凉山彝族自治州越西县2025届高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份凉山彝族自治州越西县2025届高三最后一卷数学试卷含解析，共21页。试卷主要包含了设为非零实数，且，则，函数，复数，已知复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．已知平面和直线a，b，则下列命题正确的是（ ）
A．若∥，b∥，则∥B．若，，则∥
C．若∥，，则D．若，b∥，则
3．已知为虚数单位，实数满足，则 ( )
A．1B．C．D．
4． 若x,y满足约束条件的取值范围是
A．[0,6]B．[0,4]C．[6, D．[4,
5．设为非零实数，且，则（ ）
A．B．C．D．
6．函数（且）的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
7．已知等差数列的公差不为零，且，，构成新的等差数列，为的前项和，若存在使得，则（ ）
A．10B．11C．12D．13
8．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ）
A．2阶区间B．3阶区间C．4阶区间D．5阶区间
9．复数（ ）．
A．B．C．D．
10．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
11．把满足条件（1），，（2），，使得的函数称为“D函数”，下列函数是“D函数”的个数为（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
12．若为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点表示复数，则表示复数的点是（ ）
A．EB．FC．GD．H
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若,则=______,=______.
14．函数在的零点个数为________．
15．已知，则__________.
16．在平行四边形中，已知，，，若，，则____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）判断函数的零点个数.
18．（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
19．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面ABCD，M，N分别是线段PD和BC的中点.
（1）求直线CM与平面PAB所成角的正弦值；
（2）求二面角D-AP-B的余弦值；
（3）试判断直线MN与平面PAB的位置关系，并给出证明.
20．（12分）在平面四边形中，已知，.
（1）若，求的面积；
（2）若求的长.
21．（12分）如图，点是以为直径的圆上异于、的一点，直角梯形所在平面与圆所在平面垂直，且，.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
22．（10分）已知函数
（1）求f(x)的单调递增区间；
（2）△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若且A为锐角，a=3，sinC=2sinB，求△ABC的面积.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.
【详解】
当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，
若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，
则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，
故选：A.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题
2．C
【解析】
根据线面的位置关系，结合线面平行的判定定理、平行线的性质进行判断即可.
【详解】
A：当时，也可以满足∥，b∥，故本命题不正确；
B：当时，也可以满足，，故本命题不正确；
C：根据平行线的性质可知：当∥，，时，能得到，故本命题是正确的；
D：当时，也可以满足，b∥，故本命题不正确.
故选：C
本题考查了线面的位置关系，考查了平行线的性质，考查了推理论证能力.
3．D
【解析】
，
则
故选D.
4．D
【解析】
解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：
目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，
由解得C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选D．
5．C
【解析】
取，计算知错误，根据不等式性质知正确，得到答案.
【详解】
，故，，故正确；
取，计算知错误；
故选：.
本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用.
6．D
【解析】
因为，故函数是奇函数，所以排除A，B；取，则，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
7．D
【解析】
利用等差数列的通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】
由，，构成等差数列可得
即
又
解得：
又
所以时，.
故选：D
本题考查了等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
8．D
【解析】
可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解
【详解】
当且时，.令得.可得和的变化情况如下表：
令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间.

故选：D
本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题
9．A
【解析】
试题分析：，故选A.
【考点】复数运算
【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.
10．A
【解析】
根据复数的运算法则，可得，然后利用复数模的概念，可得结果.
【详解】
由题可知：
由，所以
所以
故选：A
本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.
11．B
【解析】
满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，分别对所给函数进行验证.
【详解】
满足（1）（2）的函数是偶函数且值域关于原点对称，①不满足（2）；②不满足（1）；
③不满足（2）；④⑤均满足（1）（2）.
故选：B.
本题考查新定义函数的问题，涉及到函数的性质，考查学生逻辑推理与分析能力，是一道容易题.
12．C
【解析】
由于在复平面内点的坐标为，所以，然后将代入化简后可找到其对应的点.
【详解】
由，所以，对应点.
故选：C
此题考查的是复数与复平面内点的对就关系，复数的运算，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1 0
【解析】
①根据换底公式计算即可得解；
②根据同底对数加法法则，结合①的结果即可求解.
