湖北省随州市重点高中2025-2026学年高二下学期5月月考试卷 数学（含解析）

这是一份湖北省随州市重点高中2025-2026学年高二下学期5月月考试卷 数学（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知随机变量的分布列如表所示，则（ ）
A．B．0C．D．
2．在的展开式中，的系数为（ ）．
A．120B．80C．40D．
3．已知一个圆柱形空杯，其底面直径为，高为，现向杯中注入溶液，已知注入溶液的体积（单位：）关于时间（单位：）的函数为，不考虑注液过程中溶液的流失，则当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为（ ）
A．B．C．D．
4．某块农田上播种的一等小麦种子中含有的二等种子.已知一等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上麦粒的概率为0.5，若在该块农田种出的小麦中，有的麦穗含有50颗以上麦粒，则二等小麦种子结出的麦穗每穗含有50颗以上的麦粒的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．现有3本完全相同的书籍进行现场拍卖，有9位竞拍者，每人可以重复竞拍，则不同的竞拍结果有（ ）
A．84种B．129种C．156种D．165种
6．已知，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知由一组样本数据确定的经验回归方程为，且.发现有两对数据与误差较大，去掉这两对数据后重新求得经验回归方程为，则（ ）
A．2B．1.6C．7.4D．0.8
8．设数列的前n项和，数列的前m项和，则m的值为（ ）
A．8B．10C．12D．20
二、多选题
9．下列命题中，正确的命题有（ ）
A．利用最小二乘法，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心
B．设随机变量，则
C．天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为
D．在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．是的极值点
B．时，有3个零点
C．时，
D．时，过原点可作两条不同直线与图象相切
11．在平面直角坐标系中，已知曲线：，则（ ）
A．过点可作两条直线与曲线相切
B．曲线是某个函数的图象
C．过曲线上一点作与的垂线，垂足分别为，，则四边形面积的最大值为2
D．曲线上存在两个不同的点、，使得线段被点平分
三、填空题
12．已知随机变量X服从正态分布且，则__________
13．已知抛物线与椭圆相交于A，B两点，若，则______.
14．已知是函数的切线，则的最小值为______．
四、解答题
15．如图，在三棱锥中，平面，，分别是棱，，的中点，，．
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求点到平面的距离．
16．某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为.
(1)设4名射击手击中目标的人数为，当时，求的数学期望与方差；
(2)若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值.
17．函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有最大值M，且，求a的值．
18．已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前项积；
(3)记，求数列的前20项和．
19．一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球.
(1)求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率；
(2)停止摸球时，记总的摸球次数为，求的分布列与数学期望；
(3)若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复次这样操作后，设甲袋子中恰有1个红球的概率为，求.
0
1
参考答案
1．A
【详解】解：由题意可得：，解得．
所以．
故选：A．
2．D
【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为：
.
令，可得，此时与相乘可得的系数为-80；
令，可得，此时与相乘可得的系数为40；
所以的系数为.
3．B
【详解】由题意杯子的底面面积，
则杯中溶液上升高度，
则，
当时，，
即当时杯中溶液上升高度的瞬时变化率为.
故选：B.
4．B
【详解】设“二等小麦种子结出的麦穗每穗含有颗以上的麦粒”的概率为，麦穗含有颗以上麦粒为事件，种子为一等种子为事件，种子为二等种子为事件
根据题目条件可知，，，，
根据全概率公式，可得，解得.
5．D
【详解】3本都给1个人：共种；
3本分为1本和2本，分给2个人：选2个不同竞拍者并分配数量，共种；
3本分给3个人，每人1本：选3个不同竞拍者，共种；
总结果数：种.
6．A
【详解】因为，所以，
.
故选：A.
7．C
【详解】根据可知，因此经验回归方程必过，
易知去掉与的两组数据的平均值为，则剩余数据均值不变，
因此新求得经验回归方程也过，
即可得，解得.
故选：C
8．A
【详解】由，
又，
则，
又时，，则.
则，
则.
令.
