2026年天津市南开区九年级中考第三阶段测试数学试题（含解析）中考模拟

这是一份2026年天津市南开区九年级中考第三阶段测试数学试题（含解析）中考模拟，共12页。试卷主要包含了本卷共12题，共36分等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
注意事项：
1．每题选出答案后，用2B铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点．
2．本卷共12题，共36分．
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】解： A．“真”字无法找到这样的直线，不是轴对称图形，
B．“抓”字无法找到这样的直线，不是轴对称图形，
C．“实”字无法找到这样的直线，不是轴对称图形；
D．“干”字存在一条竖直对称轴，沿对称轴对折后两边完全重合，是轴对称图形．
2. 计算的结果是( )
A. −8B. 8C. −2D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据有理数的加减运算法则即可求解．
【详解】解：
，
故选：C．
本题考查有理数的加减，解题关键注意负数去括号问题．
3. 我国的陆地面积约为．数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解．
【详解】解：将用科学记数法表示，
∵需要满足，
∴，原数变为时，小数点向左移动了位，即，
∴．
4. 如图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据从正面看得到的平面图形是几何体的主视图，据此即可解答．
【详解】解：从正面看，该几何体共有3列， 其中左边一列只有1层，中间一列最高有2层，右边一列只有1层． 即选项B符合题意．
5. 估计的值在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】D
【解析】
【分析】寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.
【详解】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故，即：
，故选择D.
本题考查了二次根式的相关定义.
6. 计算的值等于( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【详解】∵，
∴.
故选：D．
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
7. 计算的结果等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：原式
8. 若点，，都在反比例函数的图像上，则，和的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将各点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出对应横坐标的值，再比较大小即可得到结果．
【详解】解：∵ 点，，都在反比例函数的图像上．
∴当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
∵ ，
∴．
9. 若，是方程的两个根，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据根与系数的关系求得两根的和与积，再结合各选项即可解答．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，即选项D符合题意．
10. 如图，中，，，将绕点A顺时针旋转得到，点B，点C的对应点分别为点D，点E，连接，点D恰好落在线段上，则的长为（ ）
A. B. 4C. D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，从而得，故可得，从而可求出结论．
【详解】解：在中，，
∴；
由旋转可知，
∴，
由旋转得：，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
11. 如图，在中，按以下步骤作图：
①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点；
②分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；
③画射线交于点．若，，．则下列结论一定正确的是（ ）
A. 垂直平分线段B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据作图步骤得出，垂直平分；通过计算得出的长，进而求出的长，利用外角性质证明，最后在中利用勾股定理求出的长，再结合各选项即可解答．
【详解】解：如图：
由作图步骤可知：，垂直平分，
∴，， ， ，
∵不一定成立，
∴不一定正确，即B选项错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，故选项D错误；
∵，
∴不平分，故选项A错误；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在中，，故选项C正确．
12. 如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论：
①当时，；
②当时，的最大面积为；
③只有两个不同的值满足的面积为．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】分别表示出， 等线段长，根据平行线的判定判断①；根据三角形面积公式列出函数关系式，利用二次函数性质求最值判断②；分段讨论Q的位置，列方程求解判断③．
【详解】解：∵正方形边长为， ，P的速度为，Q的速度为，
∴ ，，
当时，Q在上，；
当时，Q在上，；
①如图：当时，P在上，，则 ，Q走过的路程为，此时Q在上，，
∵，
∴不垂直于，即不平行于，故①错误；
②如图：当时，Q在上，；
∵，
∴，即P在E右侧；
∴，
∴，
∵，
∴当时，的最大面积为，故②正确；
③当时，由②可得，
令，解得或（不符合题意舍去）；
当时，Q在上，的高为8，，
∴，
令，解得或．
∴满足条件的t值有，5，7，共3个，故③错误．
综上，正确的结论只有②，个数为1．
第Ⅱ卷（非选择题 共64分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在答题纸中对应的横线上）
13. 不透明的袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球、个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为________．
【答案】##
【解析】
【详解】解：由概率计算公式可得，摸到绿球的概率为．
14. 计算的结果是______
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方进行计算即可得到答案.
【详解】解：
故答案为：
15. 计算的结果等于_______．
【答案】2
【解析】
【分析】先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，
故答案为：2
本题考查二次根式的混合运算．
16. 若一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，则b的值可以是_____ （写出 一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数的图象经过第二、三、四象限，可以得出，随便写出一个小于0的b值即可．
【详解】解：∵一次函数 （b是常数）的图象经过第二、三、四象限，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
17. 如图，等边的边长为12，点D为外一点，，以，为邻边作平行四边形，分别与，相交于点F，G，若．
（Ⅰ）线段的长为________；
（Ⅱ）线段的长为________．
【答案】 ①. 6 ②.
