湖北省武汉市武钢三中2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附解析）

这是一份湖北省武汉市武钢三中2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题（Word版附解析），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一个圆锥的高是，侧面积是，则该圆锥轴截面的周长为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用圆锥的高与母线、半径的关系，求出母线长和底面半径，进而得到轴截面周长为6.
【详解】设圆锥的母线长为，则底面半径为，
侧面积，解得，
则，故圆锥轴截面的周长为．
2. 如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据斜二测画法即可得解.
【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图，
且其中， ，
所以 ，
所以中，， ，
所以．
3. 设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中错误的为（ ）
①若，，，则 ②若，，则
③若，，则 ④若，，，则
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可．
【详解】对①：若，，则，因为，所以，所以①正确；
对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；
对③：由，可得可能平行，可能异面，③错误；
对④，若，，则，又，所以，④正确．
故选：C．
4. 记半径为R的球体的表面积和体积分别为和，记某底面半径为R的圆锥的表面积和体积分别为和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先设该圆锥的高为，根据球体与圆锥的表面积公式与体积公式列式，结合推得，代入所求式化简计算即得.
【详解】依题意，，设该圆锥的高为，则，.
由可得，化简得，
故.
5. 在直四棱柱中，底面为矩形，点为的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意得到该直四棱柱为长方体，通过平移直线找到异面直线所成角，结合直角三角形求解即可.
【详解】由题意直四棱柱中，底面为矩形，故该直四棱柱为长方体.
连接.
因为四边形为矩形，则，
所以或其补角即为异面直线与所成角，
长方体中，平面，
因为平面，所以.
因为，且，
则，
在中，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
6. 在中，内角所对的边分别为，若，的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式及正弦定理列式求解.
【详解】在中，由及的面积为，
得，即，解得，
由正弦定理，得，
因此，所以.
7. 四面体中，底面为等边三角形，，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意画出图形，求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案．
【详解】
如图所示，其中为四面体的外接球的球心，为底面三角形外接圆的圆心，
由于底面等边三角形的边长，
所以的外接圆半径，
由于底面，，所以四面体的外接球的球心在过点且垂直于底面的直线上，
且外接球的球心到底面的距离，
所以外接球的半径，
因此四面体的外接球的表面积为，故B正确.
8. 如图，点在二面角的棱上，分别在内引射线，使得,若，，则二面角的大小为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过点作，证得，得到，得出为二面角的平面角，设，求得，结合勾股定理得到，即可求解.
【详解】如图所示，过点作于点，连接，
因为，，且，
所以，所以，所以，
所以即为二面角的平面角，
设，在等腰直角和中，可得，
又因为，所以为等边三角形，所以，
所以，所以，
所以二面角的大小为.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. （多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（ ）
A. ，，三点共线B. ，，，四点共面
C. ，，，四点共面D. ，，，四点共面
【答案】AB
【解析】
【分析】利用平面的基本性质，通过寻找两个平面的公共点来确定交线，从而判断点共线或共面，再结合异面直线的判定方法分析其他选项.
【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面，
所以平面，所以是平面和平面的公共点．
同理可得，点和都是平面和平面的公共点，
所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确；
根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确；
根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确．
故选：AB．
10. 如图，在四棱锥中，四边形为矩形，平面，，，分别是，，的中点，则（ ）
A. 平面B. 平面
C. 平面平面D. 平面平面
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用线面平行的判定定理证明平面，判断A的真假；假设平面，可得，根据未必成立，可得假设错误，进而判断B时错误的；利用面面平行的判定定理证明平面平面，判断C的真假；利用面面垂直的判定定理证明平面平面，判断D的真假.
【详解】对A：因为分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.故A正确；
对B：假设平面成立，因为平面，所以，因为四边形为矩形，所以未必成立，所以假设错误.故B错误；
对C：因为分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
因为，平面，且，所以平面平面.故C正确；
对D：因为平面，平面，所以；
又因为四边形为矩形，所以，
因为，平面，且，所以平面，
又平面，所以平面平面，故D正确.
11. 如图，一个半圆柱的轴截面为矩形，点E在上底面上，连接，若，，该几何体的外接球的表面积为，则（ ）
A.
B.
C. 面积为
D. 点C到平面的距离为
【答案】BD
【解析】
【分析】先由外接球面积公式求出外接球的半径，即可求出半圆柱的高，然后在直角三角形中求出,再利用勾股定理求出的长度，用余弦定理、三角形面积公式求出的面积，最后利用等体积法即可求出点C到平面的距离.
【详解】由该几何体的外接球的表面积为，可知外接球的半径为，
，则，即.
如图，连接，过点E作于点F，易证平面，
由已知条件可得，
，，A错误；B正确；
由余弦定理可得，
，
的面积为，C错误；
设点C到平面ABE的距离为h，
由三棱锥与的体积相等可得，，
故，即点C到平面ABE的距离为，D正确.
故选：BD.
第二部分（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________.
【答案】
【解析】
【详解】的内角的对边分别为.
，
利用正弦定理可得，
由于，
所以，
所以，则或
由于，故为锐角，所以，
由，得，解得，
所以.
13. 如图，在直三棱柱中，，，是的中点，点在上，记，若平面，则实数________．
【答案】1
【解析】
【分析】先证明平面，得​，再结合平面的条件，推导出，利用正方形性质确定为中点，求解．
【详解】由题意可得，，，，平面，
所以平面.
又平面，
所以，作交于点（如图），
连接，，此时平面，
在矩形中，，所以四边形是正方形，
所以，.
又为的中点，所以为的中点，，
因为，所以．
故答案为：1．
14. 如图，点是棱长为1的正方体表面上的一个动点，直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据线面角条件得出点在以为顶点的圆锥侧面上，再结合点P在正方体表面上的限制，找出轨迹在正方体表面上的具体形状，最后分段计算轨迹长度并求和.
【详解】因为直线与平面所成的角为，所以点的轨迹在以为顶点，底面圆的半径为，高为1的圆锥的侧面上，
又因为点是正方体表面上的一个动点，
所以点的轨迹如图所示，
则点的轨迹长为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点．