故选：A
9．ABD
【详解】A选项：由最小二乘法求线性回归直线的过程可知，由样本数据得到的回归直线必过样本点的中心，故选项A正确；
B选项：因为随机变量，所以，故选项B正确；
C选项：根据题目条件，可得这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为，故选项C错误；
D选项：在线性回归模型中，由的计算过程可知，越接近于1，表示回归的效果越好，故选项D正确.
故选：ABD.
10．AC
【详解】函数的定义域为R，求导得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
A，函数在处取得极大值，在取得极小值，因此是的极值点，A正确；
B，，，由三次函数的性质知，
当且仅当且，即时，函数有3个零点，B错误；
C，当时，，，C正确；
D，当时，，设切点坐标为，
切线方程为，
由切线过原点，得，整理得，
令，求导得，
由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
函数有唯一零点，因此过原点只能作一条直线与图象相切，D错误.
11．BCD
【详解】对于：，
当，方程为，曲线在第一象限的部分为的图象；
当，方程变为，无解，曲线不经过第二象限；
当，方程变为，曲线在第三象限的部分为的图象；
当，方程变为，曲线在第四象限的部分为的图象.
A选项：由图知曲线分布在第一、三、四象限，易知在第四象限过点无法作曲线的切线，
而在第一象限，由，设切点为，则切线方程为，
将代入上式，可得，化简得，该方程显然无解，
所以在第一象限也无法作出曲线的切线，同理在第三象限也作不出切线，故A错误；
B选项：由上分析，可知当时，，当，，
当，，所以该曲线是一个分段函数的图象，故B正确；
C选项：如图，因在曲线上，则其到和的距离之积即为四边形的面积，
设，由距离公式得的面积为，
在曲线的第一象限部分，因，则；
在曲线的第四象限部分，因，则，
因为，所以时，取得最大值；
在曲线的第三象限部分，由，则.
综上分析，的最大值为，故C正确；
D选项：点在第一象限，不妨设都在第一象限，
由为的中点，可得，
，两式相减得，
则，则直线的方程为，
联立消元可得，即
因，且，且，
故存在这样的线段被点平分，故D正确.
12．0.4
【详解】因为随机变量X服从正态分布，
所以正态曲线关于对称，
因为，
所以，
所以，
故答案为：0.4
13．/
【详解】由椭圆和抛物线的对称性，知轴，且关于轴对称，
不妨设，则，，
由可知，代入得，即，
再将代入可得，解得.
故答案为：.
14．
【详解】根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），
函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，
则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，
又由切线的方程为y＝kx+b，
则k1，b＝lnm﹣1，
则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，
设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），
在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，
在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，
则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；
故答案为ln2+2．
15．(1)
(2)
【详解】（1）依题意：以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
又分别是棱，，的中点，，．
所以,
所以有：，
设平面的法向量为，则有
所以，令，有，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）因为，由（1）有平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为：.
16．(1)，
(2)
【详解】（1）四人互不影响地同时对同一目标进行射击，可以看成4次独立重复试验，且，
.
（2）依题意有
又.所以在区间上单调递增，
17．（1）答案见解析；（2）1
【详解】解：（1）易知，，
当时对任意的恒成立；
当时，若，得，若，得，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
（2）由（1）可得当时，单调递增，则没有最大值，，
则在上单调递增，在上单调递减，
，即，
，，即，
令，
，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
，
，
，.
18．(1)
(2)
(3)3120
【详解】（1）是首项为0的等差数列，，，，
又是等比数列，，
，即
，，即
，解得，
是等差数列，
当时，,
，即为定值，
数列为首项，公比的等比数列
的通项公式为.
（2），
（3），
，
，时，
即是首项为1，公差为4的等差数列，
令，
则
记的前n项和为，
，
数列的前20项和为3120．
19．(1)
(2)分布列见解析，
(3)
【详解】（1）依题意停止时恰好取了4次，前3次为2个黑球1个红球，第4次为红球，
其概率为.
（2）依题意.
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
故分布列为：
期望.
（3）依题意有甲袋始终有4个小球，重复次这样操作后，记甲袋子中恰有2个红球的概率为，恰有0个红球的概率为，则.
令，
即数列是以为首项，公比为的等比数列，
.当时满足等式.
X
2
3
4
5
6
7
P