苏州市2025-2026学年八年级数学第二学期期末模拟卷（1）（含解析）-苏科版（2024）

这是一份苏州市2025-2026学年八年级数学第二学期期末模拟卷（1）（含解析）-苏科版（2024），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。
1.下列调查适合用普查的是…………………………………………………………………………………( )
A. 调查夏季冷饮市场上冰淇淋的质量 B. 调查公民垃圾分类的意识
C. 调查某品牌的灯管使用寿命 D. 调查某班每位同学所穿鞋子的尺码
2.若关于x 的方程(m - 2)xm2 -2 + x + 1 = 0 是一元二次方程，则m 的值是…………………………………( )
A. m = 3 B. m = 2 C. m =- 2 D. m = ± 2
3.如图，在 ΔABC 中，点D ，E分别在AB 和AC 上，且DE//BC ，若BC = 4 ， = ，则DE 的长是……( )
A. 1 B. C. 2 D.
4.下列条件中，能使平行四边形ABCD 成为矩形的是……………………………………………………( )
A. AC 丄 BD； B. AC = BD； C. AB = BC； D. ∠BAC = ∠DAC；
\l "bkmark1" 5.如图，某校有一块长为 50m ，宽为 20m 的长方形“劳动实践基地 ”，为满足各班种植需求，学校铺设了
\l "bkmark2" 7 条宽度相等的石板小路(图中阴影部分) ，将“劳动实践基地 ”分成了 20 个种植区域(图中空白部分) ，其中
\l "bkmark3" 种植区域面积为 782m2 .设石板小路的宽为xm ，根据题意可列出方程为( )
\l "bkmark4" A. 20 × 50 - 20 × 4x - 50 × 3x = 782； B. 20 × 50 - 20 × 4x -50 × 3x -12x2 = 782
C. (20 - 3x)(50 -4x) = 782； D. (20 - 4x)(50 - 3x) = 782；
6.如图，在平面直角坐标系中，将△ OAB以原点O为位似中心放大后得到△ OCD，若A(1,0)，C(3,0)，则△ OAB与△ OCD的面积比是…………………………………………………………………………( )
A. 1 ：2 ； B. 1 ：3 ； C. 1 ：4 D. 1 ：9；
\l "bkmark5" 7.如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 2 ，BC = 4 ，LB = 60 ，点F在BC 边上运动，连接DF ，若H是FD 的 \l "bkmark5" 中点，E为AD 边的中点，则EH + HD 的最小值为( )
\l "bkmark5" A. B. 3 C. D. 6
\l "bkmark6" 8.如图，在平面直角坐标系中，点A(5,0) ，点B(8,4).若将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A’B’，当点B’恰好
\l "bkmark7" 落在y轴正半轴上时，点A’的坐标为( )
A. ( 5, 2 5) ； B. () ； C. (2,) ； D. (3,5)；
二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分。
9.若 则分式_的值为 ．
10.一元二次方程 2x(x -3) = 3(x - 3) 的根是 ．
11.不透明的袋中装有若干个质地均匀的红球和4 个白球，摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在 0.6 左右，则袋中红球的个数为
．
12.如图，矩形ABCD 的两条对角线的夹角LAOB = 60 ，较短边AB = 3 ，则另一边BC 的长为 ．
13.若关于x 的一元二次方程x2 -3x + m = 0 一根为1 ，则另一根是 ．
14.如图，E为平行四边形ABCD 的对角线AC 上的一点，且AE = 1 ，CE = 4 ，连接BE 并延长，过点D作DF//AC ，与BE 的延长线相交于点F ，则DF 的长为 ．
15.如图，Rt ΔABC 中，∠B = 90 ，D是BC 上的一点，DA = DC ，E为BD 的中点，连接AE . 若∠ADB = 2∠BAE，则的值为 ．
16.如图，在四边形ABCD中，∠A = ∠B = 90，AD = CD = 4.点M在边AB上，且AM = CM = 3.点E ，F分别在AB ，AD上，且CF 丄 DE ，垂足为G ，则的值为 ．
三、解答题：本题共 9 小题，共 82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 8 分)解方程：
(1)x2 - 4x + 3 = 0 （2） x2 -4x -2 = 0
18.(本小题 8 分)
如图，平行四边形ABCD 中，DA = DB ，过点C作CE//BD ，与AD 的延长线相交于点E．
(1)求证：四边形BCED 是菱形；
(2)连接BE ，若∠AEB = 25 ，求∠ABD 的度数．
19.(本小题 8 分)
已知关于x 的一元二次方程x2 - (2m - 1)x + m2 = 0 有两个实数根．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根x1 和x2 满足(x1 -2)(x2 - 2) = 11 ，求实数m 的值．
20.(本小题 8 分)
如图，在△ ABC和△ ADE中，∠DAB = ∠EAC ，∠C =∠E.
