2024-2025学年安徽省阜阳市颍东区高三最后一卷数学试卷含解析

这是一份2024-2025学年安徽省阜阳市颍东区高三最后一卷数学试卷含解析，共11页。试卷主要包含了下列命题中，真命题的个数为，偶函数关于点对称，当时，，求，在中，为边上的中点，且，则等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列的前项和为，且，，则( )
A．B．C．D．
2．在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ）
A．B．C．D．
3．直三棱柱中，，，则直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知数列对任意的有成立，若，则等于（ ）
A．B．C．D．
5．复数，是虚数单位，则下列结论正确的是
A．B．的共轭复数为
C．的实部与虚部之和为1D．在复平面内的对应点位于第一象限
6．下列命题中，真命题的个数为（ ）
①命题“若，则”的否命题；
②命题“若，则或”；
③命题“若，则直线与直线平行”的逆命题.
A．0B．1C．2D．3
7．偶函数关于点对称，当时，，求（ ）
A．B．C．D．
8．已知某口袋中有3个白球和个黑球（），现从中随机取出一球，再换回一个不同颜色的球（即若取出的是白球，则放回一个黑球；若取出的是黑球，则放回一个白球），记换好球后袋中白球的个数是．若，则= ( )
A．B．1C．D．2
9．在中，为边上的中点，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．高三珠海一模中，经抽样分析，全市理科数学成绩X近似服从正态分布，且．从中随机抽取参加此次考试的学生500名，估计理科数学成绩不低于110分的学生人数约为（ ）
A．40B．60C．80D．100
11．从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则在方程表示双曲线的条件下，方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为（ ）
A．B．C．D．
12．已知直线过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为45°的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于，两点若，则的离心率为________．
14．如图，从一个边长为的正三角形纸片的三个角上，沿图中虚线剪出三个全等的四边形，余下部分再以虚线为折痕折起，恰好围成一个缺少上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底，则所得正三棱柱的体积为______.
15．甲，乙两队参加关于“一带一路”知识竞赛，甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，若两队各出一名队员进行比赛，则出场的两名运动员编号相同的概率为______.
16．如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知数列的前项和和通项满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列中，，，求数列的前项和.
18．（12分）在直角坐标系中，已知点，若以线段为直径的圆与轴相切.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若上存在两动点（A，B在轴异侧）满足，且的周长为，求的值.
19．（12分）如图，在正四棱锥中，底面正方形的对角线交于点且
（1）求直线与平面所成角的正弦值；
（2）求锐二面角的大小．
20．（12分）如图，在三棱柱中， 平面ABC.
（1）证明：平面平面
（2）求二面角的余弦值.
21．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点．
（1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值；
（2）求的取值范围．
22．（10分）已知函数．
（1）求函数的零点；
（2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：；
（3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据已知条件判断出数列是等比数列，求得其通项公式，由此求得.
【详解】
由于，所以数列是等比数列，其首项为，第二项为，所以公比为.所以，所以.
故选：C
本小题主要考查等比数列的证明，考查等比数列通项公式，属于基础题.
2．D
【解析】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,易知成等比数列,,结合等比数列的性质可求出答案.
【详解】
设羊户赔粮升,马户赔粮升,牛户赔粮升,则成等比数列,且公比,则,故,,.
故选:D.
本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.
3．A
【解析】
设，延长至，使得，连，可证，得到（或补角）为所求的角，分别求出，解即可.
【详解】
设，延长至，使得，
连，在直三棱柱中，，
，四边形为平行四边形，
，（或补角）为直线与所成的角，
在中，，
在中，，
在中，
，
在中，，
在中，.
故选：A.
本题考查异面直线所成的角，要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可，属于中档题.
4．B
【解析】
观察已知条件，对进行化简，运用累加法和裂项法求出结果.
【详解】
已知，则，所以有，
，
，

，两边同时相加得，又因为，所以.
故选：
本题考查了求数列某一项的值，运用了累加法和裂项法，遇到形如时就可以采用裂项法进行求和，需要掌握数列中的方法，并能熟练运用对应方法求解.
