江西省2025届高三下学期2月一模考试数学试题 含解析

这是一份江西省2025届高三下学期2月一模考试数学试题 含解析，共21页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围， 化简， 已知点，直线， 已知双曲线等内容，欢迎下载使用。
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：高考范围.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若向量，，且，则（ ）
A. B. 45C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出，从而进一步求出.
【详解】因为，所以，解得，
故，
故.
故选：C.
2. 若，则（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法运算化简复数，再结合复数模的性质求解即可.
【详解】因为，
，
所以结合复数模的性质得，故A正确.
故选：A.
3. 满足的集合的个数为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】先分析得到集合应该包含的子集，再利用子集的性质求解即可.
【详解】因为，所以，
则必须包含和，也必须包含的子集才不影响结果，
又的子集共有8个，把每个子集与集合取并集都符合条件，
则符合条件的集合共有8个，故B正确.
故选：B.
4. 声音经济产业指的是围绕声音进行信息消费而引发的一切经济现象及行为.已知年中国声音经济产业市场规模（单位：千亿元）依次为：0.3，0.5，1.4，2.2，3.1，3.9，2.5，5，则这组数据的分位数为（ ）
A. 3.1B. 3.2C. 3.5D. 3.9
【答案】C
【解析】
【分析】利用百分位数的定义求解即可.
【详解】因为，所以该组数据的分位数为这组数据按照从小到大排列的第6个数（3.1）与第7个数（3.9）的平均数，
所以这组数据的分位数为.
故选：C.
5. 化简（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角和的正切公式结合诱导公式化简原式，求出结果即可.
【详解】由两角和的正切公式得
由诱导公式得，
则原式可化为，故D正确.
故选：D.
6. 若直线与幂函数，，的图象从左到右依次交于不同的三点，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求得交点的横坐标，比较大小可求.
【详解】当时，由，得；由，得；由，得.
因为，所以是关于的减函数.
又，所以，所以.
故选：A.
7. 已知点，直线：与抛物线：交于，两点，且，则直线的斜率之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由弦长公式求得，再结合斜率公式及韦达定理代入即可求解；
【详解】由题意知直线过的焦点，将与联立，
得，所以，，，
由抛物线定义可得.
又，解得，直线的斜率为，
直线DA与DB的斜率之和为，
所以直线的斜率之和为.
故选：B.
8. 已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点在该棱锥的高上，分别以，为球心作球，使得点，，，都在球的表面上，两球面的公共点的集合是以线段上一点为圆心，半径为的圆，则当球的半径为时，球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设球，的半径分别为，，设，求得，，进而求得，根据题意可得，求解即可.
【详解】由题意可得圆的半径为，设球，的半径分别为，，
设，则，，
，.
由题意，得，解得，，，
所以球的表面积为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：关键在于得到两球的半径所满足的关系式，从而求得球的半径.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知双曲线：与：，则与的（ ）
A. 离心率相等B. 渐近线相同C. 焦点坐标相同D. 焦距相等
【答案】AB
【解析】
【分析】利用双曲线与的方程，利用双曲线几何性质求得离心率，渐近线方程，焦点坐标，焦距可得结论.
【详解】由双曲线：，可得，所以的离心率是，
由双曲线：，可得，所以的离心率是，
所以与的离心率都是，故A正确；
的渐近线方程为，的渐近线方程是，故B正确；
与的焦点坐标分别为，，故C错误；
与的焦距分别为，，故D错误.
故选：AB.
10. 已知数列满足对任意正整数，恒有且，设，则（ ）
A. 中前个奇数的和为B. 前100项的和为10100
C. 不存在等差数列，使其前项和为D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由题意可得，可得是等差数列，可求通项公式，进而求得中前个奇数的和，可判断A；求得，计算的前100项的和，可判断B；假设存在，其前项和，利用的关系计算，可判断C；计算可求得，可判断D.
【详解】因为对任意正整数，，恒成立，
令，，得，所以，，
所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，
故，经检验符合题意.
中前个奇数的和为，故A错误；
所以，所以，
所以的前100项的和为
，故B正确；
假设存在，其前项和，则，
当时，，所以，，
所以不是等差数列，故C正确；
，，
所以，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，若存在，，使得在区间上的值域为，则（ ）
A. 的取值范围是B. 的取值范围是
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由题意可得，是方程的两个根，可得方程有2个不相等的正根，，利用一元二次方程根的分布得所满足的条件，求解可判断AB，利用基本不等式计算可判断CD.
