河南郑州市九校联考2026年中考二模考试数学试题（含解析）

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2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内．
1. 某速冻元宵的储藏温度是，下列四个冷冻室的温度中，不适合储藏此种元宵的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据储藏温度的标注求出合适温度的范围，再逐一判断选项即可；
【详解】，，
适合储藏此种元宵的温度需满足（单位为），
不适合储藏此种元宵．
2. 河南省政府新闻办2026年1月21日通报，根据地区生产总值统一核算结果，2025年河南省地区生产总值达万亿元，按不变价格计算，同比增长．其中数据“万亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将万亿按单位换算后，整理为符合要求的科学记数法形式即可．
【详解】解：∵万亿，
∴万亿．
3. 如图几何体中，主视图和左视图不同的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何体的三视图，要求同学们掌握主视图是从物体的正面看到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图．分别分析四种几何体的主视图和左视图，找出主视图和左视图不同的几何体．
【详解】解：A、主视图与左视图都是两个并列的正方形，不合题意；
B、主视图是长方形，左视图是圆，符合题意；
C、主视图与左视图都是三角形，不合题意；
D、主视图和左视图都是圆，不合题意．
故选：B．
4. 如图，剪刀张开角度，射线与剪刀上半部分的夹角，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据角的和差进行计算即可．
【详解】解：∵，，
∴．
5. 不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式组，再进行解集表示即可；
【详解】，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为：，解集表示如下：
6. 如图，正方形的对角线交于点，点是的中点，连接，若，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的性质得到，可得是的中位线，据此计算即可解答．
【详解】解：正方形中对角线交于点O，
，，
，
点E是的中点，
是的中位线，
，
∴的周长为．
7. 下列计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘法与除法，分别计算各结果，对比即可得出答案．
【详解】解：A．，该项错误．
B．，该项正确．
C．，该项错误．
D．，该项错误．
8. 在化学实验中，酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．小明在实验中看到实验台上有四瓶没有标签的无色溶液，他只知道它们分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸．小明随机选了两瓶溶液并各滴入一滴酚酞试剂，则这两瓶溶液只有一瓶变红色的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定能使酚酞变红的溶液数量，再列举出所有等可能的选瓶情况，找出符合条件的情况数，利用概率公式计算即可得到结果．
【详解】解：由题意可知，四瓶溶液中，能使酚酞变红的碱溶液共瓶，不能使酚酞变红的酸溶液共瓶． 将两瓶变红溶液记为，两瓶不变红溶液记为．
∵从瓶中随机选瓶，所有等可能的情况为，共种．
其中只有一瓶变红色的情况共种．
∴所求概率．
9. 小明同学在“探究通过导体的电流与其两端电压的关系”时选取导体甲和导体乙进行实验，并将记录的实验数据通过整理作出了如图所示的图象，则下列说法中，错误的是（ ）
A. 甲、乙两图象均表示当电压增大时，电流强度也随之增大
B. 依据图象可知电阻、电压和电流强度的关系为：
C. 在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比
D. 当在导体的两端加上3V的电压时，导体甲的电流强度大于导体乙的电流强度，说明导体甲的电阻大
【答案】D
【解析】
【分析】观察图象逐个判断即可．
【详解】解：由图可知甲，乙两个图象表示随着横轴电压的增大，电流强度随之增大，则A正确；
则在导体的电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比，则C正确；
由图象可知电压和电流成正比例，所以，则B正确；
当电压不变时，如电压为时，，，可知，所以，则D不正确．
10. 矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点，且，若每次将矩形绕点顺时针旋转，则第2026次旋转后，点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点作，垂足为，易证，根据对应边成比例，求出点的坐标，再根据旋转特点，每旋转4次，回到起点，结合，即回到起点后，再旋转两次，位置在第二象限，根据关于原点对称的特点，即可求出点的坐标．
【详解】解：过点作，垂足为，如下图
四边形是矩形，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
，，，
点D坐标为，
矩形每次旋转，旋转四次，又回到起点，
又，
矩形从起点，旋转两次，在第二象限，关于原点对称，即点的坐标是．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于，
∴，
解不等式得：．
故答案为： ．
12. 请写出一个常数的值，使得关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是___________．
【答案】0（答案不唯一）
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式求出的取值范围，即可得到符合要求的的值．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得，
∴的值可以是（答案不唯一，即可）．
13. 某市中小学“市长杯”女生软式排球赛中，甲校和乙校两队进入了最终的决赛，甲、乙两支排球队队员的身高统计如图所示，则参加比赛的甲、乙两队队员的身高更整齐的是___________队．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】看甲、乙两队队员的身高哪个更整齐，主要是看两组数据的波动大小，根据波动情况进行判断．
【详解】解：∵根据折线统计图可知，甲队的波动小，乙队的波动大，
∴队员的身高更整齐的是甲队.
