2025届江西省上饶市鄱阳县高三下学期一模考试数学试题含解析

这是一份2025届江西省上饶市鄱阳县高三下学期一模考试数学试题含解析，共12页。试卷主要包含了已知命题，若，，则的值为等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知实数集，集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．运行如图程序，则输出的S的值为（ ）

A．0B．1C．2018D．2017
4．记递增数列的前项和为.若，，且对中的任意两项与（），其和，或其积，或其商仍是该数列中的项，则（ ）
A．B．
C．D．
5．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为( )
A．B．C．D．
6．正项等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：函数的最小值为4. 给出下列命题：①；②；③；④，其中真命题的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
8．设，点，，，，设对一切都有不等式 成立，则正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
9．若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，则|a＋bi|＝( )．
A．B．C．D．5
11．年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人心抗击疫情.下图表示月日至月日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（ ）
A．月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势
B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，月下旬单日治愈人数超过确诊人数
C．月日至月日新增确诊人数波动最大
D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在月日左右达到峰值
12．若的展开式中的常数项为-12，则实数的值为（ ）
A．-2B．-3C．2D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．展开式中的系数为________．
14．已知两点，，若直线上存在点满足，则实数满足的取值范围是__________．
15．已知，则_____
16．已知矩形 ABCD，AB= 4 ，BC =3，以 A, B 为焦点，且 过 C, D 两点的双曲线的离心率为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在锐角三角形中，角的对边分别为．已知成等差数列，成等比数列．
（1）求的值；
（2）若的面积为求的值．
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点，点为抛物线上的动点．
（1）若的最小值为，求实数的值；
（2）设线段的中点为，其中为坐标原点，若，求的面积．
19．（12分）如图，在直三棱柱中，，，D，E分别为AB，BC的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求点到平面的距离.
20．（12分）设函数，是函数的导数.
（1）若，证明在区间上没有零点；
（2）在上恒成立，求的取值范围.
21．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
22．（10分）2019年9月26日，携程网发布《2019国庆假期旅游出行趋势预测报告》，2018年国庆假日期间，西安共接待游客1692.56万人次，今年国庆有望超过2000万人次，成为西部省份中接待游客量最多的城市.旅游公司规定：若公司某位导游接待旅客，旅游年总收人不低于40(单位：万元)，则称该导游为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙家旅游公司各有导游40名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：
（1）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高？
（2）从甲、乙两家公司旅游总收人在(单位：万元)的导游中，随机抽取3人进行业务培训，设来自甲公司的人数为，求的分布列及数学期望.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项.
【详解】
∵，
，
∴函数为奇函数，
∴排除选项A，B；
又∵当时，，
故选：C.
本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题.
2．A
【解析】
可得集合,求出补集,再求出即可.
【详解】
由,得,即,
所以,
所以.
故选:A
本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.
3．D
【解析】
依次运行程序框图给出的程序可得
第一次：，不满足条件；
第二次：，不满足条件；
第三次：，不满足条件；
第四次：，不满足条件；
第五次：，不满足条件；
第六次：，满足条件，退出循环．输出1．选D．
4．D
【解析】
由题意可得，从而得到，再由就可以得出其它各项的值，进而判断出的范围．
【详解】
解：，或其积，或其商仍是该数列中的项，
或者或者是该数列中的项，
又数列是递增数列，
，
，，只有是该数列中的项，
同理可以得到，，，也是该数列中的项，且有，
，或（舍，，
根据，，，
同理易得，，，，，，
，
故选：D．
本题考查数列的新定义的理解和运用，以及运算能力和推理能力，属于中档题．
5．A
【解析】
求出满足条件的正的面积，再求出满足条件的正内的点到顶点、、的距离均不小于的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案．
【详解】
满足条件的正如下图所示：
其中正的面积为，
满足到正的顶点、、的距离均不小于的图形平面区域如图中阴影部分所示，
阴影部分区域的面积为.
则使取到的点到三个顶点、、的距离都大于的概率是.
故选：A.
本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
6．B
【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为，得出，再由等比数列的性质可得.
【详解】
解：依题意、是函数的极值点，也就是的两个根
∴
又是正项等比数列，所以
∴.
故选：B
本题主要考查了等比数列下标和性质以应用，属于中档题.
7．A
【解析】
先由两直线垂直的条件判断出命题p的真假，由基本不等式判断命题q的真假，从而得出p,q的非命题的真假，继而判断复合命题的真假，可得出选项.
