中考数学一轮复习考点精练第19讲 直角三角形（2份，原卷版+解析版）

这是一份中考数学一轮复习考点精练第19讲 直角三角形（2份，原卷版+解析版），共15页。
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc156315724" 题型01 利用直角三角形的性质求解
\l "_Tc156315725" 题型02 根据已知条件判定直角三角形
\l "_Tc156315726" 题型03 与直角三角形有关的面积计算
\l "_Tc156315727" 题型04 利用勾股定理求线段长
\l "_Tc156315728" 题型05 利用勾股定理求面积
\l "_Tc156315729" 题型06 已知两点坐标求两点距离
\l "_Tc156315730" 题型07 判断勾股数问题
\l "_Tc156315731" 题型08 勾股定理与网格问题
\l "_Tc156315732" 题型09 勾股定理与无理数
\l "_Tc156315733" 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积
\l "_Tc156315734" 题型11 利用勾股定理证明线段的平方关系
\l "_Tc156315735" 题型12 勾股定理的证明方法
\l "_Tc156315736" 题型13 以弦图为背景的计算题
\l "_Tc156315737" 题型14 利用勾股定理构造图形解决问题
\l "_Tc156315738" 题型15 利用勾股定理解决实际问题
\l "_Tc156315739" 题型16 勾股定理与规律探究问题
\l "_Tc156315740" 题型17 在网格中判定直角三角形
\l "_Tc156315741" 题型18 利用勾股定理逆定理求解
\l "_Tc156315742" 题型19 利用勾股定理解决实际生活问题
题型01 利用直角三角形的性质求解
1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是（ ）

A．30°B．40°C．50°D．60°
2．（2023·广东中山·校考一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2，则BC的长为（ ）
A．3B．23C．2D．4
3．（2021·河南信阳·统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,H为BC中点，AC=6,BD=8．则线段OH的长为：（ ）
A．125B．52C．3D．5
4．（2022·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴的正半轴和x轴的正半轴上，当B在x轴的正半轴上运动时，A随之在y轴的正半轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变．若∠OAB＝30°时，点A的纵坐标为23，点C的纵坐标为1，则点D到点O的最大距离是（ ）
A．25B．22+2C．22+4D．23+4
题型02 根据已知条件判定直角三角形
5．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）已知△ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a:b:c=3:4:5B．∠C=∠A+∠B
C．∠A:∠B:∠C=1:5:6D．∠A:∠B:∠C=3:4:5
6．（2022·云南昆明·统考二模）已知实数x，y，z满足(x−5)2+y−12+|z−13|=0，则以x，y，z的值为边长的三角形是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
7．（2022·安徽合肥·合肥38中校考一模）已知△ABC的三边长分别为a，b，c，选择下列条件中的一个，能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝3：4：5
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型03 与直角三角形有关的面积计算
8．（2023·广东佛山·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．83−4πB．83−2πC．163−8πD．163−4π
9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠A=30°,∠ABC=90°，将Rt△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△A'BC'．此时恰好点C在A'C'上，A'B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之比为（ ）
A．13B．916C．23D．34
10．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在 Rt△ABC 中， ∠B=90∘ ， ∠C=30∘ ，以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边 AB ， AC 于点 P ， Q ；再分别以点 P ， Q 为圆心，以大于 12PQ 的长为半径作弧，两弧交于点 E ，作射线 AE 交 BC 于点 F .设 △ABF ， △ABC 的面积分别为 S1 ， S2 ，则 S1S2 的值为（ ）
A．12B．13C．13D．14
11．（2022·浙江金华·统考一模）把一副三角尺如图所示拼在一起，其中AC边长是26，则△ACD的面积是（ ）
A．42B．6C．43D．62
题型04 利用勾股定理求线段长
12．（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cmB．10cmC．16cmD．20cm
13．（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sinA=35，则AB的长是（ ）
A．5003B．5035C．60D．80
14．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形OABC．若OC=5，BC=1，∠AOB=30°，则OA的值为（ ）
A．3B．32C．2D．1
题型05 利用勾股定理求面积
15．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）若直角三角形的两边长分别是方程x2−7x+12=0的两根，则该直角三角形的面积是（ ）
A．6B．12C．12或372D．6或372
16．（2023·河南南阳·统考三模）如图，在正方形ABCD中，AB=4cm，在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm．边BC与FG在同一直线上．CF=8cm．若正方形ABCD以2cm/s的速度沿直线向右运动，经过 s，此三角形和正方形重叠部分的面积是4cm2．

17．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E，过点B作BA⊥AC，过点D作DC∥BA，若AC=10，CD=8，求△BDE的面积．

