广东省珠海市2026年中考模拟数学试卷四套及答案

这是一份广东省珠海市2026年中考模拟数学试卷四套及答案，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
下列各数中，相反数为 的数是（ ）
A．3B．C． D．
据统计，2025 年广东省全年快递业务量超 220 亿件，将 220 亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
下列图形，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．平行四边形C．圆D．正方形
如图， ，若 ，则的度数为（ ）
如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（ ）
A． B． C． D．
已知二次函数 ，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
A．
B．
C．
D．
5．计算
的结果是（

）
A．2
B．3
C．
D．
6．计算
A．
的结果是（ ）
B．
C．
D．
D．当 时， 随 的增大而减小
如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的两边 ， 分别在 轴的负半轴和轴的正半轴
上，反比例函数 的图象与相交于点，与相交于点，若点的坐标为 ，四边形的面积是 4，则 的值为（ ）
A．2B．C．4D．
如图，将矩形纸片沿边折叠，使点落在边 的中点 处．若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11．分解因式： －9=．
已知关于 x 的一元二次方程 有两个相等的实数根，则m 的值为．
不等式组的解集是．
母亲节是一个为感谢母亲而庆祝的节日．为了向母亲表达心意，小明决定到花店买三朵玫瑰花送给妈妈．已知该花店里有两种不同颜色且足够数量的玫瑰花，小明决定从这两种颜色的玫瑰花中随机选三朵，请问小明选到的玫瑰花颜色一样的概率是 ．
如图，在菱形 中， ， ， ，则 周长的最小值 为．
三、解答题（一）：本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分．
先化简，再求值： ，其中．
如题图，是的直径，点 C 为 上一点， 平分 交 于点 D，连接．若， ，求的长．
开平碉楼是广东省五邑侨乡中独特的多层塔楼式建筑，融防卫、居住功能和中西建筑艺术于一体， 被誉为“华侨文化的典范之作”与“世界建筑艺术博物馆”．如图，某班研学小组操作无人机进行了实地测量，从无人机（点 C 处）看碉楼顶部 A 的仰角是 ，看碉楼底部 B 的俯角是，无人机到碉楼的距离 约为 米，请估算此碉楼的高度 （参考数据：
，结果保留一位小数）．
四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分．
第十五届全国运动会吉祥物“喜洋洋”“乐融融”以中华白海豚为原型设计，头顶象征粤港澳三地的木棉花红、紫荆花紫、莲花绿水柱，寓意“三地同心、全民欢庆”．组委会需要定制一批吉祥物玩偶作为官方 纪念品，现从 A，B 两家特许生产工厂中选择一家作为主供应商．组委会对两家工厂此前生产的同类型产品的质量评分（满分 10 分）进行了抽样调查，分别随机抽取了 10 个样本数据，并绘制了如图所示的统计图和如下统计表．
根据以上信息，解决下列问题．
填空：
厂家
平均分/分
中位数/分
众数分
方差/分
你认为组委会应在A，B 两个厂家中选择哪一家进行合作？并说明理由；
若规定同类型产品质量评分 9 分及以上的为“优秀”等级，则 A 厂生产的 1000 件产品和 B 厂生产的 1500 件产品中，估计达到“优秀”等级的产品总数量．
防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知 A 队每小时检查的户数比 B 队多 4 户，A 队检查 120 户的时间与B 队检查 90 户的时间相等．
求 A 队、B 队的每小时检查的户数；
参数车型
运货量
(吨/车)
运货费用
(元/车)
M 型
2
50
N 型
1.5
40
两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共 17 吨，需要租用 10 辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M 型、N 型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？
综合与实践．
主题：纸张规格的奥秘．
材料：纸张尺寸是将纸张的长、宽规范成固定的比例尺寸来使用．目前在国际间最常使用的是 所制定的标准，并将尺寸冠以编号，例如 等．在不同年代，全球各地也有当地通用的纸张尺寸．在书籍、卡片、信封以及日常书写用纸上，使用统一的纸张尺寸大大提高了生活的便利性．
探究：如图， 系列长方形纸张的规格特征是：
①各长方形纸张的长宽比都相等；
②纸对裁后可以得到两张纸，纸对裁后可以得到两张纸，， 纸对裁后可以得到两张纸，我们把符合这种形状的纸称为 系纸．
A