【解析】
【分析】根据平行四边形和等边三角形的性质可证是等边三角形，得，进一步证，得，从而可得；过作于，利用等边三角形性质和勾股定理，先求出，再由，可求出=．
【详解】解：（Ⅰ）因为四边形是平行四边形
∴，且，
∵是等边三角形
∴
∴，
∴是等边三角形
∴
∴
∵，且
∴，
∵
∴
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
（Ⅱ）过作于
∵是边长为3的等边三角形
∴
∴
由（Ⅰ）得
在中，由勾股定理可得：
∴
又
∴
故答案为
18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点是格点，经过格点，与网格线交于点，．
（Ⅰ）的半径为________；
（Ⅱ）点在线段上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）_________________________．
【答案】 ①. ②. 解：如图所示，点即为所求；
连接交于点，连接，并延长，与的交点即为点．
【解析】
【分析】（Ⅰ）连接，根据勾股定理求解即可；
（Ⅱ）连接交于点，连接，并延长，与的交点即为点．
【详解】解∶ （Ⅰ）连接，如图
，
即半径为；
（Ⅱ）解：理由如下∶连接，如图
，
是的垂直平分线，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴，
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19. 解不等式组，请按下列步骤完成解答：
（1）解不等式①，得____________________；
（2）解不等式②，得____________________；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为_________________________．
【答案】（1）
（2）
（3）不等式①和②的解集在数轴上表示如图：
（4）
【解析】
【小问1详解】
解：
，
∴，
∴解不等式①，得；
【小问2详解】
解：
∴
解不等式②，得；
【小问3详解】
略
【小问4详解】
解：由数轴可得，不等式组的解集为．
20. 学校举办为儿童福利院捐书活动，为了解捐赠图书的情况，从该校随机抽取名学生的捐书数量（单位：本）．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为___________，图①中的值为___________，统计的这组学生捐书数量数据的众数和中位数分别是___________和___________；
（2）求统计的这组学生捐书数量数据的平均数；
（3）该校共有名学生参加捐书活动，估计捐书数量超过本的学生人数．
【答案】（1）20；40；8；8
（2）8本 （3）150人
【解析】
【分析】（1）根据条形统计图即可求出a的值，捐书数量为8本的百分比即可求出m的值，根据众数，中位数的定义分别求出众数和中位数即可；
（2）根据平均数的定义进行求解即可；
（3）根据捐书数量超过本的学生的百分比乘以该校总人数，即可解答．
【小问1详解】
解∶（人），
∵，
，
捐本书的人数最多，为人，
众数为，
第10、11个数为，，
中位数为；
【小问2详解】
解∶，
答：这组学生捐书数量数据的平均数为8本；
【小问3详解】
解∶（人），
答：捐书数量超过本的学生人数为150人．
21. ，分别与相切于，两点，是的直径．过点作交于点，交于点．连接，．
（1）如图1，若，求和的大小；
（2）如图2，连接，若，且的半径为，求线段的长．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据圆的切线的性质以及四边形内角和定理求出，再由圆周角定理以及平行线的性质求解；
（2）连接，由圆的切线的性质以及切线长定理得到，求出，再解和，最后运用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵，分别与相切于，两点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴；
【小问2详解】
解：如图2，连接，
∵，分别与相切于，两点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴．
22. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离，从甲建筑物的顶部处测得乙建筑物的顶部处的俯角为（即），测得乙建筑物的底部处的俯角为（即），若乙建筑物的高度为，求甲建筑物的高度（结果取整数）．参考数据：，．
【答案】甲建筑物的高度为
【解析】
【分析】延长交于点F，推导出四边形是矩形，得到求出，求出，则 ，即可解答．
【详解】解：延长交于点F，如图
由题意及图，有
，
∴四边形是矩形，
∴
∴ ，
∴ ，
∴
解得
∴ ，
答：甲建筑物的高度为．
23. 某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（单位：）与服药后时间（单位：）之间满足一次函数关系如图所示．服药后，测得血液中药物浓度达到最高值；服药后，测得血液中药物浓度为．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）填表：
（2）①当时，请直接写出关于的函数解析式；
②当时，请直接写出的取值范围；
（3）根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于时，才能对人体产生抗菌作用，那么成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为_________．
【答案】（1）
（2）①；②或 （3）8
【解析】
【分析】（1）分别求出和时的函数表达式，即可填写表格；
（2）①利用待定系数法求解即可；②分两种情况，解不等式组即可；
（3）把分别代入两个函数表达式求出值，再相减即可．
【小问1详解】
解：当时，设，代入得，，
解得，
∴，
∴当时，；当时，；
当时，设，
代入，得，，
解得，
∴，
∴当时，；当时，，
填表见答案；
【小问2详解】
解：①由（1）可得，；
②当时，由得，，解得；