题型06 已知两点坐标求两点距离
18．（2022·广东中山·校联考一模）在平面直角坐标系中，点（3，﹣2）到原点的距离是 ．
19．（2022·宁夏银川·银川市第三中学校考模拟预测）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），其两点间的距离P1P2=(x1−x2)2+(y1−y2)2，同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
(1)已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
(2)已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
(3)已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由．
题型07 判断勾股数问题
20．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考三模）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25 ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17； …，若此类勾股数的勾为10 ，则其弦是 ．
21．（2022·河北石家庄·校联考三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=n2−1，整式C>0．
(1)当n=1999时，写出整式A+B的值______（用科学记数法表示结果）；
(2)求整式A2−B2；
(3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．
22．（2019·安徽马鞍山·校联考二模）若正整数a，b，c（a＜b＜c）满足a2+b2＝c2，则称（a，b，c）为一组“勾股数”．
观察下列两类“勾股数”：
第一类（a是奇数）：（3，4，5）；（5，12，13）；（7，24，25）；…
第二类（a是偶数）：（6，8，10）；（8，15，17）；（10，24，26）；…
（1）请再写出两组勾股数，每类各写一组；
（2）分别就a为奇数、偶数两种情形，用a表示b和c，并选择其中一种情形证明（a，b，c）是“勾股数”．
题型08 勾股定理与网格问题
23．（2020·山东聊城·统考模拟预测）如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠ACB的值为（ ）．
A．355B．175C．35D．45
24．（2022·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在9×5的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是∠ABC的平分线，则BD的长为（ ）
A．102B．10C．3102D．310
题型09 勾股定理与无理数
25．（2020·河南·模拟预测）小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于( )
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
26．（2022·广东佛山·西南中学校考三模）勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦”．即c=a2+b2 （a为勾，b为股，c为弦），若“勾”为2，“股”为3，则“弦”最接近的整数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
27．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图所示，数轴上点A表示的数是−1，O是原点，以AO为边作正方形AOBC，以A为圆心、AB长为画弧交数轴于P1、P2两点，则点P1表示的数是 ，点P2表示的数是 （结果精确到0.1，参考数据：2≈1.41,3≈1.73）．
题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积
28．（2020·浙江·一模）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB,AC，灰色部分面积记为S1，黑色部分面积记为S2，白色部分面积记为S3，则（ ）
A．S1=S2B．S2=S3C．S1=S3D．S1=S2−S3
29．（2019·内蒙古鄂尔多斯·校联考一模）如图，以直角三角形的三边为边，分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形，上述四种情况的面积关系满足S1＋S2＝S3的图形有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
30．（2021·江苏无锡·校考二模）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于 ．
31．（2020·新疆·统考二模）图中是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若最大的正方形E的边长为3,则正方形A、B、C、D的面积之和为 ．

题型11 利用勾股定理证明线段的平方关系
32．（2021·广东深圳·明德学校校考一模）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=2，BC=4，则AB2+CD2= ．
33．（2022·山东济南·统考二模）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；
（2）性质探究：如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O．猜想：AB2+CD2与AD2+BC2有什么关系？并证明你的猜想．
（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE，BG，GE．已知AC=4，AB=5，求GE的长．
34．（2022·河北廊坊·统考模拟预测）已知△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∠AOB=∠MON=90°．
(1)如图1，连接AM，BN，求证：△AOM≌△BON：
(2)如图2，将△MON绕点O顺时针旋转，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2=MN2．
35．（2022·北京石景山·统考二模）在△ABC中，∠ACB=90°,CA=CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．
(1)如图1，当AEEC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE,CG,AC之间的数量关系．
题型12 勾股定理的证明方法
36．（2023·北京大兴·统考一模）下面是用面积关系证明勾股定理的两种拼接图形的方法，选择其中一种，完成证明．
37．（2022·四川攀枝花·统考模拟预测）如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x
（1）小明发明了求正方形边长的方法：
由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x
因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝a+b−c2
（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：
利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：
（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．
38．（2019·安徽滁州·校考二模）【思考题】
阅读下面的情景对话，然后解答问题：
老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．
小华：等边三角形一定是奇异三角形；
小明：那直角三角形是否存在奇异三角形呢？
（1）①根据“奇异三角形”的定义，小红得出命题：“等边三角形一定是奇异三角形”，请判断小红提出的命题是否正确，并填空：命题 （填“正确”或“不正确”），不要说嘛理由．
②若某三角形的三边长分别是2、4、10，则△ABC是奇异三角形吗？ （填“是”或“不是”），不要说嘛理由．
（2）在Rt△ABC中，两边长分别是a=52、c=10，这个三角形是否是奇异三角形？请说明理由．
（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a：b：c的值．
题型13 以弦图为背景的计算题
39．（2020·浙江杭州·模拟预测）勾股定理相传在商代由商高发现，故又称“商高定理”．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三块阴影区域面积分别记为S1,S2,S3，两个较小正方形纸片的重叠部分（六边形PQMNHG）的面积记为S4，则S1,S2,S3,S4的关系为（ ）
A．S1+S2=S3+S4B．S1+S3=S2+S4C．S1+S2+S3=S4D．S1+S2+S3∠DACB．∠BAC∠BAF，连接BE．设∠BAF=α,∠BEF=β，若正方形EFGH与正方形ABCD的面积之比为1:n,tanα=tan2β，则n=（ ）

A．5B．4C．3D．2
8．（2023·山东·统考中考真题）在△ABC中，BC=3,AC=4，下列说法错误的是（ ）
A．1