(1)求证：AD . BC = AB . DE；
(2)若S△ADE：S△ABC = 4 ：9 ，BC = 6 ，求DE的长．
21.(本小题 8 分)
某校为了提高学生的安全意识，组织开展了“安全知识竞赛 ”，现从全校学生中随机抽取了部分学生的“安全知识竞赛 ”成绩进行收集和整理(成绩得分用x表示，共分成五组：A．x < 60 ；B．60 ≤ x < 70 ；C．70 ≤ x < 80 ；D ．80 ≤ x < 90 ；E ．90 ≤ x ≤ 100 ) ，将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供的信息，解答下列问题
(1)本次随机调查的学生人数为 人，扇形统计图中m 的值为 ；
(2)补全条形统计图；
(3)学校计划对成绩低于 70 分的学生进行一次“安全培训 ”，若该校共有 1200 名学生，请估计该校有多少学生需要参加“安全培训 ”．
22.(本小题 8 分)
校园周边有一河流，小明想通过自己所学的数学知识计算河流的宽度．如图，河流两侧河岸平行，他在河的对岸选定一个目标作为点A ，再在学校一侧的河岸边选出点B和点C ，分别在AB 、AC 的延长线上取点D、E ，连接DE ，使得DE//BC .经测量，BC = 8 米，DE = 14 米，且点E到河岸BC 的距离为 7.5 米．过点A作AF 丄 BC 于点F(AF 即为河流的宽度) ，请你根据提供的数据计算河流的宽度．
23.(本小题 8 分)
如图所示，DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，EF//AD交DC于点E.
(1)四边形AFED是菱形吗？请说明理由；
(2)如果∠A = 60 ，AD = 5 ，求四边形AFED的面积．
24.(本小题 8 分)
如图，是由边长为 1 的小正方形组成的 7*7 网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC 的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成）
（1） 以 AB 、BC 为边画平行四边形 ABCD；
（2）在（1）中所画平行四边形 ABCD 的面积为 ；
（3） 点 E 为边 AB 与网格线的交点，请在 AC 上确定一点 G ，使得
∠CGB =∠AGE ．（保留作图痕迹）
25.(本小题 8 分)
如图，在 6 × 6 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1 ，△ ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺完成如图作图(保留作图痕迹).
(1)在图 1 中， 以点0为位似中心，作格点△ A’B’C’，使它与△ ABC的位似比为 2 ：1；
(2)在图 2 中，作格点△ ACD ，使它与△ ABC相似，且AC为公共边，∠A为公共角；
26.(本小题 10 分)
如图 1 ，正方形ABCD 的边长为 5 ，点E是AD 边上一点，连接CE ，将四边形ABCE 沿直线CE 折叠，
点A、B的对应点分别为点N、M ，AD 的延长线与MN 交于点F ，与CM 的延长线交于点G．
(1)求证：FD = FM ；
(2)若FM = 2 ，求FG 的长度；
(3)若 ΔDFN 是以FD 为腰的等腰三角形，求DE 的长度．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.冰淇淋质量检测涉及大量产品，全面调查成本过高，且可能破坏产品，适合抽样调查；
B.公民垃圾分类意识调查范围广，普查难以实施，需通过抽样获取数据，适合抽样调查；
C.灯管寿命测试是破坏性实验，无法逐一检测，适合采用抽样调查；
D.某班同学鞋子尺码调查范围小，人数有限，且需精确数据，适合普查．故选：D．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
2.【答案】B
【解析】解：丫 DE//BC ，
：LADE = LABC ，LAED = LACB ，
: ΔADE 一 ΔABC ，
又丫
丫 BC = 4 ，
故选：B．
本题考查相似三角形的判定及性质，根据题意易证 ΔADE 一 ΔABC ，得 即可求解，掌握相似三角形的判定方法及性质是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、平行四边形ABCD 中，AC 丄 BD ，可利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定平行四边形ABCD 是菱形，不能使平行四边形ABCD 成为矩形，故本选项不符合题意；
