2026届安徽省瑶海区中考考前最后一卷数学试卷含解析

这是一份2026届安徽省瑶海区中考考前最后一卷数学试卷含解析，共13页。试卷主要包含了方程的解是，分式有意义，则x的取值范围是等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C，B，E在y轴上，Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，若点B的坐标为（0，1），OD＝2，则这种变化可以是（ ）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度
B．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度
C．△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度
D．△ABC绕点O逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度
3．据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A．3.386×108B．0.3386×109C．33.86×107D．3.386×109
4．估计﹣2的值应该在（ ）
A．﹣1﹣0之间B．0﹣1之间C．1﹣2之间D．2﹣3之间
5．已知函数，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为（ ）
A．8.23×10﹣6B．8.23×10﹣7C．8.23×106D．8.23×107
7．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为（ ）
A．160米B．（60+160）C．160米D．360米
9．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠2B．x＝0C．x≠﹣2D．x＝﹣7
10．如图，直线a∥b，点A在直线b上，∠BAC=100°，∠BAC的两边与直线a分别交于B、C两点，若∠2=32°，则∠1的大小为（ ）
A．32°B．42°C．46°D．48°
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，已知直线与轴、轴相交于、两点，与的图象相交于、两点，连接、.给出下列结论：
①；②；③；④不等式的解集是或.
其中正确结论的序号是__________．
12．可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为.数字0.00092用科学记数法表示是__________．
13．如图，直线y＝kx与双曲线y＝(x＞0)交于点A(1，a)，则k＝_____．
14．如图，甲和乙同时从学校放学，两人以各自送度匀速步行回家，甲的家在学校的正西方向，乙的家在学校的正东方向，乙家离学校的距离比甲家离学校的距离远3900米，甲准备一回家就开始做什业，打开书包时发现错拿了乙的练习册．于是立即步去追乙，终于在途中追上了乙并交还了练习册，然后再以先前的速度步行回家，（甲在家中耽搁和交还作业的时间忽略不计）结果甲比乙晚回到家中，如图是两人之间的距离y米与他们从学校出发的时间x分钟的函数关系图，则甲的家和乙的家相距_____米．
15．如果方程x2-4x+3=0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为＿＿＿＿＿＿＿．
16．有五张背面完全相同的卡片，其正面分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形，将这五张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是_____．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）如图1，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝＝，根据上述角的余切定义，解下列问题：
（1）如图1，若BC＝3，AB＝5，则ctanB＝_____；
（2）ctan60°＝_____；
（3）如图2，已知：△ABC中，∠B是锐角，ctan C＝2，AB＝10，BC＝20，试求∠B的余弦csB的值．
18．（8分）每年的6月5日为世界环保日，为了提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新设备，现有甲、乙两种型号的设备可供选购，经调查：购买了3台甲型设备比购买2台乙型设备多花了16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元.求甲、乙两种型号设备的价格；该公司经预算决定购买节省能源的新设备的资金不超过110万元，你认为该公司有几种购买方案；在（2）的条件下，已知甲型设备的产量为240吨/月，乙型设备的产量为180吨/月，若每月要求总产量不低于2040吨，为了节约资金，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案.
19．（8分）现种植A、B、C三种树苗一共480棵，安排80名工人一天正好完成，已知每名工人只植一种树苗，且每名工人每天可植A种树苗8棵；或植B种树苗6棵，或植C种树苗5棵．经过统计，在整个过程中，每棵树苗的种植成本如图所示．设种植A种树苗的工人为x名，种植B种树苗的工人为y名．求y与x之间的函数关系式；设种植的总成本为w元，
①求w与x之间的函数关系式；
②若种植的总成本为5600元，从植树工人中随机采访一名工人，求采访到种植C种树苗工人的概率．
20．（8分）如图，在中，,以边为直径作⊙交边于点,过点作于点，、的延长线交于点.
求证：是⊙的切线；若,且,求⊙的半径与线段的长.
21．（8分）勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下
如图（1）∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF=b-a
S四边形ADCB=
S四边形ADCB=
∴化简得：a2+b2=c2
请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明，如图（2）中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
22．（10分）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买A，B两种花木共100棵绿化操场，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元．
（1）若购进A，B两种花木刚好用去8000元，则购买了A，B两种花木各多少棵？
（2）如果购买B花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．
23．（12分）如图，在中，AB＝AC，，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.