【详解】由题意知在上单调递增，又在上的值域为，
所以，所以，是方程的两个根，
设，则，是方程的两个根，
因为，所以，所以方程有2个不相等的正根，，
所以，解得，故A正确，B错误.
由基本不等式，可得，
所以，故C正确；
，
因为，所以，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是得到方程有2个不相等的正根，，再结合一元二次方程根的分布即可得解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，若，则______.
【答案】0.2
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性，计算即可得答案.
【详解】因为，，
所以，
所以.
故答案为：.
13. 已知正四棱柱的底面边长为2，沿该棱柱的表面从点经过棱或棱上的一点到达点的最短距离为，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】设该棱柱的高为，利用点到达点的最短距离为，求得，过点作的平行线与交于点，或其补角就是AE与BD所成角，求解即可.
【详解】设该棱柱的高为，如图，若沿该棱柱表面从点经过棱上一点到达点的最短距离为，不满足题意；
从点经过棱上的一点到达点的最短距离为，解得.
因为，所以，所以，
过点作的平行线与交于点，
则或其补角就是AE与BD所成角，，，
所以.
故答案为：.
14. 已知函数（），将的图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是某个函数的图象，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】法一：设为的图象上任意一点，通过点的旋转得到旋转后的坐标，构造函数，由其单调性求解即可；
法二：求导，由讨论的单调性，结合旋转讨论；
【详解】法1：设为的图象上任意一点，
绕原点逆时针旋转后点的对应点为，
设，与正半轴夹角为，
可得：，
化简可得：令，则，
所以，令，
要使函数图像绕原点逆时针旋转后仍为某函数的图象，
则为单调函数，即恒成立，或恒成立.
因为，又，故不恒成立，所以恒成立，
当时，；当时，由，得，
令，则，
易得当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以；
当时，由，得，令，则，
所以在上单调递增，所以当时，的取值范围为，
所以.综上所述，的取值范围为.
法2：，当时，由，得，
由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
其图象大致如图1所示，绕原点逆时针旋转后，得到的曲线不是任何函数的图象；

当时，，其图象为轴，绕原点逆时针旋转后，为函数的图象，符合题意；
当时，由，得，由，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
其图象大致如图2所示，要使绕原点逆时针旋转后，
得到的曲线为某函数的图象，必有在上恒成立，
所以在上恒成立，令，则，
因为，所以当时，，
当时，，所以在上单调递减，
在上单调递增，所以，所以，
所以.综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：法二：要使绕原点逆时针旋转后，得到的曲线为某函数的图象，必有，得到在上恒成立；
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立.
（1）求的值及品种小麦千粒重的中位数；
（2）用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率.
【答案】（1），品种千粒重中位数为43.75g；
（2）.
【解析】
分析】（1）利用频率分布直方图求出及中位数.
（2）求出千粒重不低于45g的概率，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算即得.
【小问1详解】
由品种小麦的频率分布直方图，得，所以；
设品种小麦千粒重的中位数为，由品种小麦的频率分布直方图，
得，，则，
于是，解得，即品种千粒重的中位数为43.75g.
【小问2详解】
设事件，分别表示从，两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g，
事件表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则，
用频率估计概率，则，，
由，相互独立，所以
.
16. 如图，在中，的平分线与AB交于点，.
（1）求；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理结合二倍角的余弦公式求解余弦值即可.
（2）利用余弦定理结合同角三角函数的基本关系求出，再依据求出的长度，再利用余弦定理求出，最后用正弦定理求解结果即可.
【小问1详解】
如图，在中，由题意得，
设，则，，
则由余弦定理得，
因为是的平分线，所以，，
由二倍角公式得.
【小问2详解】
由（1）知，易得，
所以，
由余弦定理得，
结合诱导公式得，
在中，由正弦定理得，
因为，所以，，
由余弦定理得，
因为，所以，由正弦定理得.
17. 如图1，在面积为的等腰梯形ABCD中，，点为CD的中点，，，把与分别沿BE，AE折起，使点，重合于点，如图2.

