河北承德市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷（含解析）

这是一份河北承德市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】对于A，因，而，故A错误；
对于B，因，故B错误；
对于C，因，而，故C正确；
对于D，因，而，故D错误.
2. 某人对一个密码锁进行密码尝试，最多尝试4次，一旦输入正确就停止尝试，记尝试次数为X，则事件表示的试验结果是（ ）
A. 第4次尝试正确B. 第4次尝试错误C. 前3次尝试均错误D. 前3次尝试均正确
【答案】C
【解析】
【分析】根据变量的意义进行判断.
【详解】事件表示尝试次数为4次.根据规则，进行第4次尝试的充要条件是前3次尝试均错误，故事件与‘前3次尝试均错误’等价.
3. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】不等式可整理为，
设函数，
令，解得：，，解得：，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则，所以，
则实数的取值范围是.
4. 函数的单调递增区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】，则，
令，即，且，
，故的单调递增区间为．
5. 若函数的图象与直线相切于点，则实数（ ）
A. B. 2C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出，进而求出切点坐标，代入直线方程求解即可.
【详解】，则，解得，
所以，即切点为，
代入直线整理得，解得.
6. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的．已知接收的信号为1时发送的信号是0的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由条件概率和贝叶斯公式计算．
【详解】设表示“发送的信号为0”，表示“接收的信号为0”，
则表示“发送的信号为1”，表示“接收的信号为1”.
由题意得，，，，，.
由贝叶斯公式有.
故已知接收的信号为1，则发送的信号为0的概率为.
7. 的展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 48D. 288
【答案】B
【解析】
【详解】的展开式通项为：，
要得到的展开式中的系数，分两类讨论：
①取1乘的项：令，解得，对应系数为，
②取乘的项：令，解得，对应系数为，
将两类系数求和，得的总系数为.
8. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件转化不等式为，构造函数并求导，结合已知条件得出，从而得出单调递减，结合，得出，从而利用单调性求解．
【详解】，已知不等式，则，即，
设，求导得，
函数是实数集上的减函数，
又，即，
，故不等式的解集为．
二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求）
9. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据条件，可得，根据，代入数据，即可判断A的正误；由，可判断B的正误；根据条件概率公式，代入数据，可判断C的正误；根据概率加法公式，代入计算，可判断D的正误.
【详解】对于A：，所以．
又由，故A正确；
对于B：，
变形可得，故B错误；
对于C：，故C正确；
对于D：，则有，
故，故D正确，
故选：ACD
10. A、B、C、D、E五名同学安排值日，下列说法正确的是（ ）
A. 五人值五天，每人值一天，A、B两名同学需相邻，满足条件的安排方法共有48种
B. 安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有540种安排方法
C. 五人值五天，每人值一天，要求A、B、C三人值日的先后顺序固定，则一共有20种安排方法
D. A、B、C三人需要连续六天值日，每人两天，但每人都不连值两天，一共有30种安排方法
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据相邻问题捆绑即可求解A,根据排列即可求解B，根据分组分配问题即可求解C，利用列举，结合分步乘法计数原理即可求解D.
【详解】对于A,将A、B两名同学看作一个整体，与其他三个同学一起全排列，则共有种情况，故A正确，
对于B，安排五人连续三天值日，每天需要有人值，每人只值一次，一共有种安排方法,故B错误，
对于C,由于A、B、C三人值日的先后顺序固定，只需要将剩下两名同学安排好即可，故共有种方法，故C正确，
对于D,从三个人中选2个人安排在第一天和第二天，则有种方法，假若前两天值日的人为分别为，则6天的安排有共有5种，故总的安排有,故D正确，
故选：ACD
11. 下列命题正确的有（ ）
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
【答案】BD
【解析】
【分析】借助导数定义可得A；借助复合函数的导数运算法则计算即可得B；借助导数的除法运算法则计算即可得C；利用导数运算法则计算即可得D.
【详解】对A：，则，故A错误；
对B：，则，解得，故B正确；
对C：，故C错误；
对D：，则，
则，故D正确.
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12. 已知，则______．
【答案】255
【解析】
【分析】利用赋值法，分别令、、计算即可得.
【详解】令，可得；
令，可得，
令，可得，
所以.
13. 用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的四位数，则共可组成__________个四位数.（数字作答）
【答案】
【解析】
【详解】从1，2，3，4，5中选一个数字作为千位，
然后从剩下5个数中任选三个排百位，十位，个位，
共有种排法.
