湖南省益阳市沅江市2024年中考二模数学试题（解析版）

这是一份湖南省益阳市沅江市2024年中考二模数学试题（解析版），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 2024的相反数是（ ）
A. B. C. 2024D.
【答案】D
【解析】2024的相反数是．
故选：D．
2. 下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选C．
3. 下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ ）
A. 水落石出B. 水涨船高
C. 水滴石穿D. 水中捞月
【答案】D
【解析】A、水落石出是必然事件，不符合题意；
B、水涨船高是必然事件，不符合题意；
C、水滴石穿是必然事件，不符合题意；
D、水中捞月是不可能事件，符合题意；
故选D
4. 已知，下列式子不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴当时，，则；
当时，，则；
∴该选项错误，符合题意；
、∵，∴，
∴，该选项正确，不合题意；
故选：．
5. 下列运算中，计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．，故选项正确，符合题意；
B．，故选项错误，不符合题意；
C．与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意；
D．，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
6. 小文和小华都是邮票收集爱好者，小文收集了很多数学家的邮票，小文想从下面的四张邮票中送两张给小华，但要抽签确定．小文先从一副扑克中取出红桃，分别代表下面的一张邮票，背面向上洗匀，小华依次从中抽两张，抽到都是中国数学家邮票的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】画树状图如下：
由树状图可得，共有种等结果，其中抽到两张都是中国数学家邮票的结果有种，
∴抽到两张都是中国数学家邮票概率是，
故选：．
7. 已知一次函数，下列说法错误的是（ ）
A. 图象不经过第四象限
B. 图象与两坐标轴围成的三角形面积是
C. 随的增大而减小
D. 当时，
【答案】C
【解析】、∵，，
∴直线经过一、二、三象限，故该选项说法正确，不合题意；
、当时，；当时，；
∴直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
∴图象与两坐标轴围成的三角形面积为，故该选项说法正确，不合题意；
、∵，
∴随的增大而增大，故该选项说法错误，符合题意；
、∵时，，
又∵随的增大而增大，
∴当时，，故该选项说法正确，不合题意；
故选：．
8. 若正多边形的一个外角是60°，则该正多边形的边数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】360°÷60°=6，
故选C．
9. 如图，在中，于点，于点，过点作交的延长线于点，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故选项A正确；
∵，
∴，
∴，故选项B正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；故选项C正确；
∵，
∴，
∴；故选项D错误；
故选D．
10. 若是关于的一元二次方程的两个根，则方程的两个根和系数有如下关系：，把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．
如果设二次函数的图象与轴的两个交点为，，利用根与系数关系定理可以得到， 两个交点间的距离为． 参考以上定理和结论，设二次函数的图象与轴的两个交点为，，图象的顶点为，当为等腰直角三角形时，＝（ ）
A. 0B. 4C. 0或4D. 8
【答案】B
【解析】的顶点C的坐标为，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
化简得，
解得或，
∴或，
当时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，则不存在，故舍去，
∴，
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 化简：_________．
【答案】5
【解析】．
故答案为：5．
12. 分解因式：x2y-4y=____．
【答案】y(x+2)(x-2)
【解析】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
13. 不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】，
由得，，
由得，，
∴不等式组的解集为．
14. 函数中，自变量的取值范围为_________．
【答案】x≥且x≠1
【解析】根据题意得，2x+1≥0且x-1≠0，
解得x≥且x≠1．
故答案为：x≥且x≠1．
15. 若关于的方程有解，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
方程两边同时乘()得：，
解得：，
∵关于的方程有解，
∴，即，
∴ ，即，
故答案为：．
16. 一个圆锥的底面半径是，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的母线长为________．
【答案】12cm
【解析】∵圆锥的底面半径为6cm，
∴圆锥的底面圆周长为cm，
∵侧面展开图的面积为，
∴，
∴cm，
∴圆锥的母线长为12cm，
故答案为：12cm．
17. 如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则点到点的距离为________．（结果保留根号）
【答案】
【解析】由题意知，，，
∴，即，整理得，，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：．
18. 如图，菱形的边长为2，，则菱形的面积是；以对角线为边作第二个菱形，使，则菱形的面积是；以对角线为边作第三个菱形，使，则菱形的面积是；…．按此规律所作的第个菱形的面积是________．
【答案】
【解析】如图，连接，交与点O，
∵四边形菱形，且，
∴等边三角形，∴，∴，，
∴，菱形的面积是；
∵四边形为菱形，，
∴可得，菱形的面积是；
同理可得，菱形的面积是；
以此类推，可得出所作的第n个菱形的边长为，
第n个菱形的面积为．
三、解答题（本大題共8个小题，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 先化简，再选一个合适的的值代入求值．
解：原式
，
当时，原式．