（1）∠EDB＝_____（用含的式子表示）
（2）作射线DM与边AB交于点M，射线DM绕点D顺时针旋转，与AC边交于点N.
①根据条件补全图形；
②写出DM与DN的数量关系并证明；
③用等式表示线段BM、CN与BC之间的数量关系，（用含的锐角三角函数表示）并写出解题思路.
24．如图，为的直径，，为上一点，过点作的弦，设．
（1）若时，求、的度数各是多少？
（2）当时，是否存在正实数，使弦最短？如果存在，求出的值，如果不存在，说明理由；
（3）在（1）的条件下，且，求弦的长．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、A
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2、C
【解析】
Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE,应先旋转然后平移即可
【详解】
∵Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，点B的坐标为（0，1），OD＝2，
∴DO＝BC＝2，CO＝3，
∴将△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，即可得到△DOE；
或将△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，即可得到△DOE；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，解题的关键在于利用旋转和平移的概念和性质求坐标的变化
3、A
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108
故选:A
【点睛】
本题考查科学记数法—表示较大的数．
4、A
【解析】
直接利用已知无理数得出的取值范围，进而得出答案．
【详解】
解：∵1＜＜2，
∴1-2＜﹣2＜2-2，
∴-1＜﹣2＜0
即-2在-1和0之间．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数大小，正确得出的取值范围是解题关键．
5、D
【解析】
解：如图：
利用顶点式及取值范围，可画出函数图象会发现：当x=3时，y=k成立的x值恰好有三个.
故选：D.
6、B
【解析】
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
详解：0.000000823=8.23×10-1．
故选B．
点睛：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7、D
【解析】
按照解分式方程的步骤进行计算，注意结果要检验.
【详解】
解：
经检验x=4是原方程的解
故选：D
【点睛】
本题考查解分式方程，注意结果要检验.
8、C
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D.根据三角函数关系求出BD、CD的长，进而可求出BC的长.
【详解】
如图所示，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AD＝120m，BD＝AD∙tan30°＝120×＝m；
在Rt△ADC中，∠DAC＝60°，CD＝AD∙tan60°＝120×＝m.
∴BC＝BD＋DC＝m.
故选C.
【点睛】
本题主要考查三角函数，解答本题的关键是熟练掌握三角函数的有关知识，并牢记特殊角的三角函数值.
9、A
【解析】
直接利用分式有意义则分母不为零进而得出答案．
【详解】
解：分式有意义，
则x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义.分式是否有意义与分子的取值无关.
10、D
【解析】
根据平行线的性质与对顶角的性质求解即可.
【详解】
∵a∥b，
∴∠BCA=∠2，
∵∠BAC=100°，∠2=32°
∴∠CBA=180°-∠BAC-∠BCA=180°-100°-32°=48°.
∴∠1=∠CBA=48°.
故答案选D.
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行线的性质与对顶角的性质.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、②③④
【解析】
分析：根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①错误；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得到-2m=n故②正确；把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得到y=-mx-m，求得P（-1，0），Q（0，-m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP=S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确．
详解：由图象知，k1＜0，k2＜0，
∴k1k2＞0，故①错误；
把A（-2，m）、B（1，n）代入y=中得-2m=n，
∴m+n=0，故②正确；
把A（-2，m）、B（1，n）代入y=k1x+b得
，
∴,
∵-2m=n，
∴y=-mx-m，
∵已知直线y=k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴P（-1，0），Q（0，-m），
∴OP=1，OQ=m，
∴S△AOP=m，S△BOQ=m，
∴S△AOP=S△BOQ；故③正确；
由图象知不等式k1x+b＞的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确；
故答案为：②③④．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点，求两直线的交点坐标，三角形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
12、9.2×10﹣1．
【解析】
根据科学记数法的正确表示为,由题意可得0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣1.
【详解】
根据科学记数法的正确表示形式可得:
0.00092用科学记数法表示是9.2×10﹣1.
故答案为: 9.2×10﹣1.
【点睛】
本题主要考查科学记数法的正确表现形式,解决本题的关键是要熟练掌握科学记数法的正确表现形式.
13、1
【解析】
解：∵直线y=kx与双曲线y=（x＞0）交于点A（1，a），∴a=1，k=1．故答案为1．
14、5200
【解析】
设甲到学校的距离为x米，则乙到学校的距离为(3900+x),甲的速度为4y(米/分钟)，则乙的速度为3y(米/分钟)，依题意得：

解得
所以甲到学校距离为2400米，乙到学校距离为6300米，
所以甲的家和乙的家相距8700米.