当时，由得，，解得，
综上：或；
【小问3详解】
解：当时，把代入得，，解得；
当时，把代入得，，解得，
∴，
∴药物对人体产生抗菌作用的有效时长为．
24. 将平行四边形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，在第一象限，且，．
（1）填空：如图1，点的坐标为_________，点的坐标为_________；
（2）若为轴的正半轴上一动点，点在第一象限，且，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点，点的对应点为．设．
①如图2，若折叠后点落在直线上，点落在线段上，直线与，分别相交于点和点，当折叠后四边形与四边形的重叠部分为五边形时，与相交于点．试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②若设折叠后图形与四边形重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），
（2）①；②当时，．
【解析】
【分析】解∶延长交轴于点， 推导出， ，求出，，得到，，则，即可解答；
（2）①先推导出，得到， ，由折叠得，则，再求出，即可解答；
②分类讨论：第1种情况：当时， 第2种情况：当时， 第3种情况：当时，逐项分析求解即可．
【小问1详解】
解∶延长交轴于点，如图
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，，
；
【小问2详解】
解∶①如图
，
，
四边形是平行四边形，
， ，
，
由折叠得
，
，
，
，
当点与点重合时，
，
，
，
即，
当折叠后四边形与四边形的重叠部分为五边形时，，
②第1种情况：当时，如图
由折叠得，，
，
，，
，则
过点作于点，如图
，
，
，
，即，
，
，
，
，
∵，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，S随着t的增大而增大，
当时，，
当时，，
∴当时，，
第2种情况：当时，如图
由①，可得，，，，
∴，
由第1种情况，可得，，
∴，
，
∵，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，S取得最大值，为，
当或8时，，
∴当时，；
第3种情况：当时，如图
令与所在的直线的交点为K，由①，可知，当时，
，
解得，
∴当时，点K始终在线段上，点始终在线段上，
由图可知，当时，S随着t的增大而减小，
当时，如图
有，，
∴，
，
∴当时，，
综上所述，当时，．
25. 抛物线（a，b，c为常数，且）顶点，其中，抛物线与x轴交于点，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，过点P作，交抛物线于点Q（点P与点Q不重合）．
（1）当时．
①求抛物线的解析式和顶点P的坐标；
②求点Q的坐标和线段的长；
（2）若y轴上一点，直线与直线相交于点N，在的边，和上分别有动点E，F，G．当的周长取得最小值时，求m的值．
【答案】（1）①，，②，
（2）
【解析】
【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，表示出b、c，以及抛物线的对称轴，即可表示出点D的坐标，①代入，即可求出顶点坐标、抛物线解析式；②先用待定系数法求出直线的解析式，根据，可设出直线的解析式，且其自变量系数与直线的解析式中自变量系数相同，在利用的坐标求出直线的解析式，将其与抛物线解析式进行联立，即可作答；
（2）根据已有的坐标，先表示出、的关系，消掉a，用m表示出抛物线解析式，同（1）中方法求出点坐标，再求出直线、的解析式，进而求出N点坐标，连接，根据点的坐标，证明是等腰直角三角形，进而求出的度数；过点G分别作关于直线、Q的对称点、，连接、、、、、，可得出当、、、四点共线有最小值，再证明是等腰直角三角形，接着证明在中，当，即为中边上的高时，有最小值，问题随之得解．
【小问1详解】
解：将化为顶点式，得：，
∵顶点，
∴，，
∴，即，
∵顶点，
∴抛物线的对称轴为：，
∵抛物线的对称轴与x轴相交于点D，
∴，
①当时，
∵，顶点，，，
∴，，，，
∴，
将代入，解得：，
∴；
②当时，，即，
将化为顶点式：，
∵，，
∴设直线的解析式为：，
即：，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
将代入，
有：，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立：，得：，
解得：，，
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
在（1）中已经表示出，即，
∴，
将代入，
得：，即有：，
∴，，
当时，，即，
∵，，
∴设直线的解析式为：，
即：，解得：，
∴直线的解析式为：，
∵，
∴直线的解析式为：，
将代入，
有：，解得：，
∴直线的解析式为：，
联立：，
解得：，，
∴，，
∴，
∵，
∴直线的解析式为：，
∵，，
∴同理可得：直线的解析式为：，
当时，，解得：，
∴，
连接，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∴；
过点G分别作关于直线、Q的对称点、，连接、、、、、，
根据对称有：，，，，
∴的周长：，
由图可知：，
有且仅有当、、、四点共线时取等号，
根据对称有：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，即，
∴，
即，
在中，当，即为中边上的高时，有最小值，
∵，
∴点D在x轴上，
∵点G在直线上，且，直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴的最小值为，
∵的周长取得最小值，
∴，
∴．
本题考查了二次函数的图象与性质，对称的性质，勾股定理，一元二次方程以及求解一次函数解析式等知识，利用对称的性质，作出辅助线，找到的周长取最小值的情况，是解答本题的关键．成人服药后时间（单位：）
1
3
4
10
11
成人服药后血液中药物浓度（单位：）
1
成人服药后时间（单位：）
1
3
4
10
11
成人服药后血液中药物浓度（单位：）
3
9
8
2
1