14. 如图，扇形中，，点为弧上一点，以为邻边构造菱形，则图中阴影部分面积的和为_____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过作于，设与相交于，证明是等边三角形，得出，则可求，，，证明四边形是矩形，得出，最后根据求解即可.
【详解】解：连接，过作于，设与相交于，
∵菱形，，
∴，，
又，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
.
15. 新定义：在一个三角形中，若一个内角与另一个内角的2倍的和等于，我们称这个三角形为“奋进三角形”．如图， 中，，点为上一个动点，若为“奋进三角形”，则的长度为_________．
【答案】或
【解析】
【分析】先推导出，再分类讨论：①当时，在上取一点D，连接，使得，过点D作于E，可证明，则可证明，利用勾股定理求出，则，进而得到，设，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案；②当时，可证明平分，过点P作于H，则，设，则，解直角三角形可得，则，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
①当时，
如图，
在上取一点D，连接，使得，过点D作于E，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴在中，，
设，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去），
∴；
②当时，
如图所示，
∵，
∴，
∴平分，
如图所示，过点P作于H，则，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 计算、化简：
（1）；
（2）．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）根据，再计算；
（2）先根据分式加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
17. 某校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，在八年级开设了厨艺、园艺、电工、木工、编织等劳动课程，并在期末进行了实践及笔试测试，并将成绩按一定权重进行整合汇总（百分制），现从八年级两个班中各随机抽取15名学生的成绩进行分析，过程如下：
【收集数据】
八（1）班：91，74，81，85，83，92，59，99，82，82，92，81，82，85，62．
八（2）班：93，93，84，77，89，83，92，83，81，73，81，84，86，84，47．
【整理数据】
【分析数据】
【应用数据】
（1）由如表填空：______，______，______，______；
（2）若该校八年级有1200名学生，请你估计该校八年级学生在本次测试中成绩在90分以上（含90分）的人数；
（3）你认为哪个班的学生劳动课程测试的成绩更好，并说明理由．
【答案】（1）2，9，82，84
（2）280人 （3）八（2）班的成绩更好，见解析
【解析】
【分析】本题考查了统计表、求众数、中位数、用样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）根据众数、中位数的定义，结合题目中的数据即可求解；
（2）先计算测试成绩在90分以上（含90分）的人数占比，再乘以1200即可求解；
（3）根据中位数、众数的意义分析即可得出结论．
【小问1详解】
解：由题意知八（2）班共2人，共9人，
，，
八（1）班82分共有3人，
八（1）班级成绩的众数，
将八（2）班成绩重新排列第8个分数是84分，故．
故答案为：2，9，82，84．
【小问2详解】
解：（人），
答：估计该校八年级学生在本次劳动课程测试成绩在90分以上（含90分）的人数为280人．
【小问3详解】
解：八（2）班的成绩更好，理由：两个班的平均成绩相等，而八（2）班的中位数大于八（1）班的中位数，众数也大于八（1）班的众数．
18. 在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，．
（1）写出关于的函数解析式：
（2）完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
（3）当电流超过时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？
【答案】（1）
（2）见解析 （3）滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内
【解析】
【分析】（） 先根据反比例函数的定义，用待定系数法求出与的函数解析式；