B 、平行四边形ABCD 中，AC = BD ，由对角线相等的平行四边形是矩形，可证明平行四边形ABCD 是矩形，故本选项符合题意；
C、平行四边形ABCD 中，AB = BC ，可利用邻边相等的平行四边形是菱形判定平行四边形ABCD 是菱形，不能使平行四边形ABCD 成为矩形，故本选项不符合题意；
D 、平行四边形ABCD 中，AB//CD, AD//BC ，AB = CD ，惠 LBAC = LDCA, LDAC = LBCA ，
丫 LBAC = LDAC ，
惠 LBAC = LDCA = LDAC = LBCA ，
惠 AD = CD, AB = BC ，
惠 AD = CD = AB = BC ，
惠平行四边形ABCD 是菱形，不能判定平行四边形ABCD 是矩形，故本选项不符合题意．
故选：B．
本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质与矩形的判定定理是解决问题的关键．根据矩形的判定定理逐一判定即可．
4.【答案】C
【解析】解：设石板小路的宽为xm ，
则根据题意，可列方程为(20 __ 3x)(50 __ 4x) = 782 ．
故选：C．
本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设石板小路的宽为xm ，则 20 个小矩形可合成宽为(20 __ 3x)m 、长为(50 __ 4x)m 的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x 的一元二次方程即可．
5.【答案】A
【解析】解：作点A关于直线BC 的对称点L ，连接AL 交BC 于点P ，连接AF 、LF 、DL ，
由对称性质得BC 垂直平分AL ，
惠 LAPB = 90 , LP = AP, LF = AF ，
丫四边形ABCD 是平行四边形，AB = 2, BC = 4, LB = 60 ，惠 AD//BC, AD = BC = 4, LPAB = 90 __ LB = 30 ，
惠 LDAL = LAPB = 90 ，BP AB = 1 ，惠 AP = AB2 __ BP2 = 3 ，
惠 AL = 2AP = 2 3 ，
惠 DL = AD2 + AL2 = 2 7 ，
丫 LF + DF ≥ DL ，
惠 AF + DF = FL + DF ≥ 2 7 ，
丫 H是FD 的中点，E为AD 边的中点，惠 AF = 2EH, DF = 2HD ，
惠 2EH + 2HD ≥ 2 7 ，
惠 EH + HD ≥ 7 ，
惠 EH + HD 的最小值为 7 ，故选：A．
作点A关于直线BC 的对称点L，连接AL 交BC 于点P，连接AF 、LF 、DL ，则LAPB = 90 , LP = AP, LF = AF ，由平行四边形的性质得AD//BC, AD = BC = 4 ，因为AB = 2, LB = 60 ，所以LPAB = 30 ，则BP = AB = 1 ，求得AP = 3 ，则AL = 2 3 ，所以DL = 2 7 ，由LF + DF ≥ DL ，得AF + DF ≥ 2 7 ，因为H是FD 的中 点，E为AD 边的中点，所以AF = 2EH, DF = 2HD ，则 2EH + 2HD ≥ 2 7 ，所以EH + HD ≥ 7 ，于是得 到问题的答案．
6.【答案】C
【解析】解：丫关于x 的方程(m __ 2)xm2 __2 + x + 1 = 0 是一元二次方程，惠 m __ 2 ≠ 0 且m2 __ 2 = 2，
解得：m =__ 2，故选：C.
根据一元二次方程的定义得出m __ 2 ≠ 0 且m2 __ 2 = 2 ，再求出m 即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出m __ 2 ≠ 0 和m2 __ 2 = 2 是解此题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：丫 A(1,0) ，C(3,0)，
惠 OA = 1 ，OC = 3，
丫△ OAB以原点O为位似中心放大后得到△ OCD，惠△ OAB与△ OCD的相似比是OA：OC = 1 ：3 ，惠△ OAB与△ OCD的面积的比是 1 ：9.
故选：D.
