浙江省金华市卓越联考2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题（Word版附解析）

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一、单选题
1．集合，，（ ）
A．B．C．D．
2．非零向量，，，是的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知圆锥的轴截面为等边三角形，高为，则圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．
5．棱长为2的正方体，点在棱上，满足最小，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．1
6．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，，，，，作交于，交于，，则（ ）
A．B．C．D．
8．四棱锥中，满足，，，若该四棱锥有外接球，则此外接球被平面所截的平面面积范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．复数，，已知，，下列说法正确的是（ ）
A．复平面内与对应的点在第三象限B．
C．D．
10．设，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为1B．恒成立
C．，恒成立D．若，，且，则
11．在中，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．可能为0D．
三、填空题
12．________．
13．中，，则________．
14．已知平面向量，，，，，，，，其中，则的最大值为________．
四、解答题
15．学校对高一学生期中考试的数学成绩进行调查，现抽取100人进行数据统计，绘制频率分布直方图如下，
(1)求的值和该组数据的中位数：
(2)若这100人中有女生40人，且男生平均分106，方差为16；女生平均分101，方差为36，求这100人的数学平均分和方差．
16．三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分）
(1)证明：；
(2)若，求二面角的正切值．
17．已知函数（且），，
(1)（ⅰ）判断的单调性（不必证明）；
（ⅱ）判断的奇偶性并证明；
(2)若，且Fλ2−1+F21−λcsθ>0对∀θ∈0,π恒成立，求的取值范围.
18．（1）在中，边上的中线为，证明：m=122b2+c2−a2；
（2）已知面积为，tanQ=22，tanM=2，求的长．
（3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值.
19．正四棱台的高为2，，，点，，均在平面内，且直线与夹角的正切值的最小值为．（坐标法不给分）
引理：最小角定理——斜线与平面所成角是斜线与平面内所有直线所成角中最小的角．
(1)点的轨迹长度；
(2)若，求到直线的距离；
(3)求的最小值．
1．D
【详解】由，故
又，则.
2．B
根据充分、必要的概念及数量积的运算性质判断.
【详解】 若，则，
这只能说明向量与垂直或，不能推出，
例如，取，，，满足，但，
所以充分性不成立；
若，则，所以，即，必要性成立；
综上，是的必要不充分条件.
3．A
【详解】由圆锥的轴截面是高为的等边三角形，则等边三角形的边长为，
则该圆锥底面半径为，母线长为，高为，
故该圆锥的体积为.
4．C
由二倍角余弦公式有，利用平方关系将齐次化，然后弦化切即可求解.
【详解】因为，所以．
5．C
根据题意，点为的中点，最小，再利用转化法求体积.
【详解】根据题意，将平面展开与平面共面，
连接，交于点，则点为的中点，此时最小，
则.
6．D
【详解】设上靠近D的三等分点为E，连接，

因为，分别为棱，上靠近点的三等分点，
所以，则且，
四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，
因此线面角，得，则,
由.得且，则且，
则四边形为平行四边形，故，
则（或其补角）即为异面直线，所成角；
作，垂足为F，则，则，
故，则；
由平面，平面，则，
结合，平面，则平面，
则平面，平面，则，
而，故，
在中，，则,
即异面直线，所成角的余弦值为.
7．A
由题意可得，，又，可得，进而利用向量的数量积的运算律计算即可求解.
【详解】因为，所以，
又，所以，
又，所以，所以.
又因为在中，，，，
所以
，
所以，解得.
8．A
先确定四棱锥外接球的半径，再分析外接球被平面所截的截面圆半径的取值范围，进而得到截面面积的范围.
【详解】由题意可知， 在中，，
故， 在中，，
故， 因此都在以为直径的球面上，
四棱锥的外接球直径就是，得外接球半径，球心为中点，
又因为，，故是等边三角形，为中点，
由等边三角形三线合一的性质，球心到直线的距离为定值，
对于任意过直线的平面，球心到平面的距离满足：，
所以对应平面，存在且不与其他顶点重合，保留，
若，则球心在平面内，由共线得也在平面内，
此时与重合，不构成四棱锥，故，
由球的截面性质，截面圆半径满足：，
代入的范围得：，故截面面积.
9．BCD
求出，利用复数的运算逐一分析每个选项即可.