【详解】
已知对于命题，由得，所以命题为假命题；
关于命题，函数，
当时，，当即时，取等号，
当时，函数没有最小值，
所以命题为假命题.
所以和是真命题，
所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，所以真命题的个数为1个.
故选：A.
本题考查直线的垂直的判定和基本不等式的应用，以及复合命题的真假的判断，注意运用基本不等式时，满足所需的条件，属于基础题.
8．A
【解析】
先求得，再求得左边的范围，只需，利用单调性解得t的范围.
【详解】
由题意知sin，∴，
∴，随n的增大而增大，∴,
∴，即，又f(t)=在t上单增，f(2)= -10，
∴正整数的最小值为3.
本题考查了数列的通项及求和问题，考查了数列的单调性及不等式的解法，考查了转化思想，属于中档题.
9．A
【解析】
取，得到，取，则，计算得到答案.
【详解】
取，得到；取，则.
故.
故选：.
本题考查了二项式定理的应用，取和是解题的关键.
10．C
【解析】
试题分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根据复数相等的充要条件，有a＝－，b＝－1
所以|a＋bi|＝，选C
考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模
11．D
【解析】
根据新增确诊曲线的走势可判断A选项的正误；根据新增确诊曲线与新增治愈曲线的位置关系可判断B选项的正误；根据月日至月日新增确诊曲线的走势可判断C选项的正误；根据新增确诊人数的变化可判断D选项的正误.综合可得出结论.
【详解】
对于A选项，由图象可知，月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，A选项正确；
对于B选项，由图象可知，随着全国医疗救治力度逐渐加大，月下旬单日治愈人数超过确诊人数，B选项正确；
对于C选项，由图象可知，月日至月日新增确诊人数波动最大，C选项正确；
对于D选项，在月日及以前，我国新型冠状病毒肺炎新增确诊人数大于新增治愈人数，我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数不在月日左右达到峰值，D选项错误.
故选：D.
本题考查统计图表的应用，考查数据处理能力，属于基础题.
12．C
【解析】
先研究的展开式的通项，再分中，取和两种情况求解.
【详解】
因为的展开式的通项为，
所以的展开式中的常数项为：，
解得，
故选：C.
本题主要考查二项式定理的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．30
【解析】
先将问题转化为二项式的系数问题，利用二项展开式的通项公式求出展开式的第项，令的指数分别等于2，4，求出特定项的系数．
【详解】
由题可得：展开式中的系数等于二项式展开式中的指数为2和4时的系数之和，
由于二项式的通项公式为，
令，得展开式的的系数为，
令，得展开式的的系数为，
所以展开式中的系数，
故答案为30.
本题考查利用二项式展开式的通项公式解决二项展开式的特定项的问题，考查学生的转化能力，属于基础题．
14．
【解析】
问题转化为求直线与圆有公共点时，的取值范围，利用数形结合思想能求出结果．
【详解】
解：直线，点，，
直线上存在点满足，
的轨迹方程是．
如图，直线与圆有公共点，
圆心到直线的距离：
，
解得．
实数的取值范围为．
故答案为：．
本题主要考查直线方程、圆、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档题．
15．
【解析】
化简得，利用周期即可求出答案．
【详解】
解：，
∴函数的最小正周期为6，
∴，
，
故答案为：．
本题主要考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
16．2
【解析】
根据为焦点，得；又求得，从而得到离心率.
【详解】
为焦点
在双曲线上，则
又
本题正确结果：
本题考查利用双曲线的定义求解双曲线的离心率问题，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）.
【解析】
(1)根据成等差数列与三角形内角和可知,再利用两角和的正切公式,代入化简可得,同理根据三角形内角和与余弦的两角和公式与等比数列的性质可求得,联立即可求解求的值.
(2)由(1)可知,再根据同角三角函数的关系与正弦定理可求得,再结合的面积为利用面积公式求解即可.
【详解】
解：成等差数列,
可得
而,即,展开化简得
,因为,故
①
又成等比数列,
可得,
即,
可得
联立解得（负的舍去）,
可得锐角；
由可得,
由为锐角,
解得,
因为为锐角,故可得,
由正弦定理可得,
又的面积为
可得,
解得．
本题主要考查了等差等比中项的运用以及正切的和差角公式以及同角三角函数关系等.同时也考查了正弦定理与面积公式在解三角形中的运用,属于中档题.
