2025-2026学年福建省莆田市第二中学高二（下）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年福建省莆田市第二中学高二（下）期中数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f（x）=csx-1，则=（ ）
A. 1B. 0C. -1D. -2
2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设，，若、、组成空间向量的一个基，则可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
3.若平面α的一个法向量为，平面β内的一个向量为，且α∥β，则y-z的值是（ ）
A. -3B. -9C. 3D. 9
4.在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛.比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束.假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3：1获得冠军的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.已知a＞0，函数f（x）=（x-a）lnx在区间（1，e）上不单调，则a的取值范围是（ ）
A. 0＜a＜1B. a＞eC. a＞4D. 1＜a＜2e
6.随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件互斥B.
C. D.
7.已知某圆台的上、下底面的半径分别为4和2，且该圆台有内切球（球与圆台的侧面及两个底面均相切），在圆台上底面圆O1的圆周上取一点A，在圆台下底面圆O2的圆周上取一点B，且O1A⊥O2B，则直线AB与平面O1O2A所成角的正弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.已知函数f（x）=x3+ax2+b（a,b∈R），若f（x）＞1当且仅当x＞1时成立，则b的取值范围是（ ）
A. [-3，2]B. [-6，2]C. [-3，1]D. [-6，1]
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知随机变量的分布列如下，则正确的是（ ）
A. B.
C. 若，Y=3X+2，则E（Y）=2D. D（X2）=2
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. f（x）的单调递减区间是[1，+∞）
B. 若，则方程f（x）=m有两个不等的实根
C. 若点P是曲线y=f（x）上的动点，则点P到直线y=x+2距离的最小值为
D. 若过点A（0，a）可以作曲线y=f（x）的三条切线，则
11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为AB，BC的中点，则（ ）
A. MN//D1C1
B. D1N⊥CM
C. 点P在正方形A1B1C1D1内，当DP//平面B1MN时，P点轨迹长度为
D. 点P在棱DD1所在直线上，当BP⊥平面B1MN时，四面体P-DCN的外接球表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f（x）=|x-1|-lnx的最小值为______．
13.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，为棱PC的中点，且，则= .
14.有n个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个红球1个白球，其余盒子中均为1个红球1个白球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第n个盒子中取到白球的概率是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1和C1B1中点，且CG=3GC1.
（1）求点G到平面FBE的距离；
（2）求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；
16.(本小题15分)
莆田二中高二某实践活动小组调查学生坚持跑步的次数与体测成绩的关系，得到如下数据：该学校有的学生平均每月坚持跑步次数超过30次，这些学生中体测成绩“及格”的概率为；平均每月跑步次数不超过30次的学生中，体测成绩“及格”的概率为.
（1）若从该校任意抽取一名学生，求该学生体测成绩达到“及格”等级的概率；
（2）已知该实践活动小组的8名学生中有5名体测成绩“及格”，从这8名学生中抽取3名，记X为抽取的3名学生中“及格”的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）现从该校随机抽取10名参加体测的学生，给每位体测成绩“及格“的学生计3分，给每位“非及格”的学生计1分，求这10名学生的总得分的数学期望.
17.(本小题15分)
已知f（x）=x2-（m+2）x+mlnx,m∈R.
（1）若f（1）=0，求不等式f（x）≤x2-1的解集；
（2）若函数y=f（x）满足在（0，+∞）上存在极大值，求m的取值范围.
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为2的等边三角形，E为侧棱PB的中点，F为线段BC上一点.
（1）证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若EF∥平面PCD，求直线PF与平面PAD所成角的正弦值；
（3）设点G为三棱锥E-ABF的外接球的球心，试判断三棱锥G-PAD的体积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）若a=1，
（i）求函数f（x）的单调区间；
（ii）证明：函数h（x）=f（x）+csx在区间（-1，0）上有且只有一个零点.
（2）若f（x）≤2ex-csx-1对任意x∈[0，π]恒成立，求实数a的取值范围.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】ABD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】0
13.【答案】2
14.【答案】

15.【答案】
16.【答案】 随机变量X的分布列为：

17.【答案】解：（1）因为，故，故，故，
故即为，
设，则，故在上为增函数，
而即为，故，
故原不等式的解集为.
（2）在有极大值即为有极大值点.
，
若，则时，，时，，
故为的极小值点，无极大值点，故舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
若，则时，，无极值点，舍；
若即，则时，，
时，，
故为的极大值点，符合题设要求；
综上，且.

18.【答案】解：（1）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，BC⊥AB，且BC⊂平面ABCD，
则BC⊥平面PAB，
因为AE⊂平面PAB，则BC⊥AE，
又PA=AB，PE=EB，则AE⊥PB，
因为PB∩BC=B，PB，BC⊂平面PBC，
则AE⊥平面PBC，
又AE⊂平面AEF，
故平面AEF⊥平面PBC．
（2）由EF∥平面PCD，平面PDC∩平面PBC=PC，EF⊂平面PBC，
则EF∥PC，
故F为BC的中点，取AB的中点O，连接OP，OP⊥AB，
则BC⊥平面PAB，因OP⊂平面PAB，则BC⊥OP，
BC∩AB=B，BC，AB⊂平面ABCD，
所以OP⊥平面ABCD，
故可以O为坐标原点，OB，OP所在直线为x,z轴，过O作BC的平行线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,
​​​​​​​
由题意，，A（-1，0，0），D（-1，2，0），F（1，1，0），
则，，．
设平面PAD的法向量为，
则，则，
故可取，
设PF与平面PAD所成角为α，
则．
（3）由（1）知，AE⊥平面PBC，因为EF⊂平面PBC，
则AE⊥EF，即△AEF为直角三角形，
又△ABF也为直角三角形，
则三棱锥E-ABF外接球的球心为线段AF的中点G．
OG∥BF，即OG∥AD，OG⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
则OG∥平面PAD，
故点G到平面PAD的距离等于点O到平面PAD的距离，又等于点B到平面PAD的距离的一半，
故，
而，
故．
19.【答案】（i）单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）；（ii）证明：由题意函数h（x）=f（x）+csx=aln（x+1）-+csx，
对函数求导可得，
令，则，
当x∈（-1，0）时csx＞0，所以g′（x）＜0，所以g（x）即h′（x）在区间（-1，0）上单调递减，
故对任意x∈（-1，0），都有，所以h（x）在区间（-1，0）上单调递增，
又，
所以h（x）在区间（-1，0）上有且只有一个零点 X
-2
-1
1
2
P
m
n
X
0
1
2
3
P