2026年湖南省益阳市沅江市二模数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年湖南省益阳市沅江市二模数学试题（含解析）中考模拟，共9页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，考试结束后，将答题卡上交等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，将答题卡上交．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列四个数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数和有理数的定义判断各选项即可．
【详解】解：、是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意；
、是分数，属于有理数，该选项不符合题意；
、是有限小数，属于有理数，该选项不符合题意；
、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，该选项符合题意．
2. 厨房纸巾是家庭清洁的常用物品．如图放置的厨房纸巾卷，箭头方向为其主视方向，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵从前面看纸巾卷里面有2条看不见的线，
∴它的主视图是．
3. 2025年，我国在单原子催化领域取得飞跃性突破．催化剂中单个活性金属原子的直径约米，将数据用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，不能直接合并相加，∴A错误；
选项B：根据完全平方公式展开得，，∴B错误；
选项C：根据积的乘方法则计算得，，∴C错误；
选项D：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，指数相减，得，运算正确，∴D正确．
5. 某市编程赛成绩按如下权重计算：代码质量占，功能实现占，文档编写占．小明在大赛中，代码质量、功能实现、文档编写三项成绩分别为：80分、70分、90分，则小明的编程赛成绩为（ ）
A. 70分B. 78分C. 83分D. 85分
【答案】B
【解析】
【详解】解：
（分）．
6. 将关于x的分式方程去分母可得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：∵方程的两个分母分别为和，
∴最简公分母为，
方程两边同时乘去分母：得．
7. 如图，一质量均匀的小球静止悬挂在光滑的竖直墙面上，O为小球的球心，小球受到重力G、拉力F和支持力N的作用．若拉力F与重力G的夹角，则拉力F与墙面的夹角的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两直线平行，同旁内角互补求解．
【详解】解：∵与墙面平行，
∴，
∵，
∴．
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设总人数为，根据车的总数不变建立等量关系即可列出方程．
【详解】解：设共有人，总车数不变，
∵每3人共乘一车，最终剩余2辆车空，可得总车数为；每2人共乘一车，最终剩余9人无车可乘，可得总车数为，
∴由总车数相等，可得方程．
9. 如图，在正方形网格上，点A，B，C，D，E均在格点上，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证明是等腰直角三角形，求得，得到，根据即可求解．
【详解】解：如图，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
10. 在平面直角坐标系中，我们约定：不重合的两点与为一对负换点；若函数图象上至少存在一对负换点，则称该函数为负换函数．下列函数中，是负换函数且仅有一对负换点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】假设图象上一点存在负换点，为，同时代入解析式得到两个等式，一一进行验证是否符合负换函数的条件即可求解．
【详解】解：选项A：，假设图象上一点存在负换点，为，同时代入解析式得：，，
解得，
此时重合，不符合要求，排除A；
对选项B：，假设图象上一点存在负换点，为，
同时代入解析式得：，，
此时存在无数组不重合解，即无数对负换点，排除B；
对选项C：，假设图象上一点存在负换点，为，
同时代入解析式得：，，
化简得，存在无数组不重合解，即无数对负换点，排除C；
对选项D：，假设图象上一点存在负换点，为，
同时代入解析式得：，，
将第一个式子代入第二个得： ，
整理得 ，
因式分解得 ，
解为，
当时，，得 ，两点不重合，都在函数图象上，是一对负换点；
当时，，得 ，与上述为同一对；
当时，，故 ，此时 ，两点重合，不符合要求，
因此D是负换函数且仅有一对负换点，符合要求．
本题考查了函数解析式与点的坐标之间的关系以及运算，解题关键是理解题意，合理变换与计算．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 单项式x2y的次数是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据单项式次数的定义即可求解．
【详解】解：单项式x2y的次数为2+1=3，
故答案为3．
本题考查单项式的次数，单项式的次数是这个单项式中所有字母指数的和，掌握单项式次数的定义是解题的关键．
12. 某化学实验室有4瓶外观完全相同的溶液，标签分别为：盐酸、硫酸、氢氧化钠、蒸馏水．实验员随机从中抽取1瓶进行检测，抽到酸溶液的概率为_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意可知，所有等可能出现的结果总数为，其中酸溶液为盐酸和硫酸，符合抽到酸溶液条件的结果数为，
∴抽到酸溶液的概率为．
13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的取值是_____．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴，
整理得，
解得．
14. 在平面直角坐标系中，点在轴上，则的值为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据y轴上点的坐标特征，y轴上的点横坐标为，据此列方程求解即可．
【详解】解：点在轴上，
，
解得．
15. 如图，，，，，五点在上，连接，，，．若，，则的度数是______．
【答案】##63度
【解析】
【分析】首先根据求出，然后求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
16. 如图，在中，是的角平分线，过点作，交于点，点在线段上，且，连接，．
（1）若，，则______；
（2）下列结论正确的是_______．（写出所有正确答案的序号）
①若，则；
②若，则；
③若，，则．
【答案】 ①. ②. ①②
【解析】
【分析】（1）证明，推出，据此计算即可；
（2）①先证明，据此计算即可求解；②利用平行线分线段成比例求解即可；③设，证明是等腰直角三角形，求得，，，证明，据此计算即可判断．
【详解】解：（1）记与交于点，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
①∵，
∴，
∵，
∴，故①说法正确；
②∵，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，故②说法正确；
③∵，，，
设，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，故③说法错误；
综上，正确的有①②．
三、解答题：本题共8小题，第17题6分，第17题8分，第题，每小题9分，第题，每小题11分，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的乘法以及绝对值，分别计算出各项的值，再按照实数的运算法则进行计算．
【详解】解：
18. 解不等式组：，并求所有整数解的和．
【答案】
不等式组的解集为，所有整数解的和为.
