2026届福建省福州市鼓楼区福州第一中学中考数学仿真试卷含解析

这是一份2026届福建省福州市鼓楼区福州第一中学中考数学仿真试卷含解析，共12页。试卷主要包含了答题时请按要求用笔，若x＞y，则下列式子错误的是等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，问有多少人？该物品价几何？设有x人，物品价值y元，则所列方程组正确的是( )
A．B．
C．D．
2．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE+FH的最大值为（ ）
A．6B．9C．10D．12
3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=4，两等圆⊙A，⊙B外切，那么图中两个扇形（即阴影部分）的面积之和为（ ）
A．2πB．4πC．6πD．8π
4．化简(﹣a2)•a5所得的结果是( )
A．a7B．﹣a7C．a10D．﹣a10
5．自1993年起，联合国将每年的3月11日定为“世界水日”，宗旨是唤起公众的节水意识，加强水资源保护．某校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级随机选出10名学生统计出各自家庭一个月的节约用水量，有关数据整理如下表．
这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．1.1，1.1；B．1.4，1.1；C．1.3，1.4；D．1.3，1.1．
6．已知二次函数的与的不符对应值如下表：
且方程的两根分别为，，下面说法错误的是（ ）．
A．，B．
C．当时，D．当时，有最小值
7．在以下四个图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
8．在0，π，﹣3，0.6，这5个实数中，无理数的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．若x＞y，则下列式子错误的是（ ）
A．x﹣3＞y﹣3B．﹣3x＞﹣3yC．x+3＞y+3D．
10．如图，平行四边形ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O直径BE上，连结AE，若∠E=36°，则∠ADC的度数是（ ）
A．44°B．53°C．72°D．54°
11．如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到，则四边形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．16
12．将三粒均匀的分别标有，，，，，的正六面体骰子同时掷出，朝上一面上的数字分别为，，，则，，正好是直角三角形三边长的概率是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．分解因式：2m2-8=_______________．
14．如图，在四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AC=AD，BC＞AB，AB∥CD，AB=4，BD=2，tan∠BAC=3，则线段BC的长是_____．
15．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中约有红球_____个．
16．分解因式：mx2﹣4m＝_____．
17．在正方形中，，点在对角线上运动，连接，过点作，交直线于点（点不与点重合），连接，设，，则和之间的关系是__________（用含的代数式表示）．
18．设、是一元二次方程的两实数根，则的值为 .
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）问题背景：如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，∠BAD＝∠BAC＝60°，于是＝＝
迁移应用：如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D，E，C三点在同一条直线上，连接BD．
（1）求证：△ADB≌△AEC；（2）若AD＝2，BD＝3，请计算线段CD的长；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．
（3）证明：△CEF是等边三角形；（4）若AE＝4，CE＝1，求BF的长．
20．（6分）某校为了创建书香校远，计划进一批图书，经了解．文学书的单价比科普书的单价少20元，用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等．文学书和科普书的单价分别是多少元？该校计划用不超过5000元的费用购进一批文学书和科普书，问购进60本文学书后最多还能购进多少本科普书？
21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
22．（8分）已知点E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F，求证△ABF∽△EAD.
23．（8分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：
（1）这次随机抽取的献血者人数为 人，m= ；补全上表中的数据；若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：
从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？
24．（10分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°.
操作发现如图1，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转．当点D恰好落在BC边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；
②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S1．则S1与S1的数量关系是 ．猜想论证
当△DEC绕点C旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S1的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．拓展探究
已知∠ABC=60°，点D是其角平分线上一点，BD=CD=4，OE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF=S△BDC,请直接写出相应的BF的长
25．（10分）在矩形ABCD中，两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=2，求AD的长．
26．（12分） (1)解方程组
(2)若点是平面直角坐标系中坐标轴上的点，( 1 )中的解分别为点的横、纵坐标,求的最小值及取得最小值时点的坐标.