5．D
【解析】
利用复数的四则运算，求得，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论．
【详解】
由题意，
则，的共轭复数为，
复数的实部与虚部之和为，在复平面内对应点位于第一象限，故选D．
复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为．
6．C
【解析】
否命题与逆命题是等价命题，写出①的逆命题，举反例排除；原命题与逆否命题是等价命题，写出②的逆否命题后，利用指数函数单调性验证正确；写出③的逆命题判，利用两直线平行的条件容易判断③正确.
【详解】
①的逆命题为“若，则”，
令，可知该命题为假命题，故否命题也为假命题；
②的逆否命题为“若且，则”，该命题为真命题，故②为真命题；
③的逆命题为“若直线与直线平行，则”，该命题为真命题.
故选：C.
本题考查判断命题真假. 判断命题真假的思路：
(1)判断一个命题的真假时，首先要弄清命题的结构，即它的条件和结论分别是什么，然后联系其他相关的知识进行判断．
(2)当一个命题改写成“若，则”的形式之后，判断这个命题真假的方法：
①若由“”经过逻辑推理，得出“”，则可判定“若，则”是真命题；②判定“若，则”是假命题，只需举一反例即可．
7．D
【解析】
推导出函数是以为周期的周期函数，由此可得出，代值计算即可.
【详解】
由于偶函数的图象关于点对称，则，，
，则，
所以，函数是以为周期的周期函数，
由于当时，，则.
故选：D.
本题考查利用函数的对称性和奇偶性求函数值，推导出函数的周期性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
8．B
【解析】
由题意或4，则，故选B．
9．A
【解析】
由为边上的中点，表示出，然后用向量模的计算公式求模.
【详解】
解：为边上的中点，
，
故选：A
在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题.
10．D
【解析】
由正态分布的性质，根据题意，得到，求出概率，再由题中数据，即可求出结果.
【详解】
由题意，成绩X近似服从正态分布，
则正态分布曲线的对称轴为，
根据正态分布曲线的对称性，求得，
所以该市某校有500人中，估计该校数学成绩不低于110分的人数为人，
故选:.
本题考查正态分布的图象和性质,考查学生分析问题的能力,难度容易.
11．A
【解析】
设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”，分别计算出，再利用公式计算即可.
【详解】
设事件A为“方程表示双曲线”，事件B为“方程表示焦点在轴上
的双曲线”，由题意，，，则所求的概率为
.
故选：A.
本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.
12．D
【解析】
圆心坐标为，代入直线方程，再由乘1法和基本不等式，展开计算即可得到所求最小值．
【详解】
圆的圆心为，
由题意可得，即，，，
则，当且仅当且即时取等号，
故选：．
本题考查最值的求法，注意运用乘1法和基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，同时考查直线与圆的关系，考查运算能力，属于基础题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设直线的方程为，与联立得到A点坐标，由得，，代入可得，即得解.
【详解】
由题意，直线的方程为，与
联立得，，
由得，，
从而，
即，
从而离心率．
故答案为：
本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
14．1
【解析】
由题意得正三棱柱底面边长6，高为，由此能求出所得正三棱柱的体积．
【详解】
如图，作，交于，，
由题意得正三棱柱底面边长，高为，
所得正三棱柱的体积为：
．
故答案为：1．
本题考查立体几何中的翻折问题、正三棱柱体积的求法、三棱柱的结构特征等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意翻折前后的不变量．
15．
【解析】
出场运动员编号相同的事件显然有3种，计算出总的基本事件数，由古典概型概率计算公式求得答案.
【详解】
甲队有编号为1，2，3的三名运动员，乙队有编号为1，2，3，4的四名运动员，
出场的两名运动员编号相同的事件数为3，
出现的基本事件总数，
则出场的两名运动员编号相同的概率为.
故答案为：
本题考查求古典概率的概率问题，属于基础题.
16．
【解析】
取中点，连结，，推导出平面平面，从而点在线段上运动，作于，由，能求出线段长度的取值范围．
【详解】
取中点，连结，，
在棱长为2的正方体中，点、分别是棱、的中点，
，，
，，
平面平面，
是侧面正方形内一点（含边界），平面，
点在线段上运动，
在等腰△中，，，
作于，由等面积法解得：
，
，
线段长度的取值范围是，．
故答案为：，．
本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）
【解析】
（1）当时，利用可得，故可利用等比数列的通项公式求出的通项.