根据已知，找到OA与OC的比值即为相似比，然后由两个相似三角形的面积比等于相似比的平方求得答案．本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．
8.【答案】A
【解析】解：过点B作BN 丄 x轴，过点A作AM 丄 OB于M ，过点A’作A’M’丄 y轴，惠 LBNO = 90，
丫点A(5,0) ，点B(8,4)，
惠 OA = 5 ，ON = 8 ，BN = 4，
惠 AN = 3 ，AB = 5 ，OB = 4 5，
丫 LONB = LAMO = 90 ，LAOM = LBON，惠△ AOM ∽△ BON，
惠
惠 AM = 5 ，OM = 2 5，
丫将线段AB绕点O逆时针旋转得到线段A’B’，惠 OA = OA’，LAOB = LA’OB’，
丫 LAMO = LA’M’O = 90，
惠△ AOM≌△ A’OM’(AAS)，
惠 OM’= OM = 2 5 ，A’M’= AM = 5，
惠 A’( 5, 2 5)．
故选：A.
过点B作BN 丄 x轴，过点A作AM 丄 OB于M，过点A’作A’M’丄 y轴，证明△ AOM ∽△ BON得出，AM = 5，OM = 2 5 ，再证明△ AOM≌△ A’OM’(AAS) ，推出OM’= OM = 2 5 ，A’M’= AM = 5 ，从而求出点A’的坐标．
本题考查了坐标与图形变化__旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键．
9.【答案】x x2 = 3
【解析】解：2x(x __ 3) = 3(x __ 3) 2x(x __ 3) __ 3(x __ 3) = 0 ，
(2x __ 3)(x __ 3) = 0 ，
惠 2x __ 3 = 0 或x __ 3 = 0 ，惠 x x2 = 3 ．
故答案为：x x2 = 3
本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可．
10.【答案】6
【解析】解： 由题意，得：摸到红球的概率为 0.6 ，设红球的个数为x 个，惠 x = (x + 4) × 0.6 ，
解得：x = 6 ；
故答案为：6．
本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，先根据摸到红球的频率稳定在 0.6 左右，得到摸到红球的概率为 0.6 ，设红球的个数为x 个，根据概率公式，列出方程进行求解即可．
11.【答案】3 3
【解析】解：丫四边形ABCD 是矩形，AC = BD，
1
惠 OA = OB = AC ，LABC = 90 ， 2
丫 LAOB = 60 ，
惠 ΔAOB 是等边三角形，
惠 OA = AB = 3 ，
惠 AC = 2OA = 6 ，
惠 BC = AC2 - AB2 = 62 - 32 = 3 3 ．
故答案为：3 3
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质．根据矩形的性质，可得OA = OB AC ，再结合LAOB = 60 ，可得 ΔAOB 是等边三角形，从而得到AC = 2OA = 6 ，再利用勾股定理解答即可．
12.【答案】4
【解析】解：设方程的另一个根为a ，则：-1 + a = 3，惠 a = 4；
故答案为：4．
本题考查根与系数的关系，设另一个根为a ，根据根与系数的关系，得到-1 + a = 3 ，进行求解即可．
13.【答案】3
【解析】解：丫四边形ABCD 为平行四边形，惠 AB//CD, AB = CD ，
延长BA, DF 交于点H ，
惠 AH//CD ，
丫 DF//AC ，
惠四边形AHDC 为平行四边形，
惠 AH = CD = AB ，
惠 DH = AC = AE + CE = 1 + 4 = 5 ，丫 DF//AC ，
惠
惠 HF = 2AE = 2 ，
惠 DF = DH __ HF = 3 ；
故答案为：3．
本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线，构造平行四边形和相似三角形，延长BA, DF 交于点H ，易得四边形AHDC 为平行四边形，进而推出DH = AC, AH = CD = AB ，利用DF/ /AC ，得到 求出HF 的长，再根据线段的和差关系求出DF 的长即可．
14.【答案】
【解析】解：丫 E为BD 的中点，惠 BD = 2BE ，
惠 AD = CD = BC __ 2BE ，
丫 LB = 90 ，
惠 AB2 + BD2 = AD2 ，
惠 AB2 + (2BE)2 = (BC __ 2BE 2 ，惠 AB2 = BC2 __ 4BC . BE ，
丫 DA = DC ，
惠 LACB = LCAD ，
惠 LADB = LACB + LCAD = 2LACB ，丫 LADB = 2LBAE ，
惠 LBAE = LBCA ，丫 LB = LB ，
惠△ ABE 一△ CBA ，惠
惠 AB2 = BE . BC ，
惠 AB2 = BC2 __ 4AB2 ，惠 BC2 = 5AB2 ，
惠 BC = 5AB ，惠
故答案为
本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理．熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定和性质，等边对等角，是解题的关键．
根据中点定义得BD = 2BE ，由AB2 + BD2 = AD2 ，得AB2 = BC2 __ 4BC . BE ， 由LADB = LACB + LCAD = 2LACB ，LADB = 2LBAE ，得LBAE = LBCA ，得△ ABE 一△ CBA ，得AB2 = BE . BC ，得AB2 = BC2 __ 4AB2 ，
即得
15.【答案】__
【解析】解：丫
惠设a = k ，b = 3k(k ≠ 0)，惠原式 故答案为：__ .