27．（12分）如图，在Rt△ABC中，，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE.求证：CE=AD；当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明理由；若D为AB中点，则当=______时，四边形BECD是正方形.
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解析】
根据题意相等关系：①8×人数-3=物品价值，②7×人数+4=物品价值，可列方程组：，
故选C.
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系.
2、B
【解析】
首先连接OA、OB，根据圆周角定理，求出∠AOB=2∠ACB=60°，进而判断出△AOB为等边三角形；然后根据⊙O的半径为6，可得AB=OA=OB=6，再根据三角形的中位线定理，求出EF的长度；最后判断出当弦GH是圆的直径时，它的值最大，进而求出GE+FH的最大值是多少即可．
【详解】
解：如图，连接OA、OB，
，
∵∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∵⊙O的半径为6，
∴AB=OA=OB=6，
∵点E，F分别是AC、BC的中点，
∴EF=AB=3，
要求GE+FH的最大值，即求GE+FH+EF（弦GH）的最大值，
∵当弦GH是圆的直径时，它的最大值为：6×2=12，
∴GE+FH的最大值为：12﹣3=1．
故选：B．
【点睛】
本题结合动点考查了圆周角定理，三角形中位线定理，有一定难度．确定GH的位置是解题的关键.
3、B
【解析】
先依据勾股定理求得AB的长，从而可求得两圆的半径为4，然后由∠A+∠B=90°可知阴影部分的面积等于一个圆的面积的．
【详解】
在△ABC中，依据勾股定理可知AB==8，
∵两等圆⊙A，⊙B外切，
∴两圆的半径均为4，
∵∠A+∠B=90°，
∴阴影部分的面积==4π．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查的是相切两圆的性质、勾股定理的应用、扇形面积的计算，求得两个扇形的半径和圆心角之和是解题的关键．
4、B
【解析】
分析:根据同底数幂的乘法计算即可,计算时注意确定符号.
详解: (-a2)·a5=-a7.
故选B.
点睛:本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握同底数的幂相乘，底数不变，指数相加是解答本题的关键.
5、D
【解析】
分析：中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
详解：这组数据的中位数是；
这组数据的众数是1.1．
故选D．
点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力，要明确定义，一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6、C
【解析】
分别结合图表中数据得出二次函数对称轴以及图像与x轴交点范围和自变量x与y的对应情况，进而得出答案.
【详解】
A、利用图表中x＝0，1时对应y的值相等，x＝﹣1，2时对应y的值相等，∴x＝﹣2，5时对应y的值相等，∴x＝﹣2，y＝5，故此选项正确；B、方程ax2＋bc＋c＝0的两根分别是x1、x2（x1＜x2），且x＝1时y＝﹣1；x＝2时，y＝1，∴1＜x2＜2，故此选项正确；C、由题意可得出二次函数图像向上，∴当x1＜x＜x2时，y＜0，故此选项错误；D、∵利用图表中x＝0，1时对应y的值相等，∴当x＝时，y有最小值，故此选项正确，不合题意.所以选C.
【点睛】
此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及利用图像上点的坐标得出函数的性质，利用数形结合得出是解题关键.
7、A
【解析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【详解】
A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8、B
【解析】
分别根据无理数、有理数的定义逐一判断即可得．
【详解】
解：在0，π，-3，0.6，这5个实数中，无理数有π、这2个，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
9、B
【解析】
根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案：
A、不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
B、乘以一个负数，不等号的方向改变，错误；
C、不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
D、不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确．
故选B．
10、D
【解析】
根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，再根据直角三角形的性质和平行四边形的性质可得解.
【详解】
根据直径所对的圆周角为直角可得∠BAE=90°，
根据∠E=36°可得∠B=54°，
根据平行四边形的性质可得∠ADC=∠B=54°.
故选D
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、圆的基本性质.
