中考数学一轮复习第六章第一讲 圆的基本性质（考点精析+真题精讲）（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习第六章第一讲 圆的基本性质（考点精析+真题精讲）（2份，原卷版+解析版），共7页。试卷主要包含了圆的有关概念，垂径定理及其推论，圆心角，圆周角定理及其推论，与圆有关的位置关系，切线的性质与判定，与圆有关的计算公式等内容，欢迎下载使用。
第1讲圆的基本性质
→➊考点精析←
→➋真题精讲←
考向一圆周角圆心角
考向二扇形弧长及面积
考向二切线定理
第1讲圆的基本性质
→➊考点精析←
一、圆的有关概念
1．与圆有关的概念和性质
1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．
2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦．
3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧．
4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角．
6）弦心距：圆心到弦的距离．
2．注意
1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；
2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个．
3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆．
二、垂径定理及其推论
1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形．
2．推论
1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
三、圆心角、弧、弦的关系
1．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立．
2．推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
四、圆周角定理及其推论
1．定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．推论：1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等． 2）直径所对的圆周角是直角．
圆内接四边形的对角互补．在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化．比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等．
五、与圆有关的位置关系
1．点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d．(1)dr⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．
2．直线和圆的位置关系
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况．
六、切线的性质与判定
1．切线的性质
1）切线与圆只有一个公共点．2）切线到圆心的距离等于圆的半径．3）切线垂直于经过切点的半径．
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题．
2．切线的判定
1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）．
2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线．
3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
七、与圆有关的计算公式
1．弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l=；扇形的面积S==．
2．圆锥与侧面展开图
1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长．
2）若圆锥的底面半径为r，母线长为l，则这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr，
圆锥的侧面积为S圆锥侧=．圆锥的表面积：S圆锥表=S圆锥侧+S圆锥底=πrl+πr2=πr·（l+r）．
在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解．
→➋真题精讲←
题型一圆周角和圆心角
1．（2023·云南·统考中考真题）如图，是的直径，是上一点．若，则（ ）

A．B．C．D．
2．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，则扇形(阴影部分)的面积是( )

A．B．C．D．
3．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，内接于，是的直径，连接，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，已知点在上，为的中点．若，则等于（ ）

A．B．C．D．
5．（2023·浙江温州·统考中考真题）如图，四边形内接于，，．若，，则的度数与的长分别为（ ）

A．10°，1B．10°，C．15°，1D．15°，
6．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）如图，在中，半径互相垂直，点在劣弧上．若，则（ ）

A．B．C．D．
8．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为___________．

9．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，内接于，是的直径，点是上一点，，则________．

10．（2023·上海·统考中考真题）如图，在中，弦的长为8，点C在延长线上，且．

(1)求的半径；
(2)求的正切值．
题型二切线定理
11．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，切于点B，连接交于点C，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
12．（2023·重庆·统考中考真题）如图，为的直径，直线与相切于点C，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
13．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，点是外一点，，分别与相切于点，，点在上，已知，则的度数是___________．

14．（2023·湖南·统考中考真题）如图，是的直径，是的弦，与相切于点，连接，若，则的大小为__________．

15．（2023·山东滨州·统考中考真题）如图，分别与相切于两点，且．若点是上异于点的一点，则的大小为___________．

16．（2023·四川·统考中考真题）如图，，半径为2的与角的两边相切，点P是⊙O上任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分别为E，F，设，则t的取值范围是 _____．

17．（2023·浙江绍兴·统考中考真题）如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．

(1)若，求的度数．
(2)若，求的长．
18．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若直径，求的长．
19．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且．

(1)求证：EF与相切；
(2)若，求的长．
题型三垂径定理
20．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在中，，则（ ）

A．1B．2C．D．4
21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点，．“会圆术”给出的弧长的近似值计算公式：．当，时，则的值为（ ）

A．B．C．D．
22．（2023·广西·统考中考真题）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥.如图，主桥拱呈圆弧形，跨度约为，拱高约为，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）

A．B．C．D．
23．（2023·四川南充·统考中考真题）如图，是的直径，点D，M分别是弦，弧的中点，，则的长是________．

24．（2023·湖南永州·统考中考真题）如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．

25．（2023·山东东营·统考中考真题）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”．用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是________寸．
26．（2023·浙江金华·统考中考真题）如图，点在第一象限内，与轴相切于点，与轴相交于点．连接，过点作于点．

(1)求证：四边形为矩形．
(2)已知的半径为4，，求弦的长．
位置关系
相离
相切
相交
图形
公共点个数
0个
1个
2个
数量关系
d>r
d=r
d