2026届广西陆川县中考考前最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届广西陆川县中考考前最后一卷数学试卷含解析，共7页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，点P，如图，的负倒数是等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为△BC′E′．当线段BE′和线段BC′都与线段AD相交时，设交点分别为F，G．若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为（ ）
A．B．C．D．
2．不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
3．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为 ，，，，则四人中成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．如图，嘉淇同学拿20元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵3元，请你仔细看图，1本笔记本和1支笔的单价分别为( )
A．5元，2元B．2元，5元
C．4.5元，1.5元D．5.5元，2.5元
5．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．对于一条直线，当它与一个圆的公共点都是整点时，我们把这条直线称为这个圆的“整点直线”．已知⊙O是以原点为圆心，半径为 圆，则⊙O的“整点直线”共有（ ）条
A．7B．8C．9D．10
6．在平面直角坐标系中，点P（m﹣3，2﹣m）不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．观察下列图案，是轴对称而不是中心对称的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图： 在中，平分，平分，且交于，若，则等于（ ）
A．75B．100 C．120 D．125
9．的负倒数是（ ）
A．B．-C．3D．﹣3
10．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有( )
A．5个B．4个C．3个D．2个
11．如图，⊙O 是等边△ABC 的外接圆，其半径为 3，图中阴影部分的面积是（ ）
A．πB．C．2πD．3π
12．当x=1时，代数式x3+x+m的值是7，则当x=﹣1时，这个代数式的值是（ ）
A．7B．3C．1D．﹣7
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．已知抛物线y=，那么抛物线在y轴右侧部分是_________（填“上升的”或“下降的”）．
14．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米精确到1米
15．因式分解：3a3﹣3a=_____．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝2，点E在AD边上，以E为圆心，EA长为半径的⊙E与BC相切，交CD于点F，连接EF．若扇形EAF的面积为，则BC的长是_____．
17．计算：21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝7，24﹣1＝15，25﹣1＝31，归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测22019﹣1的个位数字是_____．
18．如图，直线y=x，点A1坐标为（1，0），过点A1作x轴的垂线交直线于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，……按此作法进行去，点Bn的纵坐标为 (n为正整数)．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC．
求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：如图2，
（1）分别以点B和点C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧相交于点E；
（2）作直线AE交BC边于点D．所以线段AD就是所求作的高．
请回答：该尺规作图的依据是______．
20．（6分）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD，再将△ACD沿DB方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点D′未到达点B时，A′C′交CD于E，D′C′交CB于点F，连接EF，当四边形EDD′F为菱形时，试探究△A′DE的形状，并判断△A′DE与△EFC′是否全等？请说明理由．
21．（6分）某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？
22．（8分）若两个不重合的二次函数图象关于轴对称，则称这两个二次函数为“关于轴对称的二次函数”.
（1）请写出两个“关于轴对称的二次函数”；
（2）已知两个二次函数和是“关于轴对称的二次函数”，求函数的顶点坐标（用含的式子表示）.
23．（8分）解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式的解集为 ．
24．（10分）在我校举办的“读好书、讲礼仪”活动中，各班积极行动，图书角的新书、好书不断增多，除学校购买的图书外，还有师生捐献的图书，下面是九（1）班全体同学捐献图书情况的统计图（每人都有捐书）．
请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题：该班有学生多少人？补全条形统计图．九（1）班全体同学所捐图书是 6 本的人数在扇形统计图中所对应扇形的圆心角为多少度？请你估计全校 2000 名学生所捐图书的数量．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+m与双曲线y＝﹣相交于点A（m，2）．
（1）求直线y＝kx+m的表达式；
（2）直线y＝kx+m与双曲线y＝﹣的另一个交点为B，点P为x轴上一点，若AB＝BP，直接写出P点坐标．
26．（12分）如图,甲、乙用4张扑克牌玩游戏,他俩将扑克牌洗匀后背面朝上,放置在桌面上,每人抽一张,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回.甲、乙约定:只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜;否则乙胜.请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同 .