【详解】对于A项，对应的点为在第二象限，故A错误；
对于B项，，则，故B正确；
对于C项，，故C正确；
对于D项，，故D正确.
10．BCD
A选项，对变形后用基本不等式判断等号能否取到；B选项，化简两个括号内的表达式，再整理乘积，判断结果和0的大小关系；C选项，通分整理原式判断符号即可；D选项，用基本不等式建立关于的不等式，再求解范围.
【详解】选项A：当时，，由基本不等式得（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故A错误.
选项B：，不等式恒成立，故B正确.
选项C：对任意，变形得：，
故不等式恒成立，故C正确.
选项D：，由基本不等式，代入得：
（当且仅当时取等号），令，得，
解得（负根舍去），因此，故D正确.
11．ABD
利用可判断A；利用三角恒等变换可得可判断B；利用三角恒等变换可得可判断C；利用三角恒等变换可得，进而利用均值不等式可判断D.
【详解】对于A，因为，，，所以，
所以，故A正确；
对于B，因为
.
因为，，，所以，，，
所以sinC2>0,sinA2>0,sinB2>0，所以，故B正确；
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以，
又因为，所以不可能为0，故C错误；
因为，所以，
所以tanA+B2=tanπ−C2，所以tanA2+tanB21−tanA2tanB2=1tanC2，
所以.
又，，，所以tanA2>0,tanC2>0,tanB2>0，
所以
=331tanA2+1tanB2+1tanC2，
所以1tanA2+1tanB2+1tanC23≥271tanA2+1tanB2+1tanC2，
所以1tanA2+1tanB2+1tanC22≥27，所以，
当且仅当tanA2tanC2=tanB2tanC2=tanA2tanB2，即时取等号，故D正确.
12．
根据指数和对数的运算性质求解.
【详解】原式.
13．
利用正弦定理边化角，再利用三角函数恒等变换得，从而得解.
【详解】根据题意，，
由正弦定理得，
即，
则，
因为，则，
所以，则，
因为，则.
14．
借助数量积公式与模长与数量积关系计算可得、，要使得取最大值，则需使得尽量大，任意两向量之间夹角尽量小，求出各符合要求的量后，利用数量积公式计算即可得解.
【详解】，则，即，
由，则，
即，故，
又，则或，
由，则都可为或或其它，其中且，
要使得最大，则取，或，
、、、也都取较大根，即、、、，
由，则、，取，
、，取，则，
则
=1×3×32+1×2+1×3×32+1×2+1×3×32=172，
故的最大值为.
15．(1)，
(2)，
【详解】（1）a=1−0.2×3−0.15−0.1×210=0.005，
∵0.1+0.15+0.20.5，
所以中位数在区间内，故．
（2），．
所以这100人的数学平均分为，方差为.
16．(1)证明见解析
(2)
（1）作于点，再利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，继而得到为中点即可证明；
（2）利用体积求出，作于点，作于点，连，利用线面垂直的判定定理和性质定理得到为二面角的平面角，再求解即可.
【详解】（1）作于点，
∵平面平面，平面平面，平面，
平面，又平面，所以，
，为中点．
，．
，PA2=PD2+DA2，．
（2）∵VP−ABC=453，，为三棱锥的高，
，
作于点，作于点，连．
平面，平面，
．
，又，平面，
平面，平面，
所以．
，平面，，
平面，又平面，
所以，故为二面角的平面角．
∵CE=455，EF=85dD−PB=4105，
∴tan∠CFE=CEEF=22．
17．(1)（ⅰ）答案见解析；（ⅱ）奇函数，证明见解析
(2)
（1）（i）对进行分类讨论即可判断的单调性；（ⅱ）利用奇偶性的定义直接证明即可；
（2）当时，由单调性得，对进行分类讨论即可求解
【详解】（1）（ⅰ）当时，在上递增，在R上递减，
所以在上递增；
当时，在上递减，在R上递增，
所以在R上递减．
（ⅱ）为奇函数，证明如下：
定义域为R，关于原点对称．
，
为奇函数．
（2）由得
因为为奇函数，所以，
故
当时，在上递增，
得，
当时，不成立，不合题意．
当时，λ>2csθ−1，只需λ>(2csθ−1)max，
当时，λ