（）将表格中的值代入解析式，求出对应的值，完成表格后，连线画出函数图象；
（）根据电流限制条件列出不等式，结合反比例函数的增减性，求出的取值范围．
【小问1详解】
解：∵电流是电阻的反比例函数，
∴设，
∵时，，
∴，
解得，
∴．
【小问2详解】
解：列表如下：
函数图象如下：
【小问3详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内．
19. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，垂直平分．
（1）尺规作图：作，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形为菱形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（2）由垂直平分线的性质，证明，进而得出，即可得证．
【小问1详解】
解：如图所示；
【小问2详解】
解：证明：垂直平分，
，
在与中，
，
，
，
，
∴四边形为菱形．
20. 如图1，水车是中国古代利用水力驱动的链轮式提水机械，作为农耕文化的重要组成部分，其创造体现了中华民族的智慧结晶，见证了中国农业文明的发展历程如图2，水车运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上方，若的最低点为点（即是弧的中点）．在水面的变化过程中，被水面截得的弦长为，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点．
（1）若，求的半径；
（2）在水面的变化过程中，若；
①求证：是等边三角形；
②求此时的长．
【答案】（1）
（2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）设的半径为，则，，推导出，再根据勾股定理求出r的值即可；
（2）①先推导出，，得到，则是等边三角形，即可解答；
②先求出，得到，推导出，得到，即可解答．
【小问1详解】
解：设的半径为，则，
∴，
点是弧的中点，
，
为半径，
，
∴，
即，
解得，
∴的半径为；
【小问2详解】
①证明：点是弧的中点，
，
为半径，
，
，
，为圆心，
，
，
，
∴是等边三角形；
②解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 某网店准备购进一批手机快充充电器（简称“快充”）和手机慢充充电器（简称“慢充”）进行销售．已知每个快充的进价比每个慢充的进价多20元，购进10个快充和5个慢充共需花费350元．这两种充电器的进价和售价如下表．
（1）求a，b的值．
（2）“五一劳动节”前夕，该网店准备购进这两种充电器共100个进行试销，根据市场需求，快充需要购进75个及以上，且快充的数量不超过慢充数量的4倍．请问共有几种进货方案？请通过计算说明理由．
（3）“五一劳动节”期间，该网店开展优惠促销活动，决定对每个快充的售价优惠元，慢充的售价不变，在（2）的条件下，请直接写出：要使销售完这100个充电器获得的总利润最大，应如何进货？
【答案】（1）的值为30，b的值为10
（2）共有6种进货方案，见解析
（3）当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大；
当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元；
当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大
【解析】
【分析】（1）由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购进快充个，则购进慢充个，根据题意列出不等式组，求出快充个数的取值范围，结合为正整数即可确定有几种进货方案；
（3）设销售完这100个充电器获得的总利润为元，列出总利润与快充数量的关系式，
分情况讨论：当或或时，结合的取值范围及一次函数的增减性求解即可．
【小问1详解】
解：由表格可知，快充的进价为元，慢充的进价为元，
由题意得：，
解得：，
答：的值为30，b的值为10；
【小问2详解】
解：共有6种进货方案，理由如下：
设购进快充个，则购进慢充个，
由题意得：，
解得：，
由于为整数，
则的取值可以为：75、76、77、78、79、80，
因此，共有6种进货方案；
【小问3详解】
解：设销售完这100个充电器获得的总利润为元，
根据题意得：，
分以下三种情况讨论：
由（2）知，，
①当，即时，
此时随的增大而增大，
则当时，最大，此时；
②当，即时，不随的变化而变化，此时的值为500；
③当，即时，随的增大而减小，
则当时，最大，此时；
综上所述，当时，快充进80个、慢充进20个，售完这100个充电器获得的总利润最大；
当时，（2）中的6种进货方案都可以使售完这100个充电器获得的总利润最大，即最大值为500元；
