2026届衡水市重点中学中考联考数学试卷含解析

这是一份2026届衡水市重点中学中考联考数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，方程＝的解为等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与○O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为( )
A．15°B．35°C．25°D．45°
2．下列计算正确的是()
A．2x2－3x2＝x2B．x＋x＝x2C．－(x－1)＝－x＋1D．3＋x＝3x
3．据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27，30，29，25，26，28，29，那么这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．25和30B．25和29C．28和30D．28和29
4．下列判断错误的是（ ）
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形D．四条边都相等的四边形是菱形
5．如图的几何体是由一个正方体切去一个小正方体形成的，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
6．方程＝的解为( )
A．x＝3B．x＝4C．x＝5D．x＝﹣5
7．某几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，其主视图与左视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体最少有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
8．如图，某计算机中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．
(1)．：将荧幕显示的数变成它的正平方根，例如：荧幕显示的数为49时，按下后会变成1．
(2)．：将荧幕显示的数变成它的倒数，例如：荧幕显示的数为25时，按下后会变成0.2．
(3)．：将荧幕显示的数变成它的平方，例如：荧幕显示的数为6时，按下后会变成3．
若荧幕显示的数为100时，小刘第一下按，第二下按，第三下按，之后以、、的顺序轮流按，则当他按了第100下后荧幕显示的数是多少（ ）
A．0.01B．0.1C．10D．100
9．如果解关于x的分式方程时出现增根，那么m的值为
A．-2B．2C．4D．-4
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有( )
A．1对B．2对C．3对D．4对
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11．函数自变量x的取值范围是 _____.
12．如图，网格中的四个格点组成菱形ABCD，则tan∠DBC的值为___________ .
13．方程组的解是________．
14．若分式方程有增根，则m的值为______．
15．如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E，F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为__________．
16．将多项式xy2﹣4xy+4y因式分解：_____．
17．百子回归图是由 1，2，3，…，100 无重复排列而成的正方形数表，它是一部数化的澳门简史，如：中央四 位“19 99 12 20”标示澳门回归日期，最后一行中间两 位“23 50”标示澳门面积，…，同时它也是十阶幻方， 其每行 10 个数之和、每列 10 个数之和、每条对角线10 个数之和均相等，则这个和为______．
百 子 回 归
三、解答题（共7小题，满分69分）
18．（10分）如图，已知，，．求证：．
19．（5分）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为直角边在AD右侧作等腰三角形ADE，使∠DAE=90°，连接CE．
探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD．
应用：在探究的条件下，若AB=，CD=1，则△DCE的周长为 ．
拓展：（1）如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 ．
（2）如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC、CD、CE之间的数量关系为 ．
20．（8分）三辆汽车经过某收费站下高速时，在2个收费通道A，B中，可随机选择其中的一个通过．
（1）三辆汽车经过此收费站时，都选择A通道通过的概率是 ；
（2）求三辆汽车经过此收费站时，至少有两辆汽车选择B通道通过的概率．
21．（10分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+2）x+2（a≠0），与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点P（m，0）（0＜m＜4），过点P作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PN：PM＝1：4，求m的值；
（3）如图2，在（2）的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段OP1绕点O逆时针旋转得到OP2，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接AP2、BP2，求AP2+的最小值．
22．（10分）先化简，再求值：﹣1，其中a=2sin60°﹣tan45°，b=1．
23．（12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC，AB于点E，F．
（1）若∠B=30°，求证：以A，O，D，E为顶点的四边形是菱形；
（2）填空：若AC=6，AB=10，连接AD，则⊙O的半径为 ，AD的长为 ．
24．（14分）如图，直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，﹣1），点D在劣弧OA上，连接BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO．
（1）请直接写出⊙M的直径，并求证BD平分∠ABO；
（2）在线段BD的延长线上寻找一点E，使得直线AE恰好与⊙M相切，求此时点E的坐标．
参考答案
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）
1、A
【解析】
根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠A =50°，再根据平行线的性质可得∠ACD=∠A=50°，由圆周角定理可行∠D=∠A=50°，再根据三角形内角和定理即可求得∠DBC的度数.