根据 = ，所以设a = k ，b = 3k(k ≠ 0) ，代入分式中化简即可．
本题考查了分式的求值，根据条件设a = k ，b = 3k(k ≠ 0)是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接DM ，AC交于0，丫 AD = CD = 4 ，AM = CM = 3，
惠 DM垂直平分AC，
惠 AC = 2A0 ，DM 丄 AC，丫 LDAE = 90，
惠 DM
丫 S△ADM AD . AM DM . AO，惠 A
惠 AC
丫 DM 丄 AC，
惠 LAOM = LDAE = 90，
惠 LAMO + LMAO = LMAO + LFAC = 90，惠 LEMD = LFAC，
丫 DE 丄 CF，
惠 LDFG + LFDG = LADG + LAED = 90，惠 LAED = LDFG，
惠 LDEM = LAFC，
惠△ EDM ∽△ FCA，
惠
.
故答案为：
连接DM ，AC交于O ，根据线段垂直平分线的性质得到AC = 2AO ，DM 丄 AC ，根据勾股定理得到DM =
AM2 + AD2 = 5 ，根据三角形的面积公式得到AC 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．
17.【答案】【小题 1】
解：x2 __ 4x + 3 = 0 ， (x __ 3)(x __ 1) = 0 ．
x __ 3 = 0 或x __ 1 = 0 ．
惠 x1 = 3, x2 = 1 ．
【小题 2】
1 + 3(x __ 2) = x __ 1 ．
2x = 4 ．
x = 2 ．
经检验：x = 2 是增根，原方程无解．
【解析】1.
本题考查解一元二次方程和分式方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤和解分式方程的步骤是解题的关键：因式分解法解方程即可；
2. 去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
18.【答案】【小题 1】
证明：丫 四边形ABCD 是平行四边形，惠 AD//BC ，AD = BC ．
丫 CE//BD ，
惠 四边形BDEC 为平行四边形．
丫 AD = DB ，惠 BD = BC ．
惠 □BDEC 是菱形．
【小题 2】
解：丫 四边形BDEC 是菱形，
惠 EB 丄 DC ，DE = DB ，
惠 LDBE = LDEB = 25 ，LBOD = LEOD = 90 ，惠 LBDO = 90 __ 25 = 65 ．
丫 四边形ABCD 是平行四边形，惠 CD//AB ，
惠 LABD = LBDO = 65 ．
【解析】1.
本题考查菱形的判定和性质，平行四边形的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形的判定方法，是解题的关键：
先证明四边形BDEC 为平行四边形，推出BD = BC ，即可得证；
2. 根据菱形的性质，等边对等角，结合三角形的内角和定理，求出LBDO = 65 ，再根据平行线的性质，求出LABD 的度数．
19.【答案】【小题 1】
解：丫 方程有两个实数根，Δ = __ 2m __ 1)] 2 __ 4m2 =__ 4m + 1 ．惠__ 4m + 1 ≥ 0 ，
1
惠 m ≤ .