（1）求证：；
（2）求直线PE与平面PAB所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）法一：由等腰梯形确定是正三角形，取AB的中点，得到，，即可求证；法二：作平面PMN，垂足为，以点为原点，在平面PMN内过点与PM垂直的直线为轴，过点与PM平行的直线为轴，直线OE为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法求证即可；
（2）法一：由（1）可确定点在平面PAB上射影在PF上，得到是直线PE与平面PAB所成的角.进而可求解；
法二：由（1）求得平面法向量，代入夹角公式即可求解；
【小问1详解】
证明：在面积为的等腰梯形ABCD中，因为，，
设梯形ABCD的高为，则，所以，
则，
所以是正三角形，.
在三棱锥中，，，
取AB的中点，连接PF，EF，则，，
因为，PF，平面PEF，所以平面PEF，
因为平面PEF，所以.
法二：在面积为的等腰梯形ABCD中，因为，，
设梯形ABCD的高为，则，所以，
则，
所以是正三角形，.
延长EA到，使得，延长EB到，使得，
连接PM，PN，MN，则四面体EPMN是棱长为2的正四面体.
作平面PMN，垂足为，以点为原点，在平面PMN内过点与PM垂直的直线为轴，
过点与PM平行的直线为轴，直线OE为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为，分别为EM，EN的中点，所以，.
（1）证明：，，
所以，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，平面，
因为平面，所以平面平面，
所以点在平面上的射影在PF上，
所以是直线与平面所成的角.
由（1）知是边长为1的正三角形，，，
在中，，
，
中，，
所以.
所以直线PE与平面PAB所成角的正弦值为.
法二：由（1）知，，，
设平面PAB的一个法向量，则即
令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，则.
即直线与平面所成角的正弦值为.
18. 已知椭圆：经过点，且离心率为.
（1）求的方程；
（2）若直线与交于点，，且线段的中点为，求的方程；
（3）过动点作的两条切线，切点分别为，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的离心率和通过的点建立方程，求出基本量，再得到椭圆方程即可.
（2）利用点差法结合中点坐标公式得到斜率，再利用点斜式得到直线方程即可.
（3）设切点坐标，联立切线与椭圆方程，消元后利用判别式为，可利用切点坐标表示，再把点坐标代入，即可得到过切点的一条直线方程，同理另一个切点坐标也适合，即可得出直线的方程，再求出直线所过定点即可.
【小问1详解】
由椭圆经过点，且离心率为，
得到，解得，，故的方程为.
【小问2详解】
设，，由题意得，
因为线段PQ的中点为，所以，，
因为，，两式相减得，
所以，即，解得，
即直线的斜率为，故的方程为，即.
【小问3详解】
如图，设，当时，
可设切线的方程为，，
将与联立，得，
则，即，
且，，
所以，，代入，得，
将的坐标代入，得.
当时，，；当时，，，
而满足.
设，同理可得，
则点，都在直线上，
故直线的方程为，即，
由得，故直线恒过定点.
【点睛】关键点点睛：求直线的方法是解题的关键，首先设切点，利用判别式结合切点坐标替换，是求直线方程关键技巧，再代入点坐标，可得出直线方程，进而求解定点即可.
19. 已知函数是区间上的可导函数，数列满足，若点与所在直线的斜率存在，且与的图象在处的切线斜率相等，则称为的“—和谐数列”.
（1）若，，是的“1—和谐数列＂，且，求；
（2）若，.
①判断在上单调性；
②若是的“—和谐数列”，且，求证：.
【答案】（1）
（2）①单调递增；②证明见解析
【解析】
【分析】(1)根据两点求斜率和求导求斜率，列出等式求出，根据等比数列定义和通项公式求；
(2)①对求导，利用导数求单调性即可；②通过和谐数列定义得出，设，对其求导分析单调性，设对其求导分析即可得结果.
【小问1详解】
由题意，得与所在直线的斜率为，
，的图像在处的切线斜率为，
所以，，
所以，又，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以，.
【小问2详解】
①因为，，所以，
设，则，
设，则，
所以在上单调递增，所以当时，，
所以，所以，即在上单调递增，且，
所以在上单调递增.
②证明：因为是的“—和谐数列”，所以，
设，则，
，，
因为在上单调递增，所以在上单调递增，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
设，，则，
所以，
令，则
由①知，且在上单调递增，
，所以，所以单调递减，
所以，所以在上单调递增，
所以，即，
取，得.
又，，在上单调递增，
所以，即，
所以.