【详解】
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=65°，
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°，
∵DC//AB，
∴∠ACD=∠A=50°，
又∵∠D=∠A=50°，
∴∠DBC=180°-∠D -∠BCD=180°-50°-（65°+50°）=15°，
故选A.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理等，熟练掌握相关内容是解题的关键.
2、C
【解析】
根据合并同类项法则和去括号法则逐一判断即可得．
【详解】
解：A．2x2-3x2=-x2，故此选项错误；
B．x+x=2x，故此选项错误；
C．-（x-1）=-x+1，故此选项正确；
D．3与x不能合并，此选项错误；
故选C．
【点睛】
本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键．
3、D
【解析】
【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.
【详解】对这组数据重新排列顺序得，25，26，27，28，29，29，30，
处于最中间是数是28，
∴这组数据的中位数是28，
在这组数据中，29出现的次数最多，
∴这组数据的众数是29，
故选D．
【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.
4、C
【解析】
根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，对选项进行判断即可
【详解】
解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确；
B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项正确；
C、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误；
D、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确．
故选C
【点睛】
此题综合考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定法则才是解题关键
5、D
【解析】
试题分析：根据三视图的法则可知B为俯视图，D为主视图，主视图为一个正方形.
6、C
【解析】
方程两边同乘（x-1）(x+3)，得
x+3-2(x-1)=0，
解得：x=5，
检验：当x=5时，（x-1）(x+3)≠0，
所以x=5是原方程的解，
故选C.
7、B
【解析】
由主视图和左视图确定俯视图的形状，再判断最少的正方体的个数．
【详解】由主视图和左视图可确定所需正方体个数最少时俯视图（数字为该位置小正方体的个数）为：
则搭成这个几何体的小正方体最少有5个，
故选B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，根据主视图和左视图画出所需正方体个数最少的俯视图是关键．
【详解】
请在此输入详解！
【点睛】
请在此输入点睛！
8、B
【解析】
根据题中的按键顺序确定出显示的数即可．
【详解】
解：根据题意得： =40，
=0.4，
0.42=0.04，
=0.4，
=40，
402=400，
400÷6=46…4，
则第400次为0.4．
故选B．
【点睛】
此题考查了计算器﹣数的平方，弄清按键顺序是解本题的关键．
9、D
【解析】
，去分母，方程两边同时乘以(x﹣1)，得：
m+1x=x﹣1，由分母可知，分式方程的增根可能是1．
当x=1时，m+4=1﹣1，m=﹣4，
故选D．
10、C
【解析】
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴△ABC∽△ACD，
△ACD∽CBD，
△ABC∽CBD，
所以有三对相似三角形．
故选C．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）
11、x≥1且x≠1
【解析】
根据分式成立的条件，二次根式成立的条件列不等式组，从而求解.
【详解】
解：根据题意得：，
解得x≥1，且x≠1，
即：自变量x取值范围是x≥1且x≠1．
故答案为x≥1且x≠1．
【点睛】
本题考查函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．
12、3
【解析】
试题分析：如图，连接AC与BD相交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BO=BD，CO=AC，由勾股定理得，AC==，BD==，所以，BO==，CO==，所以，tan∠DBC===3．故答案为3．
考点：3．菱形的性质；3．解直角三角形；3．网格型．
13、
【解析】
利用加减消元法进行消元求解即可
【详解】
解：
由①+②，得
3x=6
x=2
把x=2代入①，得
2+3y=5
y=1
所以原方程组的解为：
故答案为：
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法，用适当的方法解二元一次方程组是解题的关键.
14、-1
【解析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】
方程两边都乘（x-1），得
x-1（x-1）=-m
∵原方程增根为x=1，
∴把x=1代入整式方程，得m=-1，
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15、
【解析】
分析：延长AE交DF于G，再根据全等三角形的判定得出△AGD与△ABE全等，得出AG=BE=4，由AE=3，得出EG=1，同理得出GF=1，再根据勾股定理得出EF的长．
详解：延长AE交DF于G，如图， ∵AB=5，AE=3，BE=4，
∴△ABE是直角三角形，
同理可得△DFC是直角三角形，可得△AGD是直角三角形，
∴∠ABE+∠BAE=∠DAE+∠BAE，∴∠GAD=∠EBA，
同理可得：∠ADG=∠BAE．
在△AGD和△BAE中，∵，
∴△AGD≌△BAE（ASA），
∴AG=BE=4，DG=AE=3，∴EG=4﹣3=1，
同理可得：GF=1，∴EF=．
故答案为．

点睛：本题考查了正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出EG=FG=1，再利用勾股定理计算．
16、y（xy﹣4x+4）
【解析】
直接提公因式y即可解答.