4
惠 当m ≤ 时，方程有两个实数根．
【小题 2】
解： 由根与系数关系，得x1 + x2 = 2m __ 1 ，x1 . x2 = m2 ．丫 (x1 __ 2)(x2 __ 2) = 11 ，
惠 x1x2 __ 2(x1 + x2) + 4 = 11 ．
惠 m2 __ 2(2m __ 1) + 4 = 11 ，惠 m2 __ 4m __ 5 = 0 ．
解方程，得m1 = 5 或m2 =__ 1 ．
1
丫 m ≤ ,
4
惠 m =__ 1 ．
【解析】1.
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系．
利用一元二次方程根的判别式解答即可；
2. 利用一元二次方程根与系数的关系可得x1 + x2 = 2m __ 1 ，x1 . x2 = m2 ，再代入即可解答．
20.【答案】【小题 1】
60
15
【小题 2】
解：补全条形统计图如下：
【小题 3】
解：12
答：估计该校需要参加“安全培训 ”学生约有 180 人．
【解析】1.
解：本次随机调查的学生人数为 12 ÷ 20% = 60(人)， C的人数为 60 __ 3 __ 6 __ 30 __ 12 = 9(人)，
惠 m
故答案为：60 ，15；
用E的人数除以E的百分比即可求出总人数，求出C的人数，用C的人数除以总数乘以 100 即可求出m 的值；本题考查了条形统计图和扇形统计图结合．
2. 根据(1)补全统计图即可；
3. 用 1200 乘以低于 70 分的学生比例即可．
21.【答案】解：过点E作EH 丄 BF ，垂足为H，
丫 DE//BC ，
惠△ ABC 一△ ADE ，
惠
AC 8 4
惠 = = ， AE 14 7
AC 4
惠 = ． CE 3
丫 EH 丄 BF ，AF 丄 BC ，惠 LEHC = LAFC = 90 ．
丫 LECH = LACF ，
惠 ΔECH 一 ΔACF ，
AF AC AF 4
惠 EH = EC ，即7.5 = 3
惠 AF = 10 ．
答：河流的宽度为 10 米．
【解析】本题考查的是相似三角形判定与性质的应用，过点E作EH 丄 BF ，垂足为H ，先证 ΔABC 一 ΔADE ，得出 再证 ΔECH 一 ΔACF 得出 求出结论．
22.【答案】【小题 1】
解：如图，平行四边形ABCD 即为所求；
【小题 2】
15
【小题 3】
解：连接DE ，交AC于点G，如图，点G即为所求：
【解析】1.
本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
利用平移思想，点C 向左移动 4 个单位长度，向上移动 1 个单位长度，得到格点D ，连接AD 、CD ，即可； 2.
解：观察可知，AB = BC = 42 + 12 = 17 ，惠平行四边形ABCD 为菱形，
连接BD ，如图，
由勾股定理，得：AC = 32 + 32 = 3 2, BD = 52 + 52 = 5 2 ，
惠 SABCD 故答案为 15；
连接BD ，易得平行四边形ABCD 为菱形，勾股定理求出AC 、BD 的长，再利用面积公式进行计算即可；
3. 连接DE，交AC于点G，连接BG，即可，根据菱形的对称性，得到LCGD = LCGB，对顶角得到LCGD = LAGE，即可得到LCGB = LAGE．
23.【答案】【小题 1】
证明：如图 1 ，连接FC ，
丫 四边形ABCD 是正方形，
惠 LBAD = LABC = LBCD = LADC = 90 ，AB = BC = CD = DA ，惠 LGDC = 90 ，
丫 翻折四边形ABCE ，
惠 LB = LNMC = 90 ，CM = CB ，
惠 LFDC = LFMC = 90 ，CD = CM ．
在Rt △ FDC和Rt △ FMC中，
FC = FC
CD = CM ,
惠 Rt ΔFDC 兰 Rt ΔFMCHL ．
惠 FD = FM ．
【小题 2】
解：如图，
丫 LGMF = LGDC = 90 ，LG = LG ，惠 Δ GFM 一 Δ GCD ，
惠
设FG = 2x ，GC = 5x ，
丫 FD = FM = 2 ，
惠 DG = 2x + 2 ，
在Rt Δ GDC 中，(2x + 2)2 + 52 = (5x 2 ；化简得：21x2 __ 8x __ 29 = 0 ；
惠 x1 =__ 1 (舍去) ，x
惠 FG
【小题 3】
解： ①如图，若DN = DF ，则LDNF = LDFN ，
丫 LDEN = 90 __ LDFN ，LDNE = 90 __ LDNF ，惠 LDEN = LDNE ，