27．（12分）如图（1），P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点 P 叫做△ABC 的费马点．
（1）如果点 P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC=60°．
①求证：△ABP∽△BCP；
②若 PA=3，PC=4，则 PB= ．
（2）已知锐角△ABC，分别以 AB、AC 为边向外作正△ABE 和正△ACD，CE 和 BD相交于 P 点．如图（2）
①求∠CPD 的度数；
②求证：P 点为△ABC 的费马点．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、A
【解析】
先在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD=5，在Rt△ABF中利用勾股定理求出BF=，则AF=4-=．再过G作GH∥BF，交BD于H，证明GH=GD，BH=GH，设DG=GH=BH=x，则FG=FD-GD=-x，HD=5-x，由GH∥FB，得出=，即可求解．
【详解】
解：在Rt△ABD中，∵∠A=90°，AB=3，AD=4，
∴BD=5，
在Rt△ABF中，∵∠A=90°，AB=3，AF=4-DF=4-BF，
∴BF2=32+（4-BF）2，
解得BF=，
∴AF=4-=．
过G作GH∥BF，交BD于H，
∴∠FBD=∠GHD，∠BGH=∠FBG，
∵FB=FD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴∠FDB=∠GHD，
∴GH=GD，
∵∠FBG=∠EBC=∠DBC=∠ADB=∠FBD，
又∵∠FBG=∠BGH，∠FBG=∠GBH，
∴BH=GH，
设DG=GH=BH=x，则FG=FD-GD=-x，HD=5-x，
∵GH∥FB，
∴ =，即=，
解得x=．
故选A．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，准确作出辅助线是解题关键．
2、A
【解析】
分别求得不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，表示在数轴上即可.
【详解】
解不等式①得，x>1；
解不等式②得，x>2；
∴不等式组的解集为：x≥2，
在数轴上表示为：
故选A.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的解法，正确求得不等式组中每个不等式的解集是解决问题的关键.
3、D
【解析】
根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．
【详解】
∵0.45＜0.51＜0.62，
∴丁成绩最稳定，
故选D．
【点睛】
此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．
4、A
【解析】
可设1本笔记本的单价为x元，1支笔的单价为y元，由题意可得等量关系：①3本笔记本的费用+2支笔的费用=19元，②1本笔记本的费用﹣1支笔的费用=3元，根据等量关系列出方程组，再求解即可．
【详解】
设1本笔记本的单价为x元，1支笔的单价为y元，依题意有：
，解得：．
故1本笔记本的单价为5元，1支笔的单价为2元．
故选A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系设出未知数，列出方程组．
5、D
【解析】
试题分析：根据圆的半径可知：在圆上的整数点为(2，2)、(2，-2)，(-2，-2)，(-2，2)这四个点，经过任意两点的“整点直线”有6条，经过其中的任意一点且圆相切的“整点直线”有4条，则合计共有10条.
6、A
【解析】
分点P的横坐标是正数和负数两种情况讨论求解．
【详解】
①m-3＞0，即m＞3时，
2-m＜0，
所以，点P（m-3，2-m）在第四象限；
②m-3＜0，即m＜3时，
2-m有可能大于0，也有可能小于0，
点P（m-3，2-m）可以在第二或三象限，
综上所述，点P不可能在第一象限．
故选A．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
7、A
【解析】
试题解析：试题解析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断可得：
A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选A.
点睛：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心．
8、B
【解析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．
【详解】
解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ACB，∠ACF=∠ACD，即∠ECF=（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴△EFC为直角三角形，
又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，
∴CM=EM=MF=5，EF=10，
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．
故选：B．
【点睛】
本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．
9、D
【解析】
根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，2×=1．再求出2的相反数即可解答．
【详解】
根据倒数的定义得：2×=1．
因此的负倒数是-2．
故选D．
【点睛】
本题考查了倒数，解题的关键是掌握倒数的概念.
10、C
【解析】
试题分析：过A作AE⊥BC于E，∵AB=AC=5，BC=8，∴BE=EC=4，∴AE=3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B，C），∴AE≤AD＜AB，即3≤AD＜5，∵AD为正整数，∴AD=3或AD=4，当AD=4时，E的左右两边各有一个点D满足条件，∴点D的个数共有3个．故选C．
考点：等腰三角形的性质；勾股定理．
11、D
【解析】
根据等边三角形的性质得到∠A=60°，再利用圆周角定理得到∠BOC=120°，然后根据扇形的面积公式计算图中阴影部分的面积即可．
【详解】
∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=2∠A=120°，
∴图中阴影部分的面积= =3π．
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心、圆周角定理及扇形的面积公式，求得∠BOC=120°是解决问题的关键．
12、B
【解析】
因为当x=1时，代数式的值是7，所以1+1+m=7，所以m=5，当x=-1时，=-1-1+5=3，
故选B．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、上升的
【解析】
∵抛物线y=x2-1开口向上，对称轴为x=0 (y 轴)，
∴在y 轴右侧部分抛物线呈上升趋势．
故答案为：上升的．
【点睛】
本题考查的知识点是二次函数的性质，解题的关键是熟练的掌握二次函数的性质.