14. 已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，再利用导数结合函数单调求出最值，然后解不等式即可．
【详解】若使得，
则，，
时，，则在上单调递增，
，
又在单调递增，所以，
，解得，
则实数a的取值范围为．
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 设函数在及时取得极值．
（1）求出的值；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，结合极值点和韦达定理求解即可；
（2）代入，并对函数求导，分析函数单调性，进而结合端点值建立关于的不等式求解.
【小问1详解】
对函数求导可得，
因为在和处取得极值，所以是方程的两个根，
由韦达定理：,解得.
将代入导函数得：，
当时，当时，当时，
和处导数值变号，故为极值点，所以.
【小问2详解】
由，得，,
时，，单调递增；时，，单调递减；
时，，单调递增，，，，
因此在上的最小值为.
任意都满足，等价于最小值大于，
即：，解得：，所以的取值范围是.
16. 某医院有内科医生5名，外科医生4名，现选派5名医生参加赈灾医疗队.
（1）若甲、乙必须参加，则有多少种不同的选法？
（2）若甲、乙均不参加，则有多少种不同的选法？
（3）若甲、乙两人至少有一人参加，则有多少种不同的选法？
（4）若医疗队中至少有2名内科医生和1名外科医生，则有多少种不同的选法？
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中再选3人，即可求解；
（2）根据题意，在甲乙外的剩下的7人中选5人，即可求解；
（3）可用间接法，先在 9人中选出5人，再求得甲乙均不能参加的选法，即可求解；
（4）由题意，分3种情况讨论：①队中有2名内科医生和3名外科医生；②队中有3名内科医生和2名外科医生；③队中有4名内科医生和1名外科医生，结合分类计数原理，即可求解.
【小问1详解】
根据题意，若甲、乙必须参加，
在剩下的7人中再选3人即可，有种选法；
【小问2详解】
甲乙均不能参加，在剩下的7人中选5人即可，有种选法；
【小问3详解】
在 9人中选出5人，有种选法，甲乙均不能参加的选法有种，
则甲乙两人至少有一人参加的选法有种选法；
【小问4详解】
①队中有2名内科医生和3名外科医生，有种选法；
②队中有3名内科医生和2名外科医生，有种选法；
③队中有4名内科医生和1名外科医生，有种选法，
由分类计数原理，可得种不同的选法.
17. 已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为．
（1）求的值；
（2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合；
（3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据展开式的通项公式求出第6项系数与第4项系数，根据题意列方程即可求出答案；
（2）根据且求出，即可求出答案；
（3）根据二项式的展开式列出，设，则，，通过赋值法求出和即可求出答案.
【小问1详解】
展开式的通项公式为，
由题意得，即，解得.
【小问2详解】
由（1）得展开式的第项为，
所以由题意得且，解得，
所以的取值集合为.
【小问3详解】
由（1）得展开式的第项为，
所以，
，
设多项式，其系数，
则，，
令，则，令，则，
所以.
18. 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若在区间上有三个零点，求的取值范围．
【答案】（1）极大值为，极小值为；
（2）
【解析】
【分析】（1）对函数求导，根据导数符号判断单调性，确定极值点后代入计算极值.
（2）计算区间端点函数值，结合函数单调性与极值，根据三次函数零点个数的判定条件列不等式组求解参数范围.
【小问1详解】
函数的定义域为.
∵ ，
∴ .
令，解得或.
当时，，故，单调递增.
当时，，故，单调递减.
当时，，故，单调递增.
∴ 为的极大值点，极大值为.
为的极小值点，极小值为.
【小问2详解】
计算在区间端点的函数值：
，
.
∵ 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
要使在上有3个不同的零点，需满足：
解得，即的取值范围为.
方法归纳：求解三次函数零点个数问题时，优先通过导数分析单调性、极值，结合区间端点函数值，利用数形结合思想列不等式组求解参数范围.
19. 设函数，为函数的导函数.
（1）求证：；
（2）设函数.
（i）讨论的单调性；
（ii）若时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）答案见解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）对函数求导，结合基本不等式即可求解；
（2）（i）由（1）得，分类讨论的取值范围即可；（ii）根据函数的单调性，判断函数的最值即可.
【小问1详解】
函数，则，当且仅当时等号成立，
所以.
【小问2详解】
（i）函数，则，
由（1）可知，，
①当时，，在上单调递增；
②当时，令，解得，，
由于，则有，即，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（ii）由（i）可知：
①当时，在上单调递增；恒成立；
②当时，在上单调递减，，与题设矛盾，
综上，实数的取值范围是.