【详解】
①由题：,
则；
②由①可得：.
故答案为：①1，②0
此题考查对数的基本运算，涉及换底公式和同底对数加法运算，属于基础题目.
14．
【解析】
求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数．
【详解】
详解：
由题可知，或
解得,或
故有3个零点．
本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．
15．
【解析】
首先利用，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到，从而求得，利用诱导公式求得，得到结果.
【详解】
因为，所以，即，
所以，
故答案是.
该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.
16．
【解析】
设，则，得到，，利用向量的数量积的运算，即可求解．
【详解】
由题意，如图所示，设，则，
又由，，所以为的中点，为的三等分点，
则，，
所以
．
本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）答案见解析（3）答案见解析
【解析】
（1）设曲线在点，处的切线的斜率为，可求得，，利用直线的点斜式方程即可求得答案；
（2）由（Ⅰ）知，，分时，，三类讨论，即可求得各种情况下的的单调区间为；
（3）分与两类讨论，即可判断函数的零点个数．
【详解】
（1），
，
设曲线在点，处的切线的斜率为，
则，
又，
曲线在点，处的切线方程为：，即；
（2）由（1）知，，
故当时，，所以在上单调递增；
当时，，；，，；
的递减区间为，递增区间为，；
当时，同理可得的递增区间为，递减区间为，；
综上所述，时，单调递增为，无递减区间；
当时，的递减区间为，递增区间为，；
当时，的递增区间为，递减区间为，；
（3）当时，恒成立，所以无零点；
当时，由，得：，只有一个零点．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与推理、运算能力，属于中档题．
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）取中点，连，，由等边三角形三边合一可知，，即证．（2）以，，为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：连，，则和皆为正三角形．
取中点，连，，则，，
则平面，则
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．
如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以
取
面的法向量取，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
19．（1）（2）（3）直线平面，证明见解析
【解析】
取中点，连接，则，再由已知证明平面，以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量．
（1）求出的坐标，由与所成角的余弦值可得直线与平面所成角的正弦值；
（2）求出平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；
（3）求出的坐标，由，结合平面，可得直线平面．
【详解】
底面是边长为2的菱形，，
为等边三角形．
取中点，连接，则，
为等边三角形，
，
又平面平面，且平面平面，
平面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．
则，，，，1，，，0，，，，，，0，，
，，，，，．
，，设平面的一个法向量为．
由，取，得．
（1）证明：设直线与平面所成角为，
，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为；
（2）设平面的一个法向量为，
由，
得二面角的余弦值为；
（3），
，
又平面，
直线平面．
本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的长，进而由三角形的面积公式求得三角形的面积.
（2）利用诱导公式求得，进而求得，利用两角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的长.
【详解】
（1）在中，
，
解得，
.
（2）
在中，，
.
.
本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.
21．（1）见解析；（2）
【解析】
（1）取的中点，证明,则平面平面，则可证平面.
（2）利用，是平面的高，容易求.，再求，则点到平面的距离可求.
【详解】
解：（1）如图：
取的中点，连接、.
在中，是的中点，是的中点，
平面平面,故平面
在直角梯形中， ，且，
∴四边形是平行四边形，，同理平面
又,故平面平面，
又平面平面.
（2）是圆的直径，点是圆上异于、的一点，
又∵平面平面，平面平面
平面，
可得是三棱锥的高线.
在直角梯形中，.
设到平面的距离为，则，即
由已知得，
由余弦定理易知：，则
解得，即点到平面的距离为
故答案为：.
考查线面平行的判定和利用等体积法求距离的方法，是中档题.
22．（1）（2）
【解析】
（1）利用降次公式、辅助角公式化简解析式，根据三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.
（2）先由求得，利用正弦定理得到，结合余弦定理列方程，求得，由此求得三角形的面积.
【详解】
（1）函数，
，
由，
得.
所以的单调递增区间为 .
（2）因为且为锐角，所以.
由及正弦定理可得，又，
由余弦定理可得，
解得， .
本小题主要考查三角恒等变换，考查三角函数单调区间的求法，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.