【解析】
【详解】解： 解不等式①
得
解不等式②
得
因此不等式组的解集为
所以该不等式组的整数解为
所以所有整数解的和为．
19. 某学校在八、九年级学生中各随机抽取10名学生，对这些学生4月份课外阅读打卡次数（用表示）进行整理、描述和分析，共分成四组：A：；B：；C：；D：．以下是部分信息：
八年级10名学生4月课外阅读打卡次数分别为：5，7，10，12，20，24，25，28，28，31．
九年级10名学生4月课外阅读打卡次数在C组中的数据是：21，22，24，28．
八、九年级抽取的学生4月打卡次数统计表
九年级10名学生4月份打卡次数扇形统计图
请根据题中信息，解答下列问题：
（1）________，________，________，________；
（2）你认为该校八、九年级中，哪个年级学生4月份课外阅读情况更好？请说明理由；
（3）若该校八、九年级学生共有2000名，请你根据样本数据，估计该校八、九年级学生4月份课外阅读打卡不少于20次的学生人数．
【答案】（1）22，23，28，40
（2）九年级学生4月份课外阅读情况更好，理由见解析
（3）1300人
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数的定义，以及扇形统计图求解即可；
（2）可从中位数、众数等角度比较分析即可；
（3）用样本估计总体的方法求解即可．
【小问1详解】
解：10个数据，则中位数是第5，6个数据的平均数，
从八年级的10个数据可得，第5，6个数据是20，24，则中位数；
而出现的次数最多，则众数；
，故，
那么九年级B组中有个数据；D组中有个数据；A组有个数据，
而中位数是第5，6个数据的平均数，A组和B组共3个数据，
则第5，6个数据在C组，为22，24，故中位数；
【小问2详解】
解：九年级学生4月份课外阅读情况更好，理由如下：
两个年级的平均数相同(均为19)，但九年级的中位数(23)高于八年级(22)，说明九年级一半以上学生的打卡次数多于八年级一半以上学生；九年级的众数(33)高于八年级(28)，说明九年级打卡次数最多的数值更大；九年级打卡不少于20次的学生有7人(占)，八年级有6人(占)，九年级高分段学生比例更高．
【小问3详解】
解：估计打卡不少于20次的学生人数样本中，八年级10人有6人打卡不少于20
次，九年级10人有7人打卡不少于20次，
∴（人）
答：该校八、九年级学生4月份课外阅读打卡不少于20次的学生人数有1300人．
20. 为推进智慧校园建设，某科技公司为学校提供两种型号的门禁读卡器：A型刷卡门禁和B型人脸识别门禁．已知2套A型门禁和3套B型门禁的采购总价为10500元；4套A型门禁和5套B型门禁的采购总价为18500元．
（1）求A，B两种型号门禁每套的采购单价；
（2）学校预采购A型、B型两种门禁共12套，若采购两种门禁的费用不高于22000元，至少可采购A型门禁多少套？
【答案】（1）A型门禁每套采购单价为1500元，B型门禁每套采购单价为2500元
（2）至少可采购A型门禁8套
【解析】
【分析】（1）根据两种采购方案的总价关系列方程组求解；
（2）根据总费用限制列不等式，结合套数为正整数得到最小值．
【小问1详解】
解 ：设A型门禁每套采购单价为元，B型门禁每套采购单价为元
根据题意列方程组得
解得
答：A型门禁每套采购单价为1500元，B型门禁每套采购单价为2500元；
【小问2详解】
解：设采购A型门禁套，则采购B型门禁套
根据题意得
解得
答：至少可采购A型门禁8套．
21. 如图，四边形是⊙的内接四边形，是⊙的直径，连接，将线段绕点顺时针方向旋转一定角度得到线段．过点作，交的延长线于点，连接，．
（1）若平分，求证：四边形是菱形；
（2）若，求证：直线是⊙的切线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】 （1）根据平行线的性质可证，根据角平分线的性质可证，根据等角对等边可证，等量代换可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证结论成立；
（2）连接，根据两个角对应相等的两个三角形相似可证，根据相似三角形的性质可证，由旋转可证，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证，根据相似三角形的对应角相等和平行线的性质可证，根据圆内接四边形的性质和三角形外角的性质可证，根据直径所对的圆周角是直角，可证，从而可证结论成立．
【小问1详解】
证明：，
，
平分，
，
，
，
由旋转可知，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
【小问2详解】
证明：如下图所示，连接，
，，
，
，
由旋转可知，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是⊙的内接四边形，
