北京市陈经纶中学2025-2026学年高一第二学期期中诊断数学试卷

这是一份北京市陈经纶中学2025-2026学年高一第二学期期中诊断数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在复平面内，复数（其中 i为虚数单位）对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.设如图，在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，不共线，=3-t，=-2t+6，若与同向，则实数t的值为（ ）
A. -3B. -1C. 3D. -3或3
4.如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（ ）
A. B.
C. D.
5.一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（ ）
A. B. 6C. D.
6.在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（ ）
A. 直角三角形B. 等腰非等边三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形
7.设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂β,则“m // α”是“α // β”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.如图，在正三棱柱中，，D为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，是以为直径的半圆和围成的区域内一动点（含边界），若，且，则的最大值为（ ）
A. 8B. 12C. 18D. 24
10.如图，在△ABC中，D是AB的中点，O是CD上一点，且，其中所有正确结论的序号是（ ）
①；
②；
③过点O作一条直线与边AC，BC分别相交于点E，F，若，，则；
④若△ABC是边长为1的正三角形，M是边AC上的动点，则的取值范围是.
A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③④
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.i是虚数单位,则的值为 .
12.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的体积为 ．
13.已知向量，写出一个与共线的单位向量的坐标 .
14.在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 ．
15.如图，某湖泊沿岸有四个镇，已知镇与镇之间的距离为，镇与镇之间的距离为，测得，，，则两镇之间的距离为 ．
16.已知是单位向量，向量满足，且，其中x，y∈R，且x+y＝1．则下列结论中，正确结论的序号是 ．
①；
②；
③存在x，y，使得；
④当取最小值时，．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题14分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知bsinA=（3b-c）sinB且csA=.
（1）求sinC；
（2）若c=3，求△ABC的面积.
18.(本小题14分)
在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且.
（1）求A的大小；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长.
条件①：，；
条件②：a=2，；
条件③：b=3，.
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分.
19.(本小题14分)
如图，在长方体中，，，点为棱的中点．
(1)证明：平面；
(2)取、中点M、N，若平面交于，证明：为中点；
(3)求异面直线与所成角的大小；
20.(本小题14分)
如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题14分)
设，已知由正整数组成的集合，集合，，…，是的互不相同的非空子集，定义数表：
，其中，设，令是，，…，中的最大值．
(1)若，，且，求，，及；
(2)若，集合，，…，中的元素个数均相同，若，求的最小值；
(3)若，，集合，，…，中的元素个数均为3，且，求证：的最小值为3．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】或
14.【答案】5/（答案不唯一）
15.【答案】5
16.【答案】
17.【答案】 2
18.【答案】解：（1）在△ABC中，因为，
由正弦定理可得，
因为A+B+C=π，则sinC=sin（A+B）=sinAcsB+csAsinB，
即，
可得，即，
且B∈（0，π），则sinB≠0，可得，
又因为A∈（0，π），所以；
（2）选条件①：因为在△ABC中，，
且B∈（0，π），则，
可得，
设BC边上高线的长为h,所以；
选条件②：由正弦定理可得，
且C∈（0，π），，可得或，
检验可知均符合题意，即△ABC不唯一，不合题意；
选条件③：由余弦定理得，
即，可知△ABC为等腰三角形，则，
设BC上高线的长为h,所以．
19.【答案】解：(1)设，连接，
因为点为棱的中点，为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
(2)因为M、N、P分别为、、的中点，
则在长方体中，，
因为平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，所以平面平面，
又平面平面，则平面平面，
而平面交于，则点到长方体上下底面的距离等于到上下底面的距离，
而为棱的中点，则为中点.
（3）由（1）得，，所以为异面直线与所成的角或其补角，
由题意得，，
所以，故三角形是等边三角形，
因为，所以，
所以异面直线与所成的角为.

20.【答案】解：(1)因为为中点，，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
（2）在直角三角形中，
∵，
∴，
∴．
又三角形的面积，
由（1）知，平面，所以三棱锥的高为，
设点到平面的距离为,
由，，而，
则，
所以,则，即，
则，
由，得，
则，
即点到平面的距离为.
（3）过点作交于点，则；
过点作交于点，连接，则；如下图所示：

因为平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面．
因为，平面，平面，
所以平面平面．
因为平面，所以平面．
所以在上存在点，使得平面，且．

21.【答案】（1）根据和可得，故，
（2）设使得，
则，所以．
所以至少有3个元素个数相同的非空子集．
当时，，其非空子集只有自身，不符题意．
当时，，其非空子集只有，不符题意．
当时，，元素个数为1的非空子集有，
元素个数为2的非空子集有．
当时，，不符题意．
当时，，不符题意．
当时，，令，
则，．
所以的最小值为
（3）由题可知，，记为集合中的元素个数，
则为数表第列之和．
因为是数表第行之和，
所以．
因为，所以．
所以．
当，
时，
，
．
所以的最小值为.