18．（1）的值为或.（2）
【解析】
（1）分类讨论，当时，线段与抛物线没有公共点，设点在抛物线准线上的射影为，当三点共线时，能取得最小值，利用抛物线的焦半径公式即可求解；当时，线段与抛物线有公共点，利用两点间的距离公式即可求解.
（2）由题意可得轴且设，则，代入抛物线方程求出，再利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】
由题，，若线段与抛物线没有公共点，即时，
设点在抛物线准线上的射影为，
则三点共线时，
的最小值为，此时
若线段与抛物线有公共点，即时，
则三点共线时，的最小值为：
，此时
综上，实数的值为或.
因为，
所以轴且
设，则，代入抛物线的方程解得
于是，
所以
本题考查了抛物线的焦半径公式、直线与抛物线的位置关系中的面积问题，属于中档题.
19．（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）通过证明面，即可由线面垂直推证面面垂直；
（2）根据面，将问题转化为求到面的距离，利用等体积法求点面距离即可.
【详解】
（1）因为棱柱是直三棱柱，所以
又，
所以面
又，分别为AB，BC的中点
所以//
即面
又面，所以平面平面
（2）由（1）可知////
所以//平面
即点到平面的距离等于点到平面的距离
设点到面的距离为
由（1）可知，面
且在中，，
易知
由等体积公式可知
即
由得
所以到平面的距离等于
本题考查由线面垂直推证面面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.
20．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）先利用导数的四则运算法则和导数公式求出，再由函数的导数可知，
函数在上单调递增，在上单调递减，而，，可知在区间上恒成立，即在区间上没有零点；
（2）由题意可将转化为，构造函数，
利用导数讨论研究其在上的单调性，由，即可求出的取值范围．
【详解】
（1）若，则，，
设，则，，
，故函数是奇函数．
当时，，，这时，
又函数是奇函数，所以当时，.
综上，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.
又，，
故在区间上恒成立，所以在区间上没有零点.
（2），由，所以恒成立，
若，则，设，
.
故当时，，又，所以当时，，满足题意；
当时，有，与条件矛盾，舍去；
当时，令，则，
又，故在区间上有无穷多个零点，
设最小的零点为，
则当时，，因此在上单调递增.
，所以.
于是，当时，，得，与条件矛盾.
故的取值范围是.
本题主要考查导数的四则运算法则和导数公式的应用，以及利用导数研究函数的单调性和最值，涉及分类讨论思想和放缩法的应用，难度较大，意在考查学生的数学建模能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．
21．（1）见解析；（2）
【解析】
(1) 取的中点,连接,根据中位线的方法证明四边形是平行四边形.再证明与从而证明平面,从而得到平面即可.
(2) 以所在的直线为轴建立空间直角坐标系,再求得平面的法向量与平面的法向量进而求得二面角的余弦值即可.
【详解】
（1）证明：如图,取的中点,连接.
又为的中点,则是的中位线.所以且.
又且,所以且.所以四边形是平行四边形.
所以.因为,为的中点,所以.
因为,所以.因为平面,所以.
又,所以平面.所以.
又,所以平面.又,所以平面.
（2）易知两两互相垂直,所以分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系：
因为,所以点.
则.设平面的法向量为,
由,得,
令,得平面的一个法向量为；显然平面的一个法向量为；
设二面角的大小为,则.
故二面角的余弦值是.
本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题,需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题.
22．（1），乙公司影响度高；（2）见解析，
【解析】
（1）利用各小矩形的面积和等于1可得a，由导游人数为40人可得b，再由总收人不低于40可计算出优秀率；
（2）易得总收入在中甲公司有4人，乙公司有2人，则甲公司的人数的值可能为1，2，3，再计算出相应取值的概率即可.
【详解】
（1）由直方图知，，解得，
由频数分布表中知：，解得.
所以，甲公司的导游优秀率为：，
乙公司的导游优秀率为：，
由于，所以乙公司影响度高.
（2）甲公司旅游总收入在中的有人，
乙公司旅游总收入在中的有2人，故的可能取值为1，2，3，易知：
，;
.
所以的分布列为：
.
本题考查频率分布直方图、随机变量的分布列与期望，考查学生数据处理与数学运算的能力，是一道中档题.
分组
频数
1
2
3
P