，
又，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线．
22. 我国古代数学家刘徽在《海岛算经》中记载了利用“重差术”测量物体高度的方法．某高铁路段隧道施工中，工程人员利用该原理测量接触网支架高度，其纵截面的示意图如下：四边形为接触网支架的主体，四边形为接触网支架的底座．连接，已知，测得，，，，底座高．（参考数据：，，，，）
（1）求的长（结果精确到）；
（2）求点到地面的距离（结果精确到）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查锐角三角函数解直角三角形，能够构造合适的直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于点，过点作于点，构造，，利用锐角三角函数求解即可；
（2）过点作交于点，交于点，交于点，则四边形是矩形，根据（1）可知，利用锐角三角函数即可求得，结合题意即可求解．
【小问1详解】
解：过点作于点，过点作于点，则，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，则，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：过点作交于点，交于点，交于点，则，
由（1）可知， ，则四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
23. 如图1，抛物线：与轴交于，两点．抛物线平移后得到抛物线与轴交于点，且过抛物线的顶点和点．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，点和是抛物线上的两点，若，求的值；
（3）如图2，抛物线：（，，是常数，且）也经过点，，点是线段上异于，的动点，过点作直线轴交抛物线，分别于点，，问：随着点的运动，的值是否会改变？若不改变，求出的值；若改变，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）的值不改变，是
【解析】
【分析】（1）将一般式配方成顶点式即可求解顶点坐标；
（2）先求出抛物线，则，，然后分别求出直线和直线的一次项系数，再由一次函数平行得到一次项系数求解即可；
（3）先求出抛物线：，再求直线，设，其中，则，，再求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴顶点；
【小问2详解】
解：设，
代入，，
得，
解得，
∴抛物线；
∵点和是抛物线上的两点，
∴，，
∴，，
对于抛物线，当时，，
∴；
设直线，
则，
解得，
∴直线，
设直线，
则，
解得，
∵，
∴，
解得；
【小问3详解】
解：的值不改变，理由如下：
∵抛物线：经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线：，
设直线，
则，
解得，
∴直线，
设，其中，
∵过点作直线轴交抛物线，分别于点，，
∴，，
∴．
24. 如图1，在正方形中，将边绕点顺时针旋转得到，连接．射线交边于点，交的延长线于点．
（1）填空：________度，并说明理由；
（2）如图2，点在射线上，连接．若，求证：；
（3）如图3，若边绕点顺时针旋转得到，使得时，求的值．
【答案】（1）45，理由见详解
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）由旋转的性质可得，，进而可得，再证明，进而可得，然后由求解即可；
（2）过点作，交于点，连接，证明为等腰直角三角形，易得，再证明，由全等三角形的性质可得，，进一步证明，在中，利用勾股定理即可证明结论；
（3）过点作于点，连接，结合，可设，则，利用三角函数解得，的长度，进而可知，；设，则，利用勾股定理可得，证明，结合相似三角形的性质解得的值，即可确定，的长度，然后计算的值即可．
【小问1详解】
解：45，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵将边绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如下图，过点作，交于点，连接，
则，
∴，即，
由（1）可知，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴在中，可得；
【小问3详解】
解：如下图，过点作于点，连接，
∵，
∴可设，则，
∵，
∴，
，
∴，
∴，
∵为正方形的对角线，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，即，
整理可得，
解得，（不合题意，舍去），
∴，，
∴．年级
八年级
九年级
平均数
19
19
中位数
众数
33