【详解】
xy2﹣4xy+4y=y（xy﹣4x+4）．
故答案为：y（xy﹣4x+4）．
【点睛】
本题考查了因式分解——提公因式法，确定多项式xy2﹣4xy+4y的公因式为y是解决问题的关键.
17、505
【解析】
根据已知得：百子回归图是由1，2，3…，100无重复排列而成，先计算总和；又因为一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和=总和÷10，代入求解即可．
【详解】
1～100的总和为： =5050，
一共有10行，且每行10个数之和均相等，所以每行10个数之和为：n=5050÷10=505，
故答案为505.
【点睛】
本题是数字变化类的规律题，是常考题型；一般思路为：按所描述的规律从1开始计算，从计算的过程中慢慢发现规律，总结出与每一次计算都符合的规律，就是最后的答案
三、解答题（共7小题，满分69分）
18、证明见解析．
【解析】
根据等式的基本性质可得，然后利用SAS即可证出，从而证出结论．
【详解】
证明：，
，
即，
在和中，
，
，
．
【点睛】
此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用SAS判定两个三角形全等和全等三角形的对应边相等是解决此题的关键．
19、探究：证明见解析；应用：；拓展：（1）BC= CD-CE，（2）BC= CE-CD
【解析】
试题分析：探究：判断出∠BAD=∠CAE，再用SAS即可得出结论；
应用：先算出BC，进而算出BD，再用勾股定理求出DE，即可得出结论；
拓展：（1）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论；
（2）同探究的方法得出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，即可得出结论．
试题解析：探究：∵∠BAC=90°，∠DAE=90°，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠CAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE．
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE．
∵BC=BD+CD，
∴BC=CE+CD．
应用：在Rt△ABC中，AB=AC=，
∴∠ABC=∠ACB=45°，BC=2，
∵CD=1，
∴BD=BC-CD=1，
由探究知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=90°，
在Rt△BCE中，CD=1，CE=BD=1，
根据勾股定理得，DE=，
∴△DCE的周长为CD+CE+DE=2+
故答案为2+
拓展：（1）同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=CD-BD=CD-CE，
故答案为BC=CD-CE；
（2）同探究的方法得，△ABD≌△ACE．
∴BD=CE
∴BC=BD-CD=CE-CD，
故答案为BC=CE-CD．
20、（1）；（2）
【解析】
（1）用树状图分3次实验列举出所有情况，再看3辆车都选择A通道通过的情况数占总情况数的多少即可；
（2）由（1）可知所有可能的结果数目，再看至少有两辆汽车选择B通道通过的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】
解：（1）画树状图得：
共8种情况，甲、乙、丙三辆车都选择A通道通过的情况数有1种，
所以都选择A通道通过的概率为，
故答案为：；
（2）∵共有8种等可能的情况，其中至少有两辆汽车选择B通道通过的有4种情况，
∴至少有两辆汽车选择B通道通过的概率为．
【点睛】
考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
21、（1）；（2）m＝3；（3）
【解析】
（1）本题需先根据图象过A点，代入即可求出解析式；（2）由△OAB∽△PAN可用m表示出PN，且可表示出PM，由条件可得到关于m的方程，则可求得m的值；（3）在y轴上取一点Q，使，可证的△P2OB∽△QOP2，则可求得Q点坐标，则可把AP2+BP2转换为AP2+QP2，利用三角形三边关系可知当A、P2、Q三点在一条线上时，有最小值，则可求出答案.
