浙江省宁波市镇海中学2026届高考模拟预测数学试题及答案

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1．已知集合A=y∣y=−x2,B={x∣x>2}，则下列说法正确的是
A．A∩B=BB．A∪B=RC．∁RA∪B=BD．∁RB∩A=A
【答案】D
【解析】A=(−∞,0]，故A∩B=⌀,A∪B=(−∞,0]∪2,+∞，
∁RA=0,+∞,∁RB=(−∞,2]，∁RB∩A=(−∞,0]=A,∁RA∪B=0,+∞．
故选择：D
2．已知α,β,γ是空间中三个不同的平面，a,b,c是空间中三条不同的直线，则下列说法正确的是
A．若a⊥b,b⊥c，则a//cB．若α⊥β,β⊥γ，则α//γ
C．若a⊥α,a⊥β，则α//βD．若a//α,a//β，则α//β
【答案】C
【解析】A项：取a,b,c两两垂直，故A错；
B项：开门模型B错；
C项：即α与β的法向量平行，故α//β，故C正确；
D项：取α∩β=m,a//m即可，故D错．
故选择：C
3．图中是抛物形拱桥，当水面在l时，拱顶部离水面1m，水面宽2m，水面下降1m后，水面的宽约为（其中2≈1.414，精确到0.1 m）
A．1.4mB．2.8mC．4.2mD．5.7m
【答案】B
【解析】如图建系，即抛物线y=ax2过1,−1，知a=−1，故y=−x2，在y=−x2中，令y=−2⇒x=2，水面宽22≈2.8．
故选择：B
4．某函数的图像如图所示，则该函数解析式可能为
A．x−1exB．x2−1exC．exx+1D．x2−1ex
【答案】B
【解析】考虑fx有2个零点，排除AC，考虑x→+∞时fx→0+，排除D．
故选择：B
5．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为
A．πB．2πC．3πD．4π
【答案】C
【解析】考虑主视图，即等腰三角形的内切圆与外接圆圆心重合，故圆锥轴载面为正三角形，内切圆半径为1，则边长为23，高为3，所以V=13πr2⋅ℎ=13π32⋅3=3π．
故选择：C
6．在△ABC中，角A,B,C为三个内角，则“1+sinAcsA=1+sinBcsB”是“A=B”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】考虑fx=1+sinxcsx为csx,sinx到0,−1的斜率，x∈0,π，知fx在0,π2与π2,π上均递增，f0=1,fπ=−1得大致图象，故为充要条件．
故选择：C
7．已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的左右焦点分别为F1,F2，直线y=3与双曲线的右支交于点P且∠F1PF2=π2，PF2的中点记为Q，且OQ=3，则双曲线C的离心率为
A．3B．3+32C．23D．3+1
【答案】D
【解析】OQ=3⇒F1P=6，故F2P=6−2a，S△PF1F2=b2tan45∘=122c⋅3⇒b2=3c①，
36+6−2a2=4c2⇒9+a2−6a+9=c2②，
由②c2−a2=18−6a由①c2−a2=b2=3c⇒c=6−2a，
故b2=c2−a2=c2−6−c22=3c，
解得c=23,a=3−3，所以e=ca=3+1．
故选择：D
8．已知函数fx=ex−x+1,gx=klnx,ℎx=kx−k，在区间k上恒有fx≥ℎx≥gx，求k的取值范围
A．0,e2−1B．0,e2−1C．(0,e−1]D．0,e−1
【答案】A
【解析】gx−ℎx=klnx−x+1≤0，而lnx≤x−1，故k≥0．
fx≥ℎx即ex−x+1≥kx−1,x∈(0,1]时，左≥0≥右，
只需x∈1+∞时，k≤ex−x+1x−1min→记为αx​αx=exx−1−1=e⋅ex−1x−1−1≥e2−1
（熟知ett在t>0时最小值为e），x=2取等，故k∈0,e2−1．
故选择：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是
A．χ2独立性检验方法不适用于普查数据
B．数据1，2，2，3，3，4，4，5，8，9的上四分位数是8
C．如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上，则R2=1