故答案是：8700.
【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用等知识，解题的关键是读懂图象信息．
15、或
【解析】
解方程x2-4x+3=0得，x1=1，x2=3，
①当3是直角边时，∵△ABC最小的角为A，∴tanA=；
②当3是斜边时，根据勾股定理，∠A的邻边=，∴tanA=；
所以tanA的值为或．
16、
【解析】
分析：直接利用中心对称图形的性质结合概率求法直接得出答案．
详解：∵等腰三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形中，平行四边形、矩形、正方形、菱形都是中心对称图形，
∴从中随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是：．
故答案为．
点睛：此题主要考查了中心对称图形的性质和概率求法，正确把握中心对称图形的定义是解题关键．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）；（2）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）先利用勾股定理计算出AC=4，然后根据余切的定义求解；
（2）根据余切的定义得到ctan60°=，然后把tan60°=代入计算即可；
（3）作AH⊥BC于H，如图2，先在Rt△ACH中利用余切的定义得到ctanC==2，则可设AH=x，CH=2x，BH=BC﹣CH=20﹣2x，接着再在Rt△ABH中利用勾股定理得到（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），所以BH=8，然后根据余弦的定义求解．
解：（1）∵BC=3，AB=5，
∴AC==4，
∴ctanB==；
（2）ctan60°===；
（3）作AH⊥BC于H，如图2，
在Rt△ACH中，ctanC==2，
设AH=x，则CH=2x，
∴BH=BC﹣CH=20﹣2x，
在Rt△ABH中，∵BH2+AH2=AB2，
∴（20﹣2x）2+x2=102，解得x1=6，x2=10（舍去），
∴BH=20﹣2×6=8，
∴csB===．
考点：解直角三角形．
18、（1）甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元．（2）有6种购买方案．（3）最省钱的购买方案为，选购甲型设备4台，乙型设备6台．
【解析】
(1)设甲、乙两种型号设备每台的价格分别为万元和万元，根据购买了3台甲型设备比购买2台乙型设备多花了16万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少花6万元可列出方程组，解之即可；
(2)设购买甲型设备台，乙型设备台，根据购买节省能源的新设备的资金不超过110万元列不等式，解之确定m的值，即可确定方案；
(3)因为公司要求每月的产量不低于2040吨，据此可得关于m的不等式，解之即可由m的值确定方案，然后进行比较，做出选择即可．
【详解】
(1)设甲、乙两种型号设备每台的价格分别为万元和万元，
由题意得：，
解得：，
则甲，乙两种型号设备每台的价格分别为12万元和10万元；
(2)设购买甲型设备台，乙型设备台，
则，
∴,
∵取非负整数，
∴，
∴有6种购买方案；
(3)由题意：，
∴，
∴为4或5，
当时，购买资金为：(万元)，
当时，购买资金为：(万元)，
则最省钱的购买方案是选购甲型设备4台，乙型设备6台.
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系、不等关系列出方程组与不等式是解题的关键.
19、（1）；（2）①；②
【解析】
（1）先求出种植C种树苗的人数，根据现种植A、B、C三种树苗一共480棵，可以列出等量关系，解出y与x之间的关系；
（2）①分别求出种植A，B，C三种树苗的成本，然后相加即可；
②求出种植C种树苗工人的人数，然后用种植C种树苗工人的人数÷总人数即可求出概率．
【详解】
解：（1）设种植A种树苗的工人为x名，种植B种树苗的工人为y名，则种植C种树苗的人数为（80-x-y）人，
根据题意，得：8x+6y+5（80-x-y）=480，
整理，得：y=-3x+80；
（2）①w=15×8x+12×6y+8×5（80-x-y）=80x+32y+3200，
把y=-3x+80代入，得：w=-16x+5760，
②种植的总成本为5600元时，w=-16x+5760=5600，
解得x=10，y=-3×10+80=50，
即种植A种树苗的工人为10名，种植B种树苗的工人为50名，种植B种树苗的工人为：80-10-50=20名．
采访到种植C种树苗工人的概率为：=．
【点睛】
本题主要考查了一次函数的实际问题，以及概率的求法，能够将实际问题转化成数学模型是解答此题的关键．
20、（1）证明参见解析；（2）半径长为，=.