【详解】
解：（1）∵A（4，0）在抛物线上，
∴0＝16a+4（a+2）+2，解得a＝﹣，
∴抛物线的解析式为y＝；
（2）∵
∴令x＝0可得y＝2，
∴OB＝2，
∵OP＝m，
∴AP＝4﹣m，
∵PM⊥x轴，
∴△OAB∽△PAN，
∴，
∴，
∴，
∵M在抛物线上，
∴PM＝+2，
∵PN：MN＝1：3，
∴PN：PM＝1：4，
∴，
解得m＝3或m＝4（舍去）；
（3）在y轴上取一点Q，使，如图，
由（2）可知P1（3，0），且OB＝2，
∴，且∠P2OB＝∠QOP2，
∴△P2OB∽△QOP2，
∴，
∴当Q（0，）时，QP2＝，
∴AP2+BP2＝AP2+QP2≥AQ，
∴当A、P2、Q三点在一条线上时，AP2+QP2有最小值，
∵A（4，0），Q（0，），
∴AQ＝＝，
即AP2+BP2的最小值为
【点睛】
本题考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及线段和最小值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形，难度相对较大.
22、
【解析】
对待求式的分子、分母进行因式分解，并将除法化为乘法可得×-1，通过约分即可得到化简结果；先利用特殊角的三角函数值求出a的值，再将a、b的值代入化简结果中计算即可解答本题.
【详解】
原式=×-1
=-1
=
=，
当a═2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1，b=1时，
原式=.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值运算法则.
23、 (1) 见解析；（2）
【解析】
(1) 先通过证明△AOE为等边三角形, 得出AE=OD, 再根据“同位角相等, 两直线平行” 证明AE//OD, 从而证得四边形AODE是平行四边形, 再根据 “一组邻边相等的平行四边形为菱形” 即可得证．
(2) 利用在Rt△OBD中，sin∠B==可得出半径长度，在Rt△ＯＤＢ中BD=，可求得ＢＤ的长，由CD=CB﹣BD可得ＣＤ的长，在ＲＴ△ＡＣＤ中，AD=，即可求出AD长度．
【详解】
解：（1）证明：
连接OE、ED、OD，
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，
∴∠A=60°，
∵OA=OE，∴△AEO是等边三角形，
∴AE=OE=AO
∵OD=OA，
∴AE=OD
∵BC是圆O的切线，OD是半径，
∴∠ODB=90°，又∵∠C=90°
∴AC∥OD，又∵AE=OD
∴四边形AODE是平行四边形，
∵OD=OA
∴四边形AODE是菱形．
（2）
在Rt△ABC中，∵AC=6，AB=10，
∴sin∠B==，BC=8
∵BC是圆O的切线，OD是半径，
∴∠ODB=90°，
在Rt△OBD中，sin∠B==，
∴OB=OD
∵AO+OB=AB=10，
∴OD+OD=10
∴OD=
∴OB=OD=
∴BD=
=5
∴CD=CB﹣BD=3
∴AD=
=
=3．
【点睛】
本题主要考查圆中的计算问题、 菱形以及相似三角形的判定与性质
24、（1）详见解析；（2）（，1）．
【解析】
（1）根据勾股定理可得AB的长，即⊙M的直径，根据同弧所对的圆周角可得BD平分∠ABO；
（2）作辅助构建切线AE，根据特殊的三角函数值可得∠OAB=30°，分别计算EF和AF的长，可得点E的坐标．
【详解】
（1）∵点A（，0）与点B（0，﹣1），
∴OA=，OB=1，
∴AB==2，
∵AB是⊙M的直径，
∴⊙M的直径为2，
∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
即BD平分∠ABO；
（2）如图，过点A作AE⊥AB于E，交BD的延长线于点E，过E作EF⊥OA于F，即AE是切线，
∵在Rt△ACB中，tan∠OAB=，
∴∠OAB=30°，
∵∠ABO=90°，
∴∠OBA=60°，
∴∠ABC=∠OBC==30°，
∴OC=OB•tan30°=1×，
∴AC=OA﹣OC=，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC=，
∴AF=AE=，EF==1，
∴OF=OA﹣AF=，
∴点E的坐标为（，1）．
【点睛】
此题属于圆的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．