11、B
【解析】
根据平移的基本性质，得出四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC即可得出答案．
根据题意，将周长为8个单位的△ABC沿边BC向右平移1个单位得到△DEF，
∴AD=1，BF=BC+CF=BC+1，DF=AC；
又∵AB+BC+AC=8，
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BF+DF=1+AB+BC+1+AC=1．
故选C．
“点睛”本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．得到CF=AD，DF=AC是解题的关键．
12、C
【解析】
三粒均匀的正六面体骰子同时掷出共出现216种情况,而边长能构成直角三角形的数字为3、4、5,含这三个数字的情况有6种,故由概率公式计算即可.
【详解】
解:因为将三粒均匀的分别标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子同时掷出,按出现数字的不同共=216种情况,其中数字分别为3,4,5,是直角三角形三边长时,有6种情况,所以其概率为,
故选C.
【点睛】
本题考查的是概率的求法.如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.边长为3,4,5的三角形组成直角三角形.
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、2（m+2）（m-2）
【解析】
先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式．
【详解】
2m2-8，
=2（m2-4），
=2（m+2）（m-2）
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法，十字相乘等方法分解．
14、6
【解析】
作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB，可得DE=CF，且AC=AD，可证Rt△ADE≌Rt△AFC，可得AE=AF，∠DAE=∠BAC，根据tan∠BAC=∠DAE=，可设DE=3a，AE=a，根据勾股定理可求a的值，由此可得BF，CF的值．再根据勾股定理求BC的长．
【详解】
如图：
作DE⊥AB，交BA的延长线于E，作CF⊥AB，
∵AB∥CD，DE⊥AB⊥，CF⊥AB
∴CF=DE，且AC=AD
∴Rt△ADE≌Rt△AFC
∴AE=AF，∠DAE=∠BAC
∵tan∠BAC=3
∴tan∠DAE=3
∴设AE=a，DE=3a
在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2
∴52=（4+a）2+27a2
解得a1=1，a2=-（不合题意舍去）
∴AE=1=AF，DE=3=CF
∴BF=AB-AF=3
在Rt△BFC中，BC=＝6
【点睛】
本题是解直角三角形问题，恰当地构建辅助线是本题的关键，利用三角形全等证明边相等，并借助同角的三角函数值求线段的长，与勾股定理相结合，依次求出各边的长即可．
15、8
【解析】
试题分析：设红球有x个，根据概率公式可得，解得：x＝8.
考点：概率.
16、m（x+2）（x﹣2）
【解析】
提取公因式法和公式法相结合因式分解即可.
【详解】
原式
故答案为
【点睛】
本题主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.分解一定要彻底.
17、或
【解析】
当F在边AB上时，如图1作辅助线，先证明≌，得，，根据正切的定义表示即可；
当F在BA的延长线上时，如图2，同理可得：≌，表示AF的长，同理可得结论．
【详解】
解：分两种情况：
当F在边AB上时，如图1，
过E作，交AB于G，交DC于H，
四边形ABCD是正方形，
，，，
，，
，
，
≌，
，
，
，
中，，
即；
当F在BA的延长线上时，如图2，
同理可得：≌，
，
，
，
中，．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、三角函数等知识，熟练掌握正方形中辅助线的作法是关键，并注意F在直线AB上，分类讨论．
18、27
【解析】
试题分析：根据一元二次方程根与系数的关系，可知+=5，·=-1，因此可知=-2=25+2=27.
故答案为27.