（2）利用分组求和法可求数列的前项和.
【详解】
（1）当时，，所以，
当时，，①
，②
所以，
即，又因为，故，所以，
所以是首项，公比为的等比数列，
故.
（2）由得：数列为等差数列，公差，
，，

.
本题考查数列的通项与求和，注意数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.
18．（1）；（2）
【解析】
（1）设，则由题设条件可得，化简后可得轨迹的方程.
（2）设直线，联立直线方程和抛物线方程后利用韦达定理化简并求得，结合焦半径公式及弦长公式可求的值及的长.
【详解】
（1）设，则圆心的坐标为，
因为以线段为直径的圆与轴相切，
所以，
化简得的方程为.
(2)由题意，设直线，
联立得，
设 （其中）
所以，，且，
因为，所以，
，所以，故或 （舍），
直线，
因为的周长为
所以.
即，
因为.
又，
所以，
解得，
所以.
本题考查曲线方程以及抛物线中的弦长计算，还涉及到向量的数量积.一般地，抛物线中的弦长问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把已知等式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为某一个变量的方程.本题属于中档题.
19．（1）；（2）.
【解析】
(1) 以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系, 设底面正方形边长为再求解与平面的法向量,继而求得直线与平面所成角的正弦值即可.
(2)分别求解平面与平面的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.
【详解】
解：在正四棱锥中,底面正方形的对角线交于点
所以平面取的中点的中点
所以两两垂直,故以点为坐标原点,
以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系．
设底面正方形边长为
因为
所以
所以,
所以,
设平面的法向量是,
因为,,
所以,,
取则,
所以
所以,
所以直线与平面所成角的正弦值为．
设平面的法向量是,
因为,,
所以,
取则
所以,
由知平面的法向量是,
所以
所以,
所以锐二面角的大小为．
本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.
20．（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）证明平面即平面平面得证；（2）分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，再利用向量方法求二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：因为平面ABC，所以
因为.所以.即
又.所以平面
因为平面.所以平面平面
（2）解：由题可得两两垂直，所以分别以所在直线为x轴，y轴.轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则，所以
设平面的一个法向量为，
由.得
令，得
又平面，所以平面的一个法向量为.

所以二面角的余弦值为.
本题主要考查空间几何位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）首先根据题中条件求出椭圆方程，设、、点坐标，根据利用坐标表示出即可得证；
（2）设直线方程，再与椭圆方程联立利用韦达定理表示出，即可求出范围.
【详解】
（1）依题有，所以椭圆方程为．
设，，，
由为的重心，；
又因为，，
，，
（2）当的斜率不存在时：，，，
代入椭圆得，，，
当的斜率存在时：设直线为，这里，
由，，
根据韦达定理有，，，
故，代入椭圆方程有，
又因为，
综上，的范围是.
本题主要考查了椭圆方程的求解，三角形重心的坐标关系，直线与椭圆所交弦长，属于一般题.
22． (1)x=1 (2)证明见解析 (3)
【解析】
（1）令，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；
（2）转化思想，要证 ，即证 ，即证，构造函数进而求证；
（3）不等式 对一切正实数恒成立，，设，分类讨论进而求解．
【详解】
解：（1）令，所以，
当时，，在上单调递增；
当时，，在单调递减；
所以，所以的零点为．
（2）由题意， ，
要证 ，即证，即证，
令，则，由（1）知，当且仅当时等号成立，所以，
即，所以原不等式成立．
（3）不等式 对一切正实数恒成立，
，
设，，
记，△，
①当△时，即时，恒成立，故单调递增．
于是当时，，又，故，
当时，，又，故，
又当时，，
因此，当时，，
②当△，即时，设的两个不等实根分别为，，
又，于是，
故当时，，从而在单调递减；
当时，，此时，于是，
即 舍去，
综上，的取值范围是．
（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题.