14、
【解析】
由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就
是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
故有，
即，，．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：
15、3a（a+1）（a﹣1）．
【解析】
首先提取公因式3a，进而利用平方差公式分解因式得出答案．
【详解】
解：原式=3a（a2﹣1）
=3a（a+1）（a﹣1）．
故答案为3a（a+1）（a﹣1）．
【点睛】
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
16、1
【解析】
分析：设∠AEF=n°，由题意，解得n=120，推出∠AEF=120°，在Rt△EFD中，求出DE即可解决问题．
详解：设∠AEF=n°，
由题意，解得n=120，
∴∠AEF=120°，
∴∠FED=60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠D=90°，
∴∠EFD=10°，
∴DE=EF=1，
∴BC=AD=2+1=1，
故答案为1．

点睛：本题考查切线的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、直角三角形10度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17、1
【解析】
观察给出的数，发现个位数是循环的，然后再看2019÷4的余数，即可求解．
【详解】
由给出的这组数21﹣1＝1，22﹣1＝3，23﹣1＝1，24﹣1＝15，25﹣1＝31，…，
个位数字1，3，1，5循环出现，四个一组，
2019÷4＝504…3，
∴22019﹣1的个位数是1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查数的循环规律，确定循环规律，找准余数是解题的关键．
18、．
【解析】
寻找规律： 由直线y=x的性质可知，∵B2，B3，…，Bn是直线y=x上的点，
∴△OA1B1，△OA2B2，…△OAnBn都是等腰直角三角形，且
A2B2=OA2=OB1=OA1；
A3B3=OA3=OB2=OA2=OA1；
A4B4=OA4=OB3=OA3=OA1；
……
．
又∵点A1坐标为（1，0），∴OA1=1．∴，即点Bn的纵坐标为．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线
【解析】
利用作法和线段垂直平分线定理的逆定理可得到BC垂直平分AE,然后根据三角形高的定义得到AD为高
【详解】
解：由作法得BC垂直平分AE，
所以该尺规作图的依据为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．
故答案为到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；三角形的高的定义；两点确定一条直线．
【点睛】
此题考查三角形高的定义，解题的关键在于利用线段垂直平分线定理的逆定理求解.
20、△A′DE是等腰三角形；证明过程见解析.
【解析】
试题分析:当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．先证明CD=DA=DB，得到∠DAC=∠DCA，由AC∥A′C′即可得到∠DA′E=∠DEA′由此即可判断△DA′E的形状．由EF∥AB推出∠CEF=∠EA′D，∠EFC=∠A′D′C=∠A′DE，再根据A′D=DE=EF即可证明．
试题解析：当四边形EDD′F为菱形时，△A′DE是等腰三角形，△A′DE≌△EFC′．
理由：∵△BCA是直角三角形，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=DA=DB，
∴∠DAC=∠DCA，
∵A′C∥AC，
∴∠DA′E=∠A，∠DEA′=∠DCA，
∴∠DA′E=∠DEA′，
∴DA′=DE，
∴△A′DE是等腰三角形．
∵四边形DEFD′是菱形，
∴EF=DE=DA′，EF∥DD′，
∴∠CEF=∠DA′E，∠EFC=∠CD′A′，
∵CD∥C′D′，
∴∠A′DE=∠A′D′C=∠EFC，
在△A′DE和△EFC′中，
，
∴△A′DE≌△EFC′．
考点：1.菱形的性质；2.全等三角形的判定；3.平移的性质．
21、软件升级后每小时生产1个零件．
【解析】
分析：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+）x个零件，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合软件升级后节省的时间，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
详解：设软件升级前每小时生产x个零件，则软件升级后每小时生产（1+）x个零件，
根据题意得：，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
∴（1+）x=1．
答：软件升级后每小时生产1个零件．
点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22、（1）任意写出两个符合题意的答案，如：；（2），顶点坐标为
【解析】
（1）根据关于y轴对称的二次函数的特点，只要两个函数的顶点坐标根据y轴对称即可；
（2）根据函数的特点得出a=m，--=0， ，进一步得出m=a，n=-b，p=c，从而得到y1+y2=2ax2+2c，根据关系式即可得到顶点坐标．
【详解】
解：（1）答案不唯一，如；
（2）∵y1=ax2+bx+c和y2=mx2+nx+p是“关于y轴对称的二次函数”，
即a=m，--=0，，
整理得m=a，n=-b，p=c，
则y1+y2=ax2+bx+c+ax2-bx+c=2ax2+2c，
∴函数y1+y2的顶点坐标为（0，2c）．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与几何变换，得出变换的规律是解题的关键．
23、（1）x≤1；（1）x≥﹣1；（3）见解析；（4）﹣1≤x≤1.