惠 DE = DN ；
设DE = DN = DF = x ，则FM = FD = x ，
惠 EN = EA = 5 __ x ，FN = 5 __ x ，
在Rt ΔENF 中，(5 __ x)2 + (5 __ x)2 = (2x 2 ，化简得：x2 + 10x __ 25 = 0 ，
惠 x1 =__ 5 __ 5 2 (舍去) ，x2 =__ 5 + 5 2 ．
②如图，若FD = FN ，则FD = FN = FM
设DE = X ，则FE = X
惠 EN = EA = 5 __ X ，
在Rt ΔENF 中 化简得：15X __ 25 = 0 ，
惠 X
3
综上所述，当 ΔDFN 是以FD 为腰的等腰三角形时，DE 的值为__5 + 5 2 或5 ．
【解析】1. 如图 1，连接FC ，根据四边形ABCD 是正方形，得出LBAD = LABC = LBCD = LADC = 90 ，AB = BC = CD = DA ，LGDC = 90 ，根据翻折得出LB = LNMC = 90 ，CM = CB ，从而得出LFDC = LFMC = 90 ，CD = CM .证明Rt ΔFDC 兰 Rt ΔFMC ，即可证明FD = FM ．
2. 如图，证明 ΔGFM 一 Δ GCD ，得出设FG = 2X ，GC = 5X ，则DG = 2X + 2 ，在Rt ΔGDC 中，利用勾股定理列方程求解即可．
3. 分为①DN = DF ， ②FD = FN ，画图解答即可．
24.【答案】【小题 1】
证明：丫 LDAB = LEAC，
惠 LDAB + BAE = LEAC + LBAE，惠 LDAE = LCAB，
丫 LE = LC，
惠△ ADE ∽△ ABC，
惠 AD：AB = DE：BC，惠 AD . BC = AB . DE；
【小题 2】
解；丫△ ADE ∽△ ABC，惠 惠
惠 DE = 4．
【解析】1.
由LDAB = LEAC ，得到LDAE = LCAB ，又LE = LC ，推出△ ADE ∽△ ABC ，即可证明问题；
2.
由相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出DE的长．本题考查相似三角形，关键是掌握相似三角形的性质．
25.【答案】【小题 1】
四边形AFED是菱形．
理由：丫四边形ABCD是平行四边形，惠 DE//AF，
丫 EF//AD
惠四边形AFED是平行四边形．丫 DF是LADC的平分线，
惠 LADF = LEDF，丫 DE//AF，
惠 LEDF = LAFD，
惠 LAFD = LADF，
惠 AD = AF，
惠平行四边形AFED是菱形．
【小题 2】
如图所示，连接AE ，与DF相交于0点，丫 LDAB = 60，
惠△ ADF是等边三角形，
惠 FD = AD = 5，
惠 0F = 0D
丫 AE 丄 DF，
惠 LA0D = 90，
在Rt △ A0D中，A 故S菱形AFED D . A
【解析】1.
四边形AFED是菱形．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形．由题意易得四边形AFED是平行四边形，根据角平分线的定义、平行线的性质可证AD = AF ，所以平行四边形AFED是菱形．
2.
可根据已知条件，利用勾股定理求得对角线AE的长，从而求出菱形的面积=对角线积的一半．
此题主要考查菱形的判定和菱形的面积计算．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法： ①定义； ②四边相等； ③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．
26.【答案】【小题 1】
如图所示，△ A’B’C’即为所求；
【小题 2】
如图所示，△ ACD即为所求；
丫 AB = 2, AD = 1, AC = 12 + 12 = 2, BC = 12 + 32 = 10, CD = 12 + 22 = 5，惠
惠△ ACD ∽△ ADC.
【解析】1.
连接A0并延长到A’使得A’0 = 20A ，连接A0并延长到B’使得B’0 = 20B ，连接C0并延长到C’使得C’0 = 20C，然后顺次连接A’、B’、C’即可；
2.
如图取格点D ，连接CD ，则△ ACD即为所求．
本题主要考查了画位似图形，相似三角形的判定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．