山西晋中市部分学校2026年中考二模九年级数学试卷（含解析）

这是一份山西晋中市部分学校2026年中考二模九年级数学试卷（含解析），共9页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 某市冬季一天的天气预报表显示气温为至，该日温差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】用最高气温减去最低气温即可得到温差．
【详解】解： 温差为 ．
2. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．
轴对称图形关键看能否找到对称轴，中心对称图形关键看绕对称中心旋转后能否与原图形重合．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C不符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D符合题意．
故选：D．
3. 下列运算中结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：选项A：，A错误；
选项B：，B错误；
选项C：，C正确；
选项D：，D错误．
4. 国产北斗芯片可支持接收多系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域．目前，该芯片工艺已达22纳米（即米），数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，表示较小数时，科学记数法形式为，其中要求，为负整数，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数．
【详解】解：∵ 将的小数点向右移动8位得到，满足
∴ ，可得．
5. 如图，把装有水的大水槽放在水平桌面上，水面与槽底平行，一束激光从空气斜射入水，入射光线在水面的点处出现偏折（这种现象在物理上称为光的折射），与交于点．若，，则光线射入水中偏折的角度（）为（ ）
A. 31°B. 33°C. 39°D. 43°
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角相等，平行线的性质以及角的和差关系进行求解即可．
【详解】解：，
∴．
，
．
6. 在古籍修复中心，有3张正面分别印有“篆书”“隶书”“行书”书法字样的纸（除正面文字外完全相同）．现将这3张纸背面朝上放置，从中随机抽取两张，这两张纸正面有1张是“隶书”的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先列出所有等可能的抽取结果，再找出满足条件的结果，代入概率公式计算即可．
【详解】解：记篆书为，隶书为，行书为，
从中随机抽取两张，所有等可能的结果为，，，共种，
其中满足两张纸正面有张是隶书的结果共种，
所求概率为．
7. 已知抛物线的对称轴为直线，与轴的交点位于轴下方，且时，，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据对称轴公式可得，即，据此可判断A；根据题意可得当时，，再由当时，，可得抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，则抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，据此可判断B；当时，，再由，即可判断D；根据抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，当时，，根据题意不能确定的符号，则C选项不一定成立．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故A选项中原结论错误，不符合题意；
∵抛物线与轴的交点位于轴下方，
∴当时，，
∵当时，，
∴抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴抛物线与轴有两个不同的交点，
∴关于的一元二次方程有两个不相同的实数根，
∴，故B选项中原结论错误，不符合题意；
∵当时，，且当时，，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的另一个交点一定在直线和直线之间，
∴当时，，
∴，即，故D选项中原结论正确，符合题意；
当时，，
∵抛物线与轴的一个交点一定在直线和轴之间，
∴当时，的符号不确定，即的符号不确定，
∴不一定成立，故C选项不正确，不符合题意；
故选：D．
8. 如图所示的容器中装有一定体积的液体，现用电加热器进行加热，忽略热损失．在一定的温度范围内，液体温度（℃）与加热时间（min）之间满足我们学过的某种函数关系．下表是一组数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据表格数据，可以观察到，当x的值每增加4，相应的y值增加5，符合一次函数关系，待定系数法求关系式即可．
【详解】解：由表格数据，可以判断出y是x的一次函数，
设，
代入，，
得，
解得，
∴．
9. 如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由作图可知，是的垂直平分线，得到，，再得到，根据题意得到是的角平分线，得到，进一步得到，即可求解．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵点到的距离相等，
∴，
又∵，，
∴是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∴．
10. 如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作轴的垂线，交轴于点，容易求得 ，进而可求得，得到点的坐标，即可求解．
【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点，
由题意得，
∴ ，
∴．
，，
．
∴，
又∵，，
，．
．
∴点的坐标为．
