x∈[0，+∞），0＜F（x）＜1，令I＝[a，+∞），fI（x）＝F（x），f2（x）=12[F（x+a）+F（x﹣a）]，f3（x）＝1﹣e﹣x，证明：若F（x）严格减，则存在a＞0，使nI≥4，若F（x）严格增，则存在a∈（0，1），nI≠2．
某颗粒物密度
101.02
87.02
57.46
21.85
11.76
8.86
5.03
4.63
3.86
二氧化硫密度
119.47
51.84
53.2
9.16
6.6
4.4
3.31
3.35
3.86