20. 为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为米，当太阳光线与地面的夹角为时，求阴影的长．（结果精确到米；参考数据：，）
【答案】米
【解析】
解：如图，过作于，于，则四边形为矩形，
∴，，
在中，米，米，
∴米，米，
∴米，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴米，
∴米，
答：阴影的长为米．
21. 九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第（且为整数）天的售价与销售量的相关信息如下表：
已知该商品的进价为每件元．请根据上面信息解答下面问题：
（1）销售该商品第几天时，当天销售利润为元？
（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
解：（1）当时，，
整理得，，
解得，（不合，舍去），
∴；
当时，，
解得；
答：销售该商品第天或第天时，当天销售利润为元；
（2）当时，
，
∵，，
∴当时，当天销售利润最大，元；
当时，，
∵，，
∴当时，当天销售利润最大，；
∵，
∴销售该商品第天时，当天销售利润最大，最大利润是元．
22. 下表是A，B两组学生在一次数学测验中的结果，已知A组的平均分是63分，规定50分或50分以上的学生即为通过测验．请回答下面问题：
（1）请计算出B组学生的平均分；
（2）A，B两组学生成绩的中位数和众数各是多少？
（3）B组学生王同学说：“这次测验B组比A组考得好．”A组同学不同意王同学的观点，认为B组不一定考得比他们好．你认为王同学可能说出的理由是什么？A组同学又说出了什么理由？
解：（1）B组学生的平均分：
（2）将A组数据从小到大排列：
A组中位数64，众数64 ，B组中位数64，众数64
（3）
从上表易得A组的平均数小于B组，A组方差大于B组，故B组学生王同学说B组比A组考得好．
表中A组B组平均数很接近，而中位数众数A，B都一样，故A组同学不同意王同学的观点，认为B组不一定考得比他们好．
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于两点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若于点，求的面积；
（3）在轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标．
解：（1）把代入得，，∴，
把代入得，，∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）如图，
∵，
∴；
（3）由得，或，∴，
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时的值最小，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，解得，
∴直线的解析式为，
令，则，∴点P坐标为．
24. 如图， 是的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长．
（1）证明：连结，如图所示，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，与相交于点，
∵为的中点，
∴，
∴垂直平分，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴．
25. 【探究发现】
（）如图，在正方形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．
求证：；
【类比迁移】
（）如图，在矩形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．求证：；
【拓展提高】
（）如图，在菱形中，是边上一点（不与端点重合），为延长线上一点，且，连接，点在线段上，且，连接．若，求的长．
（）证明：∵四边形为正方形，
∴，，
∵为延长线上一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴；
（）证明：∵四边形为矩形，
∴，
∵为延长线上一点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（）解：如图，连接，作于，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴．
26. 如图，已知抛物线与轴交于两点，且与轴交于点，为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）为直线下方的抛物线上一点，过点作轴交于点，垂足为，，垂足为，求出周长的最大值；
（3）抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（1）把代入得，，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，周长
∴，
即周长，
∴当取最大值时，的周长取得最大值，
设直线的解析式为，
把、代入得，，解得，
∴直线的解析式为，
过点作直线的平行线，设直线的解析式为，可知当直线与抛物线只有一个交点时，最大，
由得，，
∵两函数图象只有一个交点，∴，∴，
解得，
∴
∵轴，
∴
∴，此时取最大值，
∴周长的最大值；
（3）有两种情况：过点直线于点，交于点，连接并延长，交抛物线于点，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，把代入得，，
∴，
∴直线的解析式为，
由得，，
设直线的解析式为，把、代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
由得，，∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，解得，
∴直线的解析式为，
由得，或，∴；
过点作，点在抛物线上，则，
∵直线的解析式为，
设直线的解析式为，把代入得，，
∴直线的解析式为，
由得，或，
∴；
综上，存在点或，使得．时间（天）
售价（元件）
每天销售量（件）
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A组
8
84
58
75
64
62
78
86
64
53
56
68
B组
78
47
63
56
78
88
64
49
69
64
48
64
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
A组
8
53
56
58
62
64
64
68
75
78
84
86
B组
47
48
49
56
63
64
64
64
69
78
78
88
平均数
方差
中位数
众数
A组
63
415
64
64
B组
64
166
64
64