当时，快充进75个、慢充进25个，售完这100个充电器获得的总利润最大．
本题考查二元一次方程组、不等式组、一次函数的应用，根据已知条件列出方程组和不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
22. 塑料大棚是一种简易实用的保护地栽培设施，我国塑料大棚的种植技术已经十分成熟．农户老张准备靠墙建造一个塑料大棚种植蔬菜，如图，蔬菜塑料大棚的横截面是由抛物线的一部分，以墙所在的直线为轴，以水平地面所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，若离轴水平距离为2米时塑料大棚最高为3米，且点距离地面2米．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）为加固大棚，老张准备在距离地面米处加装多组钢架，如图，钢架两个端点均在抛物线上，求钢架的长；
（3）为更好地种植蔬菜，老张准备将点上移米，但整个大棚的形状不变，施工完成后，在大棚内设置多组平行的吊架，吊架底端平行于地面，在吊架上安装补光灯，增强蔬菜的光合作用．已知吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于米，且到地面的距离均为3米，求的值．
【答案】（1）
（2）钢架的长为米
（3）
【解析】
【分析】（1）设顶点式，再将点代入解析式，求出的值，即可确定抛物线的解析式；
（2）将代入已求出的抛物线解析式，解出对应的两个值，这两个值就是点和点的横坐标，最后计算两横坐标之差的绝对值，即为钢架的长度；
（3）先根据“大棚形状不变”设出上移后的抛物线解析式，再令吊架高度，求出此时大棚在该高度的水平宽度；接着结合吊架长度和两端水平距离的条件，得到水平宽度为3米；最后通过列方程求解m的值．
【小问1详解】
解：根据题意可设二次函数的解析式为：，
将代入得，，
解得，
抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：当时，−14(x−2)2+3=94，
解得，
∵2+3−(2−3)=23（米），
∴钢架的长为米；
【小问3详解】
解：设上移后的抛物线的解析式为：y=−14(x−2)2+3+m ，
由题意可知，吊架底端两个端点到地面的距离均为3米，令，
解得x=2±2m，
即此时大棚在该高度的水平宽度为=2+2m−(2−2m)=4m米，
∵吊架底端的长度为2米，吊架底端两个端点到大棚的水平距离等于米，
，
．
23. 如图1， 中，，将绕点逆时针旋转度，得到，点B，C的对应点分别为点M，N，延长交于点．
（1）请判断：在旋转过程中，与的数量关系为_____________；
（2）如图2，在旋转过程中，当时，连接，延长交于点E．
①求证：；
②若两直角边的比为，请直接写出AN−ABCE的值．
【答案】（1）
（2）①见解析；②AN−ABCE的值为或
【解析】
【分析】（1）解：连接，由旋转，得，得到，继而证明出，则，即可解答；
（2）①延长交于点，由（1），得，推导出得到继而推导出，得到，则，即可解答；
②过点作，垂足为点，推导出四边形是矩形，得到，设的一直角边长为，另一直角边为，由勾股定理，可得，由旋转，得AN=AC=5k ，，则，分类讨论：第一种情况：当时，第二种情况：当时，逐项分析求解即可．
【小问1详解】
解：连接，如图
由旋转，得
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
①证明：如图1，延长交于点．
由（1），得，
∴∠MBD=∠BMD,
∴∠NMH=∠BMD=∠MBD,
∴∠H=∠MBD,
∴∠NMH=∠H,
∴，
由旋转，得
在和中，
．
；
②AN−ABCE的值为或，理由如下：
过点作，垂足为点，如图
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵两直角边的比为，设的一直角边长为，另一直角边为，
由勾股定理，可得，
由旋转，得AN=AC=5k ，，
∴，
第一种情况：当时，AB=AM=CF=3k,BC=MN=AF=4k ，
∴FN=AN−AF=k ，
由（2），得为中点，
∴CE=12CN=102k,
∴AN−ABCE=5k−3k102k=2510,
第二种情况：当时，AB=AM=CF=4k,BC=MN=AF=3k ，
∴AN−ABCE=5k−4k5k=55,
综上所述，AN−ABCE的值为或．八（1）班
0
1
1
1
8
4
八（2）班
1
0
0
a
b
3
平均数
众数
中位数
八（1）班
82
c
82
八（2）班
82
84
d
…
3
4
5
6
8
9
10
12
…
…
…
…
3
4
5
6
8
9
10
12
…
…
8
6
4.8
4
3
2.4
2
…
快充
慢充
进价/（元/个）
售价/（元/个）
40
15