．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：．
12. 园艺工人计划用两种不同的花卉布置广场，设计方案时，用全等的圆点和全等的三角形分别代表万寿菊和一品红的盆数，按如图所示的规律摆放，则第20个图形中花卉的总盆数为________．
【答案】440
【解析】
【分析】将每个图形的花卉分为圆点和三角形两部分；圆点数量规律为第个图形有个；三角形数量规律为第个图形有个；将两部分数量相加，，得到第个图形的总盆数，再将代入即可．
【详解】解：第一部分是用圆点表示的图形，数量规律是1，2，3，4，…；
圆点数量规律为第个图形有个；
第二部分是用三角形表示的部分，数量规律是，，，，…，
三角形数量规律为第个图形有个；
∴图中的花卉盆数是，
当时，．
13. 如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可．
【详解】解：连接，交于点，则：，
∵四边形为平行四边形，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积；
故答案为：．
14. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
∴，两点关于原点对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴，，
∴，，
∴，
把代入，
得，
解得，
故答案为：9．
15. 如图，在中，，，是内部的一点，连接，，，若，，则线段的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，过点作于点，过作于点，利用勾股定理结合等积法求得，利用直角三角形的性质、勾股定理结合等积法求得，推出点和点重合，据此求解即可．
【详解】如图，过点作于点，过点作于点，过作于点，
∵，，
∴，
在中，．
由得，，
∴在中，，
∴在中，，
∴设，则，
由勾股定理得，
解得，，
∴在中，，
在中，，
∴点和点重合，
∴．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 解答下列各题：
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【小问1详解】
解：原式．
【小问2详解】
解：原式．
当时，原式．
17. 如图，已知点，在以为直径的上，，过点作的切线，与的延长线交于点，连接．若，求的大小．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据切线的性质得，根据直角三角形两锐角互余得，根据等边对等角得，根据直径所对的圆周角是直角、直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：如图，连接．
∵与相切，
，即．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为的直径，
∴．
∴．
18. 某校为调查本校学生对安全知识的了解情况，从全校学生中随机抽取若干名学生进行测试．将全部测试成绩（单位：分）进行整理后分为五组（A：，B：，C：，D：，E：，其中的成绩分别为：70，78，76，79，72，75，75，74，73，78．
【整理数据】
【描述数据】绘制了不完整的频数直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次调查的样本容量是_________，_________，_________，_________；
（2）请补全频数直方图；B组所对应的扇形的圆心角度数是多少？
（3）为了进一步做好学生安全教育工作，根据调查结果，请你为学校提一条合理化建议．
【答案】（1）40，6，10，12
（2）见解析，
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）用E组的人数除以所占的百分比求出样本容量；根据C组的人数求出n；根据D组所占的百分比求出q；进而求出B组的人数m；
（2）由（1）中求出的数据补全频数直方图；然后根据B组所占的百分比求出所对应的扇形的圆心角度数；
（3）根据题意提出合理化建议即可．
【小问1详解】
解：本次调查的样本容量是；
∵的成绩分别为：70，78，76，79，72，75，75，74，73，78
∴；
∴D组的人数；
∴B组的人数；
【小问2详解】
解：补全频数直方图如下：
B组所对应的扇形的圆心角度数是；
【小问3详解】
解：加强安全知识教育，普及安全知识；通过多种形式（课外活动、知识竞赛等），提高安全意识；结合校内、校外具体活动（应急演练、参观体验、紧急救援等），提高避险能力．
19. 为了丰富学生的课间活动，学校决定采购一批羽毛球拍．某文具店售卖有甲、乙两种羽毛球拍，已知每副甲球拍比乙球拍贵20元，学校购买甲种羽毛球拍8副，乙种羽毛球拍12副，一共花费1360元．求甲、乙两种羽毛球拍的售价分别是多少元？
【答案】甲种羽毛球拍的售价为80元，乙种羽毛球拍的售价为60元．
【解析】
【分析】设甲种羽毛球拍的售价为元，乙种羽毛球拍的售价为元，根据每副甲球拍比乙球拍贵20元，学校购买甲种羽毛球拍8副，乙种羽毛球拍12副，一共花费1360元列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设甲种羽毛球拍的售价为元，乙种羽毛球拍的售价为元．
根据题意得：，解得．
答：甲种羽毛球拍的售价为80元，乙种羽毛球拍的售价为60元．
20. 项目学习
如图是某超市从一楼到二楼的自动扶梯，综合实践小组的同学围绕“扶梯中的数学”开展项目学习活动，形成了如下活动报告．
请根据上述数据，完成问题解决．
【答案】二楼的层高约为米．
【解析】
【分析】延长交于点，可知，设，则，根据勾股定理可得：，解方程可得：，可得：，，根据求出，利用求出结果即可．
【详解】解：如下图所示，延长交于点，
，
．
，
设，则，
在中，，，，
，
，
，，
在中，，，
，
，
答：二楼的层高约为米．
21. 阅读与思考
请认真阅读并完成相应的任务．
任务：
（1）下列选项中一定是“神奇四边形”的是（ ）；