【解析】
（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，连结，则，所以，∵，∴.∴，∴∥.由得出，于是得出结论；（2）由得到，设，则.，，，由，解得值，进而求出圆的半径及AE长.
【详解】
解：（1）已知点D在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结，∵，∴.∵，∴.∴，∴∥.∵，∴.∴是⊙的切线；（2）在和中，∵，∴. 设，则.∴，.∵，∴.∴，解得=，则3x=,AE=6×-=6,∴⊙的半径长为，=.
【点睛】
1.圆的切线的判定；2.锐角三角函数的应用.
21、见解析.
【解析】
首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
【详解】
证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b1+ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c1+a（b-a），
∴ab+b1+ab=ab+c1+a（b-a），
∴a1+b1=c1．
【点睛】
此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键．
22、（1）购买A种花木40棵，B种花木60棵；（2）当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．
【解析】
（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据“A，B两种花木共100棵、购进A，B两种花木刚好用去8000元”列方程组求解可得；
（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木（100﹣a）棵，根据“B花木的数量不少于A花木的数量”求得a的范围，再设购买总费用为W，列出W关于a的解析式，利用一次函数的性质求解可得．
【详解】
解析：（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，
根据题意，得：，解得：，
答：购买A种花木40棵，B种花木60棵；
（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木（100﹣a）棵，
根据题意，得：100﹣a≥a，解得：a≤50，
设购买总费用为W，则W=50a+100（100﹣a）=﹣50a+10000，
∵W随a的增大而减小，∴当a=50时，W取得最小值，最小值为7500元，
答：当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用.
23、（1）；（2）（2）①见解析；②DM＝DN，理由见解析；③数量关系：
【解析】
（1）先利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B=∠C=90°﹣α，然后利用互余可得到∠EDB=α；
（2）①如图，利用∠EDF=180°﹣2α画图；
②先利用等腰三角形的性质得到DA平分∠BAC，再根据角平分线性质得到DE=DF，根据四边形内角和得到∠EDF=180°﹣2α，所以∠MDE=∠NDF，然后证明△MDE≌△NDF得到DM=DN；
③先由△MDE≌△NDF可得EM=FN，再证明△BDE≌△CDF得BE=CF，利用等量代换得到BM+CN=2BE，然后根据正弦定义得到BE=BDsinα，从而有BM+CN=BC•sinα．
【详解】
（1）∵AB=AC，∴∠B=∠C（180°﹣∠A）=90°﹣α．
∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠EDB=90°﹣∠B=90°﹣（90°﹣α）=α．
故答案为：α；
（2）①如图：
②DM=DN．理由如下：∵AB=AC，BD=DC，∴DA平分∠BAC．
∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE=DF，∠MED=∠NFD=90°．
∵∠A=2α，∴∠EDF=180°﹣2α．
∵∠MDN=180°﹣2α，∴∠MDE=∠NDF．
在△MDE和△NDF中，∵，∴△MDE≌△NDF，∴DM=DN；
③数量关系：BM+CN=BC•sinα．
证明思路为：先由△MDE≌△NDF可得EM=FN，再证明△BDE≌△CDF得BE=CF，所以BM+CN=BE+EM+CF﹣FN=2BE，接着在Rt△BDE可得BE=BDsinα，从而有BM+CN=BC•sinα．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质．
24、（1）， ;（2）见解析；（3）．
【解析】
（1）连结AD、BD,利用m求出角的关系进而求出∠BCD、∠ACD的度数;
（2）连结,由所给关系式结合直径求出AP，OP，根据弦CD最短，求出∠BCD、∠ACD的度数，即可求出m的值．
（3）连结AD、BD，先求出AD，BD，AP，BP的长度，利用△APC∽△DPB和△CPB∽△APD得出比例关系式，得出比例关系式结合勾股定理求出CP，PD，即可求出CD．
【详解】
解：（1）如图1，连结、．
是的直径
，
又，
，
（2）如图2，连结．
，，
，则，
解得
要使最短，则于
，
，
，
故存在这样的值，且；
（3）如图3，连结、．
由（1）可得，
，，
，
，，
，
，
①，
②
同理
，
③，
由①得，由③得
，
在中，，
，
由②，得，
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质和锐角三角函数关系和圆周角定理等知识，掌握圆周角定理以及垂径定理是解题的关键．