【解析】
先求出不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】
解：（1）解不等式①，得x≤1，
（1）解不等式②，得x≥﹣1，
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
；
（4）原不等式组的解集为﹣1≤x≤1，
故答案为x≤1，x≥﹣1，﹣1≤x≤1．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．
24、（1）50；（2）详见解析；（3）36°；（4）全校2000名学生共捐6280册书．
【解析】
（1）根据捐2本的人数是15人，占30%，即可求出该班学生人数；
（2）根据条形统计图求出捐4本的人数为，再画出图形即可；
（3）用360°乘以所捐图书是6本的人数所占比例可得；
（4）先求出九（1）班所捐图书的平均数，再乘以全校总人数2000即可．
【详解】
（1）∵捐 2 本的人数是 15 人，占 30%，
∴该班学生人数为 15÷30%＝50 人；
（2）根据条形统计图可得：捐 4 本的人数为：50﹣（10+15+7+5）＝13；
补图如下；
（3）九（1）班全体同学所捐图书是 6 本的人数在扇形统计图中所对应扇形的圆
心角为 360°×＝36°．
（4）∵九（1）班所捐图书的平均数是；（1×10+2×15+4×13+5×7+6×5）÷50＝，
∴全校 2000 名学生共捐 2000×＝6280（本），
答：全校 2000 名学生共捐 6280 册书．
【点睛】
本题考查的是条形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，用到的知识点是众数、中位数、平均数．
25、（1）m＝﹣1；y＝﹣3x﹣1；（2）P1（5，0），P2（，0）．
【解析】
（1）将A代入反比例函数中求出m的值,即可求出直线解析式,
（2）联立方程组求出B的坐标,理由过两点之间距离公式求出AB的长,求出P点坐标,表示出BP长即可解题.
【详解】
解：（1）∵点A（m，2）在双曲线上，
∴m＝﹣1，
∴A（﹣1，2），直线y＝kx﹣1，
∵点A（﹣1，2）在直线y＝kx﹣1上，
∴y＝﹣3x﹣1．
（2） ，解得或，
∴B（，﹣3），
∴AB＝＝，设P（n，0），
则有（n﹣）2+32＝
解得n＝5或，
∴P1（5，0），P2（，0）．
【点睛】
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题,中等难度,联立方程组,会用两点之间距离公式是解题关键.
26、甲、乙获胜的机会不相同.
【解析】试题分析：先画出树状图列举出所有情况，再分别算出甲、乙获胜的概率，比较即可判断.
∴
∴甲、乙获胜的机会不相同.
考点：可能性大小的判断
点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握概率的求法，即可完成.
27、（1）①证明见解析；②；（2）①60°；②证明见解析；
【解析】
试题分析：（1）①根据题意，利用内角和定理及等式性质得到一对角相等，利用两角相等的三角形相似即可得证；
②由三角形ABP与三角形BCP相似，得比例，将PA与PC的长代入求出PB的长即可；
（2）①根据三角形ABE与三角形ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两个角为60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形ACE与三角形ABD全等，利用全等三角形的对应角相等得到∠1=∠2，再由对顶角相等，得到∠5=∠6，即可求出所求角度数；
②由三角形ADF与三角形CPF相似，得到比例式，变形得到积的恒等式，再由对顶角相等，利用两边成比例，且夹角相等的三角形相似得到三角形AFP与三角形CFD相似，利用相似三角形对应角相等得到∠APF为60°，由∠APD+∠DPC，求出∠APC为120°，进而确定出∠APB与∠BPC都为120°，即可得证．
试题解析：（1）证明：①∵∠PAB+∠PBA=180°﹣∠APB=60°，∠PBC+∠PBA=∠ABC=60°，
∴∠PAB=∠PBC，
又∵∠APB=∠BPC=120°，
∴△ABP∽△BCP，
②解：∵△ABP∽△BCP，
∴，
∴PB2=PA•PC=12，
∴PB=2；
（2）解：①∵△ABE与△ACD都为等边三角形，
∴∠BAE=∠CAD=60°，AE=AB，AC=AD，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△ACE和△ABD中，
，
∴△ACE≌△ABD（SAS），
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴∠CPD=∠6=∠5=60°；
②证明：∵△ADF∽△CFP，
∴AF•PF=DF•CF，
∵∠AFP=∠CFD，
∴△AFP∽△CDF．
∴∠APF=∠ACD=60°，
∴∠APC=∠CPD+∠APF=120°，
∴∠BPC=120°，
∴∠APB=360°﹣∠BPC﹣∠APC=120°，
∴P点为△ABC的费马点．
考点：相似形综合题