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）①例题分析中的依据1和依据2分别是什么？
依据1：________________________________，
依据2：________________________________；
②补全上述证明过程；
（3）在上述例题分析中，若四边形的面积为，正方形的边长为，则的长为________．
【答案】（1）D （2）①正方形的四边相等；直角三角形的两锐角互余；
②．
．
．
∴四边形是“神奇四边形”．
（3）5
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形及特殊平行四边形对角线的性质，再结合“神奇四边形”的定义即可得解；
（2）证明即可得证；
（3）根据四边形的面积可得，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：平行四边形的对角线互相平分；
矩形的对角线互相平分且相等；
菱形的对角线互相垂直且平分；
正方形的对角线互相平分、垂直且相等；
由“神奇四边形”的定义可知正方形为“神奇四边形”．
【小问2详解】
略
【小问3详解】
∵四边形是“神奇四边形”，且四边形ABNM的面积为，
，．
∵正方形的边长为，．
．
由①可知：，
．
．
．
22. 综合与实践
问题情境：旧城区改造是提升居民生活品质的重要工程．如图①是某改造小区，该小区大门轮廓形状可视为抛物线型，因通行安全性和美观性不足，计划将其改造为“矩形+近似抛物线型”的组合型门，其截面图如图②所示．
数据收集；改造后组合型门宽为8米，矩形部分的高为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米．
数学建模：如图②，以所在直线为轴，线段的中垂线为轴（抛物线的对称轴），建立平面直角坐标系．
问题解决：
（1）求改造后抛物线部分的函数表达式；
（2）为保障通行安全，需在距离地面高米的门上安装两个摄像头，用于监控拱门通行情况，求两个摄像头之间的水平距离；
（3）已知门正中间设有隔离带（关于轴对称），为了安全起见，改造后的大门必须保证消防车等应急车辆能正常通行，若消防车的宽为米，高为米，要保证消防车均可从大门两通道处通过，请直接写出隔离带的宽的最大值（消防车与隔离带的间距忽略不计）．
【答案】（1）
（2）米
（3）0.8米
【解析】
【分析】（1）设抛物线所对应的函数表达式为，将点代入所设解析式求出a的值即可得出函数解析式；
（2）将代入解析式求出x的值，将所求x的值，再相减可得答案；
（3）求出时，求出x的值，再减去，进而可得答案．
【小问1详解】
解：连接，
由题意可知，四边形是矩形，
∵门宽为8米，矩形部分的高为2米，抛物线部分的顶点到地面的距离为6米，
∴，，，
∴，
由题意，设抛物线所对应的函数表达式为，
将点代入，得，解得，
该抛物线所对应的函数表达式为；
【小问2详解】
解：∵需在距离地面高米的门上安装两个摄像头，
∴将代入抛物线，得，
解得：，
∴两个摄像头之间的水平距离为：（米）；
【小问3详解】
解：∵消防车的宽为米，高为米，
∴将代入抛物线，得，
解得：，
∵消防车的宽为米，
∴（米），
∴隔离带的宽的最大值为（米）．
23. 问题背景：如图1，在四边形中，，将沿翻折，点的对应点恰好落在边上．
（1）操作探究
连接，判断的形状，说明理由；
（2）探究迁移
将沿射线平移得到（点的对应点分别为），当点的对应点与点重合时，求四边形的周长；
（3）拓展创新
将继续沿射线平移得到（点的对应点分别为），与交于点，且，将绕点在平面内自由旋转，当时，直接写出的长．
【答案】（1）是等边三角形，理由见详解
（2）4 （3）3或
【解析】
【分析】连接，由翻折得，，，结合题意得，则，即可得是等边三角形；
由平移得四边形为平行四边形，结合翻折，判定四边形为菱形，利用含30度角的直角三角形的性质得到，即可求得周长；
过点作交于点F，连接，可得四边形为平行四边形，有，和，即可判定点F为中点，则有D、F、和M在同一条直线上，结合（1）知，，分两种情况逆时针旋转和顺时针旋转求解即可．
【小问1详解】
证明：是等边三角形，
连接，如图，
∵沿翻折，点的对应点，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
则，
那么，是等边三角形；
【小问2详解】
∵沿射线平移得到
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵沿翻折，点的对应点，
∴，
则四边形为菱形，
∵
∴
∵，
∴，，
则；
【小问3详解】
过点作交于点F，连接，如图，
∵继续沿射线平移得到，
∴四边形为平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∴点F为中点，
∴，得，
那么，D、F、和M在同一条直线上，
由（1）知，，
当逆时针旋转时得到，则位于直线上，
∵点F为中点，，
∴，
∵
∴；
当顺时针旋转时得到，则位于直线上，
由旋转得，，，
∴，
综上所述，的长为3或．
本题主要考查折叠的性质、等边三角形的判定、平移的性质、菱形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质和旋转的性质，解题的关键是熟悉上述所涉及的性质，并熟练掌握各性质之间的关联．加热时间
0
4
8
12
16
液体温度/℃
15
20
25
30
35
成绩/分
频数
4
m
n
q
8
项目主题
扶梯中的数学
驱动问题
如何解决“扶梯中的数学”问题
活动内容
利用三角函数等有关知识进行测量与计算
扶梯示意图
数据测量
①已知自动扶梯的坡度为；②的长是米；③是二楼楼顶，；④点是上处在自动扶梯顶端正上方的一点，；⑤在自动扶梯底端处测得点的仰角为．图中各点都在同一竖直平面内．
问题解决
求二楼的层高．（精确到米）
（参考数据：，，）
交流展示
⋯⋯
新定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫作“神奇四边形”
例题分析：如图，在正方形中，为边上一点（不与，重合），连接，过点作于点，交于点，连接，．

求证：四边形是“神奇四边形”．
证明：∵四边形是正方形，
（依据1），．
．
，
．
（依据2）．
……