浙江省宁波市镇海中学2026届高三下学期模拟预测数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
3. 图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶部离水面1 m，水面宽2 m，水面下降1 m后，水面的宽约为（ ）（其中，精确到0.1 m）
A. 1.4 mB. 2.8 mC. 4.2 mD. 5.7 m
4. 某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A. B. C. D. x2−1ex
5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为
A. B. C. D.
6. 在中，角为三个内角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3B. C. D.
8. 已知函数fx=ex−x+1,gx=klnx,ℎx=kx−k ，在定义域上恒有，求的取值范围（ ）
A. B. 0,e2−1
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8
C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则
D. 已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm
10. 已知平面内的三个非零向量满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为1D. 的最大值为3
11. 已知无穷数列前项和为，若存在不相等的正整数，使得Si=Sj，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是（ ）
A. 已知数列an=2n−5n∈N*，则数列为“绝对数列”
B. 若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列”
C. 若等比数列为“绝对数列”，则公比为
D. 存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列an,bn,an+bn和均为“绝对数列”
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数，则_____．
13. 已知实数满足，且，则的最小值为_____．
14. 甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知锐角三个内角的对边分别是，若．
（1）求的大小；
（2）若平分交于点，求的取值范围．
16. 如图，已知平行四边形ABCD,AB=4,BC=6,∠ABC=π3，是线段上的点，且，为线段中点，现将沿翻折至，使得．
（1）若点在线段上，且，证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17. 设数列的前项和为，当时满足．
（1）求；
（2）令，记为的前项和，当为何值时，取最小值．
18. 在平面直角坐标系中，抛物线上点处的切线与双曲线相交于不同的两点．
（1）若为中点，求实数的值；
（2）若，且在轴上存在点，使得为正三角形，求实数的值：
（3）若，求面积的最小值．
19. 在平面直角坐标系中，曲线与交于点．
（1）当时，求曲线在的切线方程；
（2）若直线与相切于点，求的值；
（3）若直线与交于另一点，且，求的取值范围．数学模拟练习
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】A=y|y=−x2=yy≤0=(−∞,0] ，
故∁RA=0,+∞，
又，故∁RB=(−∞,2] ，
，A错误；
A∪B=−∞,0∪2,+∞，B错误；
(∁RA)∪B=0,+∞，C错误；
(∁RB)∩A=(−∞,2]∩(−∞,0]=(−∞,0]=A ，D正确．
2. 已知是空间中三个不同的平面，是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【详解】对于A，当为一正方体共点的三条棱所在直线时，满足，而，A错误；
对于B，当，时，满足，而相交，B错误；
对于C，由，得，C正确；
对于D，当α∩β=m,a//m ，既不在平面内，也不在平面内时，满足，而相交，错误.
3. 图中是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶部离水面1 m，水面宽2 m，水面下降1 m后，水面的宽约为（ ）（其中，精确到0.1 m）
A. 1.4 mB. 2.8 mC. 4.2 mD. 5.7 m
【答案】B
【解析】
【分析】建立坐标系，求解抛物线方程，代入水深求解水面的宽即可.
【详解】如图所示，建立平面直角坐标系，
即抛物线过，知，故，
代入，水面宽．
4. 某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为（ ）
A. B. C. D. x2−1ex
【答案】B
【解析】
【分析】根据零点特征排除A、C；结合导数和图象特点判断B；的图象特征判断D；
【详解】图像中函数与轴有两个交点（即两个零点），
选项A ，只有1个零点，选项C，没有零点，因此排除A、C.
图像中时，函数值趋近于0，选项D ，当时，，不符合趋势，排除D.
选项B：，零点为（两个零点，一负一正，符合图像）；
时，，，且时，y=(x2−1)e−x→+∞ ，符合图像左半部分趋势；
时，，，时，符合；
时，，求导得，可得时函数先增后减，且时，指数函数增长快于多项式，，完全符合图像特征.
5. 若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为，则圆锥的体积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过圆锥的旋转轴作轴截面，由题意可知轴截面内切圆的半径为，进而求出圆锥的底面半径和高，代入圆锥体积公式，可得答案．
【详解】过圆锥的旋转轴作轴截面如图，
由题意知内切圆和外接圆同圆心，
即的内心与外心重合，则为正三角形，
由题意内切圆的半径为，
的边长为，
圆锥的底面半径为，高为3，
故圆锥体积，
故选：
6. 在中，角为三个内角，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】将其转化为函数fx=1+sinxcsx=tanx2+π4，结合图像即可求解
【详解】考虑fx=1+sinxcsx为到的斜率，
因为fx=sinx2+csx22csx2−sinx2csx2+sinx2=sinx2+csx2csx2−sinx2=tanx2+11−tanx2=tanx2+π4，
因为函数fx=tanx2+π4在与上均递增，得大致图象，如图所示，
若1+sinAcsA=1+sinBcsB，则fA=fB，而fA,fB 同号，由图及单调性可得；
若，则fA=fB必定成立，故为充要条件．
7. 已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点且，的中点记为，且，则双曲线的离心率为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设结合双曲线的定义可得F1P=2OQ=6 ，F2P=6−2a ，再根据结合勾股定理及等面积法可得，，进而求得，进而求解离心率即可.