（1）证明：平面；
（2）证明：平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明；
（2）利用线面垂直的判定定理进行证明；
【小问1详解】
如图，连，，，
平面平面，平面
【小问2详解】
平面平面，，
菱形为菱形的对角线，，
平面，
平面．
16. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）设，，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见及解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取的中点，结合等腰三角形三线合一、面面垂直和线面垂直性质可得，又，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）利用勾股定理可求得，，根据，结合棱锥体积公式可求得结果．
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为，为中点，所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
又因为，，所以，
且，平面，所以平面．
【小问2详解】
由（1）知平面，
因为平面，所以，
又，，所以，
因为，所以为等腰三角形，
所以
所以，
所以.
【点睛】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了几何体体积计算问题，是中档题．
17. 如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明 平面，即可求证；
（2）通过证明平面.得到即为所求的线面角，进而可求解.
【小问1详解】

由侧棱底面，底面，可得 ；
又已知，且， 平面，
根据线面垂直判定定理得： 平面，
因为平面，因此 ，
三棱柱中，，因此可得 ，
由， ，可知侧面是正方形，正方形对角线互相垂直，
因此 ，又， 平面，
根据线面垂直判定定理得 平面，
因为平面，所以 ，得证；
【小问2详解】
由题意可得平面，又平面，所以.
又为的中点，，所以.
因为，，平面，
所以平面.
所以直线在平面的射影为，
所以即为所求的线面角，
在中，，，为的中点，
所以.
在直角三角形中，，
故在直角三角形中，，
又，所以，
所以直线与平面所成角为.
18. 已知锐角三个内角的对边分别是，若．
（1）求的大小；
（2）若平分交于点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围.
【小问1详解】
在锐角中，由及正弦定理，
得，
整理得，而，则，
因此，又，则，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，得，则，
由平分交于点及正弦定理，
得
.
19. 在四面体中，两两垂直.在平面几何中，由勾股定理：“设的两边互相垂直，则．”拓展到空间，类比平面几何中的勾股定理，研究该三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论（空间中的勾股定理），设的面积分别为；
（1）证明在底面的射影是底面三角形的垂心；
（2）（ⅰ）请给出、、、的关系（不用证明）．
（ⅱ）若不是直角三角形，过点作底面的高，请直接利用的关系证明：；
（3）设是内一点，点到、、的距离分别是、、；求的最大值.（若有需要，可直接使用第二问结论）
【答案】（1）见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）连接并延长交于点，连接并延长交于点，由线面垂直的判定定理和性质定理可证得平面，进而得出，同理可得，即可证明；
（2）（ⅰ）由三角形的面积公式和余弦定理可得，再求出，即可给出、、、的关系；（ⅱ）由等体积法即可证明.
（3）由等体积法可得，再由三元基本不等式即可得出答案.
【小问1详解】
连接并延长交于点，连接并延长交于点，连接，
由，平面，
所以平面，又平面，所以，
又因为平面，又平面，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以，同理可得：，
所以在底面的射影是底面三角形的垂心.
【小问2详解】
（ⅰ）所以，
由余弦定理可得：，
所以
所以，
所以，
因为，
所以，
所以.
（ⅱ），又因为，
所以，所以，所以，
又因为，所以，
所以，两边同时平方化简可得：
所以.
【小问3详解】
在四面体中，因为两两垂直，
故分别为面对应的高，
即，又因为，
所以，对于内任意一点，连接，
因为，
所以，
又因为，则有，
等式两边同时除以，可得，
由三元不等式可得：，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.