点睛：此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题时灵活运用根与系数的关系：，，确定系数a，b，c的值代入求解，然后再通过完全平方式变形解答即可.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）见解析；（2）CD =；（3）见解析；（4）
【解析】
试题分析：迁移应用：（1）如图2中，只要证明∠DAB=∠CAE，即可根据SAS解决问题；
（2）结论：CD=AD+BD．由△DAB≌△EAC，可知BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD•cs30°= AD，由AD=AE，AH⊥DE，推出DH=HE，由CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD，即可解决问题；
拓展延伸：（3）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．由BC=BE=BD=BA，FE=FC，推出A、D、E、C四点共圆，推出∠ADC=∠AEC=120°，推出∠FEC=60°，推出△EFC是等边三角形；
（4）由AE=4，EC=EF=1，推出AH=HE=2，FH=3，在Rt△BHF中，由∠BFH=30°，可得=cs30°，由此即可解决问题．
试题解析：
迁移应用：（1）证明：如图2，
∵∠BAC=∠DAE=120°，
∴∠DAB=∠CAE，
在△DAE和△EAC中，
DA=EA，∠DAB=∠EAC，AB=AC，
∴△DAB≌△EAC，
（2）结论：CD=AD+BD．
理由：如图2-1中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，
∴BD=CE，
在Rt△ADH中，DH=AD•cs30°=AD，
∵AD=AE，AH⊥DE，
∴DH=HE，
∵CD=DE+EC=2DH+BD=AD+BD=．
拓展延伸：（3）如图3中，作BH⊥AE于H，连接BE．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，
∴△ABD，△BDC是等边三角形，
∴BA=BD=BC，
∵E、C关于BM对称，
∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，
∴A、D、E、C四点共圆，
∴∠ADC=∠AEC=120°，
∴∠FEC=60°，
∴△EFC是等边三角形，
（4）∵AE=4，EC=EF=1，
∴AH=HE=2，FH=3，
在Rt△BHF中，∵∠BFH=30°，
∴ =cs30°，
∴BF=．
20、（1）文学书的单价为40元/本，科普书的单价为1元/本；（2）购进1本文学书后最多还能购进2本科普书．
【解析】
（1）设文学书的单价为x元/本，则科普书的单价为（x+20）元/本，根据数量=总价÷单价结合用800元购进的文学书本数与用1200元购进的科普书本数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购进m本科普书，根据总价=文学书的单价×购进本数+科普书的单价×购进本数结合总价不超过5000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．
【详解】
解：（1）设文学书的单价为x元/本，则科普书的单价为（x+20）元/本，
依题意，得：，
解得：x＝40，
经检验，x＝40是原分式方程的解，且符合题意，
∴x+20＝1．
答：文学书的单价为40元/本，科普书的单价为1元/本．
（2）设购进m本科普书，
依题意，得：40×1+1m≤5000，
解得：m≤．
∵m为整数，
∴m的最大值为2．
答：购进1本文学书后最多还能购进2本科普书．
【点睛】
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21、（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与1的关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=1，解得m=1
∴2--2=1．
∴
∴另一根是2；
(2)∵，
∴方程①有两个不相等的实数根．
考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞1，方程有两个不相等的实数根；当△=1，方程有两个相等的实数根；当△＜1，方程没有实数根
22、证明见解析
【解析】
试题分析：先利用等角的余角相等得到根据有两组角对应相等，即可证明两三角形相似.
试题解析：∵四边形为矩形，
于点F，
点睛：两组角对应相等，两三角形相似.