【详解】由于的中点记为，的中点记为，
则F1P=2OQ=6 ，即F2P=F1P−2a=6−2a ，
由于，则，即，
则36+6−2a2=4c2，即①，
而S△PF1F2=12PF1PF2=12F1F2⋅yP，则12⋅6⋅6−2a=12⋅2c⋅3 ，即②，
由①②，解得（因，另外一解舍去），
则双曲线的离心率为.
8. 已知函数fx=ex−x+1,gx=klnx,ℎx=kx−k ，在定义域上恒有，求的取值范围（ ）
A. B. 0,e2−1
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作差得gx−ℎx=klnx−x+1≤0 ，又，可得，作差得fx−ℎx=ex−x+1−kx−1≥0 ，再分，，结合参变分离求范围即可．
【详解】gx−ℎx=klnx−x+1≤0 ，
令ux=lnx−x+1 ，u′x=1x−1=0 ，解得，
在上单调递增，在上单调递减，
∴uxmax=u1=0 ，即，则，
fx−ℎx=ex−x+1−kx−1≥0 ，
又时，，−kx−1≥0 ，即，，
时，ex−x+1−kx−1≥0 ，即，
令ux=ex−x+1x−1=exx−1−1,x>1 ，u′x=exx−2x−12=0 ，解得，
在上单调递减，在上单调递增，
uxmin=u2=e2−1 ，则，
综上，．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 独立性检验方法不适用于普查数据
B. 数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8
C. 如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则
D. 已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm
【答案】ACD
【解析】
【详解】A项：在普查中，已掌握了总体的全部信息，变量之间的关系是确定的，
无需进行假设检验，A正确；
B项：10个数据 ，则取第8位的数字5就是上四分位数，B错；
C项：此时线性关系完美，预测值与观测值完全一致，，C对；
D项：残差观测值预测值，D对．
10. 已知平面内的三个非零向量满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为1D. 的最大值为3
【答案】ABD
【解析】
【详解】条件即 ，故A正确；
由，故，
正三角形中， 轨迹为圆．
对B：即 ，故B正确；
对，即，由极化恒等式， ，
为中点，，故，故D正确．
故选择：ABD.

11. 已知无穷数列前项和为，若存在不相等的正整数，使得Si=Sj，则称为“绝对数列”．则下列选项正确的是（ ）
A. 已知数列an=2n−5n∈N*，则数列为“绝对数列”
B. 若数列和均为“绝对数列”，则为“绝对数列”
C. 若等比数列为“绝对数列”，则公比为
D. 存在两个公差均不为0的等差数列和，使得数列an,bn,an+bn和均为“绝对数列”
【答案】AD
【解析】
【分析】对于A：根据“绝对数列”的定义分析判断；对于BC：举反例说明即可；对于D：根据“绝对数列”的定义举例说明即可.
【详解】A选项，因为，可知是以为首项，公差为的等差数列，
则Sn=n×(−3)+n(n−1)2×2=n2−4n ，
取i=1,j=3,S1=S3=3 ，所以为“绝对数列”，故A选项正确；
B选项：由A选项，取，
不妨取，此时的前项和Bn=−n2+6n ，
取，则B2=B4=8 ，可知是“绝对数列”.
但，其前项和Tn=2n 是单调递增的，故不是“绝对数列”，B选项错误.
C选项：因为等比数列为“绝对数列”，取，此时S1=S2，
即a1=a1+a1q，解得，
此时S1=S2=a1也满足条件，故C选项错误.
D选项：取，此时的前项和为An=−n2+5n2，
取，此时A2=A3=3 ,即均为“绝对数列”.
，其前项和Cn=−n2+5n ，
取，此时C2=C3=6 ，即为“绝对数列”.
则，其前项分别为，
设的前项和为，由D2=D3=5 ，可知也为“绝对数列”，综上，故D选项正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数，则_____．
【答案】
【解析】
【详解】因z=1+i1+i2=1−12+(1+12)i=2−22+2+22i
则z=(2−22)2+(2+22)2=6−424+6+424=3.
13. 已知实数满足，且，则的最小值为_____．
【答案】7
【解析】
【详解】由，则，
即，又，则，
解得a+b≥7 ，当且仅当取等，
则的最小值为7.
14. 甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为______．
【答案】
【解析】
【分析】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，根据全概率公式写出与的递推关系，然后利用构造法求出数列的通项公式，将代入通项公式即可求解.
【详解】记次交换后黑球仍在甲手中的概率为，则，
若次交换后黑球已经在甲手中：交换时甲不拿出黑球，才能让黑球留在甲手中，
概率为Pn−1⋅23（甲共3个球，拿白球不换出黑球的概率为）；
次交换后黑球在乙手中：交换时乙拿出黑球，才能把黑球换回到甲手中，
概率为(1−Pn−1)⋅13（乙共3个球，拿出黑球的概率为​）；
所以Pn=23Pn−1+131−Pn−1⇒Pn=13Pn−1+13⇒Pn−12=13Pn−1−12，
故数列是首项为P0−12，公比为的等比数列，
所以Pn−12=P0−1213n⇒Pn=1213n+1，
故．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知锐角三个内角的对边分别是，若．
（1）求的大小；
（2）若平分交于点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦化简求解.
（2）由（1）的结论，利用三角形面积公式及正弦定理边化角，结合差角的正弦化简，再利用正切函数性质求出范围.
【小问1详解】
在锐角中，由及正弦定理，
得，
整理得，而，则，
因此，又，则，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）得0