D．已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差为3cm
【答案】ACD
【解析】A项：在普查中，已掌握了总体的全部信息，变量之间的关系是确定的，无需进行假设检验，A正确；
B项：10个数据10×75%=7.5，取第8位即5是上四分位数，B错；
C项：此时线性关系完美，预测值与观测值完全一致，R2=1，C对；
D项：残差=观测值−预测值=3，D对．
故选择：ACD
10．已知平面内的三个非零向量a、b、c满足b⋅b−a=b2，且a−b=b−c=c−a=2，则下列说法正确的是
A．a⊥bB．a−b⋅b−c=−2
C．a⋅c的最小值为1D．a⋅c的最大值为3
【答案】ABD
【解析】条件即bb−a−b2=bb−a−b=0⇒a⋅b=0，故A正确；
从OA=a,OB=b,OC=c，故AB=BC=CA=2，
正三角形ABC中，OA⊥OB,O轨迹为圆．
对B：即BA⋅CB=−BA⋅BC=−BABCcs60∘=−2，故B正确；
对CD，即OA⋅OC，由极化恒等式，OA⋅OC=OM2−CM2=OM2−1，M为AC中点，OM∈0,2，故a⋅c∈−1,3，故D正确．
故选择：ABD
11．已知无穷数列an前n项和为Sn，若存在i,j∈{1,2,⋯,n}，当i≠j时，Si=Sj，则称an为“绝对数列”．则下列选项正确的是
A．已知数列an=2n−5n∈N∗，则数列an为“绝对数列”
B．若数列an和bn均为“绝对数列”，则an+bn为“绝对数列”
C．若等比数列an为“绝对数列”，则公比为−1
D．存在两个公差均不为0的等差数列an和bn，使得数列an,bn,an+bn和anbn均为“绝对数列”
【答案】AD
【解析】A项：Sn=n2−4n对称轴为2，于是取i=1,j=3,S1=S3，故A对；
B项：由A取an=2n−5再取bn=7−2n满足条件，an+bn=2不为绝对数列，故B错；
C项：考虑S1=S2,a1=a1+a1q1,a1≠0⇒q+1=1,q=0或−2，
q=−2时，a1=1,a2=−2,S1=1,S2=−1满足条件，故C错；
D项：取an=bn=3−n，验an与bn：前n项和Sn=−12n2+52n对称轴52，S1=S4满足，
验an+bn:an+bn=6−2n,Sn=−n2+5n,S1=S4，
验anbn:anbn=3−n2，序列为41014，前n项和S1=4,S2=5,S3=5,S4=6,S2=S3满足．
故选择：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．复数z=1+i1+i2，则z=_____．
【答案】3
【解析】性质z1z2=z1z2,z=1+i×1+i2=1+1⋅1+12=3．
故答案为：3
13．已知实数a,b满足ab+5=3a+2b，且a>2，则a+b的最小值为_____．
【答案】7
【解析】ab−3a−2b=−5⇒a−2b−3=1≤a+b−522，
解得a+b≥7，a=3,b=4取等．
故答案为：7
14．甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球，甲乙两人每次交换1个球，经过5次交换后，黑球仍然在甲手中的概率为_____．
【答案】122243
【解析】记n次交换后黑球仍在甲手中的概率为Pn，则P0=1，
Pn=23Pn−1+131−Pn−1⇒Pn=13Pn−1+13，
Pn−12=13Pn−1−12, Pn=P0−1213n+12=1213n+1，故P5=122243．
故答案为：122243
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知锐角△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若ccsA+3csinA=b+a．
（1）求C的大小；
（2）若CE平分∠ACB交AB于点E，求AEBE的取值范围．
【解析】（1）由射影定理：b=ccsA+acsC，
故ccsA+3csinA=ccsA+acsC+a⇒3csinA=acsc+a，
由正弦定理3sinCsinA=sinAcsC+sinA,A∈0,π,sinA>0，
故3sinC=csC+1，3sinC−csC=2sinC−π6=1, sinC−π6=12，
钝角三角形C∈0,π2，故C−π6∈−π6,π3，于是C−π6=π6,C=π3．
（2）0