23、（1）50，20；（2）12，23；见图；（3）大约有720人是A型血．
【解析】
【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后用B型的人数除以抽取的总人数即可求得m的值；
（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；
（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数．
【详解】（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），
所以m=×100=20，
故答案为50，20；
（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），
A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），
补全表格中的数据如下：
故答案为12，23；
（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率=，
3000×=720，
估计这3000人中大约有720人是A型血．
【点睛】本题考查了扇形统计图、统计表、概率公式、用样本估计总体等，读懂统计图、统计表，从中找到必要的信息是解题的关键；随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
24、解：（1）①DE∥AC．②．（1）仍然成立，证明见解析；（3）3或2．
【解析】
（1）①由旋转可知：AC=DC，
∵∠C=90°，∠B=∠DCE=30°，∴∠DAC=∠CDE=20°．∴△ADC是等边三角形．
∴∠DCA=20°．∴∠DCA=∠CDE=20°．∴DE∥AC．
②过D作DN⊥AC交AC于点N，过E作EM⊥AC交AC延长线于M，过C作CF⊥AB交AB于点F．

由①可知：△ADC是等边三角形, DE∥AC，∴DN=CF,DN=EM．
∴CF=EM．
∵∠C=90°，∠B =30°
∴AB=1AC．
又∵AD=AC
∴BD=AC．
∵
∴．
（1）如图，过点D作DM⊥BC于M，过点A作AN⊥CE交EC的延长线于N，
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，
∴BC=CE，AC=CD，
∵∠ACN+∠BCN=90°，∠DCM+∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，
∵在△ACN和△DCM中， ，
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），
即S1=S1；
（3）如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，
所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，
此时S△DCF1=S△BDE；
过点D作DF1⊥BD，
∵∠ABC=20°，F1D∥BE，
∴∠F1F1D=∠ABC=20°，
∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30°，∠F1DB=90°，
∴∠F1DF1=∠ABC=20°，
∴△DF1F1是等边三角形，
∴DF1=DF1，过点D作DG⊥BC于G，
∵BD=CD，∠ABC=20°，点D是角平分线上一点，
∴∠DBC=∠DCB=×20°=30°，BG=BC=，
∴BD=3
∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，
∠CDF1=320°-150°-20°=150°，
∴∠CDF1=∠CDF1，
∵在△CDF1和△CDF1中，
，
∴△CDF1≌△CDF1（SAS），
∴点F1也是所求的点，
∵∠ABC=20°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，
∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=×20°=30°，
又∵BD=3，
∴BE=×3÷cs30°=3，
∴BF1=3，BF1=BF1+F1F1=3+3=2，
故BF的长为3或2．
25、
【解析】
试题分析：
由矩形的对角线相等且互相平分可得：OA=OB=OD，再由∠AOB=60°可得△AOB是等边三角形，从而得到OB=OA=2，则BD=4，最后在Rt△ABD中，由勾股定理可解得AD的长.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OD，∠BAD=90°，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB=OA=2，
∴BD=2OB=4，
在Rt△ABD中
∴AD===.
26、（1）；（2）当坐标为时，取得最小值为.
【解析】
（1）用加减消元法解二元一次方程组；（2）利用（1）确定出B的坐标，进而得到AB取得最小值时A的坐标，以及AB的最小值．
【详解】
解：（1）
①②得：
解得：
把代入②得，
则方程组的解为
(2 )由题意得:,
当坐标为时，取得最小值为.
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则及数形结合思想解题是解本题的关键．
27、（1）详见解析；(2)菱形；（3）当∠A=45°，四边形BECD是正方形．
【解析】
(1)先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
(2)求出四边形BECD是平行四边形，求出CD=BD，根据菱形的判定推出即可；
(3)求出∠CDB=90°，再根据正方形的判定推出即可．
【详解】
(1)∵DE⊥BC，
∴∠DFP=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠DFB=∠ACB，
∴DE//AC，
∵MN//AB，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴CE=AD；
(2)菱形，理由如下：
在直角三角形ABC中，
∵D为AB中点，
∴BD=AD，
∵CE=AD，
∴BD=CE，
∴MN//AB，
∴BECD是平行四边形，
∵∠ACB=90°，D是AB中点，
∴BD=CD，（斜边中线等于斜边一半）
∴四边形BECD是菱形；
(3)若D为AB中点，则当∠A=45°时，四边形BECD是正方形，
理由：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∵四边形BECD是菱形，
∴DC=DB，
∴∠DBC=∠DCB=45°，
∴∠CDB=90°，
∵四边形BECD是菱形，
∴四边形BECD是正方形，
故答案为45°.
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定、正方形的判定，直角三角形斜边中线的性质等，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
节约用水量（单位：吨）
1
1.1
1.4
1
1.5
家庭数
4
6
5
3
1
血型
A
B
AB
O
人数

10
5

血型
A
B
AB
O
人数
12
10
5
23