②
9
B
9
③
④
直接写出系纸长与宽的比．
如图 2，折叠系纸片 ，点落在上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展开．点 为的中点，连接 ，折叠纸片 ，点落在 上的点 处，折痕为 ，过
点作 于点 ，四边形 纸片是否是 系纸片？如果是，请证明，如果不是请求出长与宽的比．
在图 2 中，四边形 纸片是否是系纸片？如果不是请在纸片 中折出系纸片，画
出图形，并加以证明．
五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分．
定义：如题图 1，点 M，N 把线段分割成，和，若以，， 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N 是线段的勾股分割点．
已知点 M，N 是线段的勾股分割点，若， ，求 的长；
如图 2，在菱形中，点、分别在、上， ， ， 分别交 于点 ．求证：是线段 的勾股分割点；
如图 3，点 是线段上的一定点， ．请在 上画一点 ，使得 C，D 是线段的勾股分割点（请用尺规进行作图）
已知二次函数 的图象经过点 ．
求二次函数的图象的对称轴．
若 的最小值为，将该函数的图象向右平移 2 个单位长度，得到新的二次函数的图象．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和．
设 的图象与 x 轴的交点分别为 ， ，且．若 ，
求 a 的取值范围．
答案
【答案】A
【答案】C
【答案】A
【答案】D
【答案】B
【答案】B
【答案】B
【答案】D
【答案】B
【答案】D
【答案】
【答案】4
【答案】
【答案】
【答案】
【答案】解：原式
当 时， 原式 ．
【答案】解：如图所示，连接，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ 平分 ，
解：选择 B 厂进行合作，
理由如下：两个厂家的平均分相同，众数也相同，但是 B 厂的中位数比 A 厂的大，意味着 B 厂质量得高分的更多，
∴选择 B 厂进行合作；
解： 件，
答：估计达到“优秀”等级的产品总数量为 1400 件．
【答案】（1）解：设 B 队每小时检查 x 户，则 A 队每小时检查 户，
根据题意得 ， 解得 ，
经检验， 是原方程的解， ，
答：A 队每小时检查 16 户，B 队每小时检查 12 户；
（2）解：设租用 M 型货车 m 辆，则租用 N 型货车 辆，总费用为元，由题意得，
解得 ，
∴
，
∵
，
∴
，
∴
，
∴
．
18．【答案】解：由题意得，在 中，
，
米，
米，
在 中，
米，
∴ 米，
答：此碉楼的高度 约为
19．【答案】（1）①；②
米．
；③9；④
由题意得 ，
∵ ，
∴w 随 m 的增大而增大，
∴当 时，w 最小，
w 最小值 元，
，
答：租用M 型货车 4 辆，N 型货车 6 辆时，运输总费用最低，最低总费用是 440 元．
【答案】（1）
解：四边形 纸片不是系纸片，在长方形 中， ， ，
由折叠可得 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 为正方形，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
由折叠可得 ， ， 连接 ，
设 ， ，
∴， ， ，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形纸片不是系纸片，长与宽的比为 ．
解：设 ，则 ，∵四边形 是系纸片，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 纸片不是 系纸片，
证明：由折叠可得
又∵ ，
∴
，
，
，
∴ ，
，
∴四边形是正方形， 又∵
∴四边形 是矩形，
，
，
∴
，
∴
，
如图，折叠纸片 ，点 落在上的点 处，折痕为 ，连接 ，纸片 为 系纸片，
，
∴，
∴四边形 纸片是 系纸片．
22．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
当 是斜边时， ，
∴ ，整理得，
∵ ，
∴原方程无解，即 不是斜边；
当 是斜边时， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
当 是斜边时， ，
∴ ，
解得， ，
∴ ；
∴ 的长为 或 ；
解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， 设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴，即，
，
，
∴ ，
∴ 是线段 的勾股分割点；
解：如图所示，
以点 为圆心，以 为半径画弧交 于点，
分别以点为圆心，以大于 为半径画弧交于点，连接，则为线段的垂直平分线，垂足为点 ，则 ，
在上取 ，
连接，分别以点为圆心，以大于 为半径画弧交于点，连接，交于点，则，
在中，，即 ，
∴点 即为所求点的位置．
23．【答案】（1）解：把 代入二次函数 中，得： ，
整理可得： ，
∴ ，
即对称轴为直线 ；
∴
，则
，
∴
∴
，
，
∴
，
（2）解：∵ 的最小值为 ，即当 时， ， 又∵ ，
∴有 ，
解得： ，
∴二次函数的表达式为： ，
∴向右平移 2 个单位后的新二次函数表达式为： ， 可得对称轴为：直线 ，
故当 时， ；
开口向上， 距离对称轴比 距离对称轴更远，
∴函数最大值在 处取到，即 ，
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
（3）解：由（1）知 ，
∴ ，
图象与 轴的交点分别为 ， ，且 ，
∴ ， ，
∵ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴，
，
解得：．
第二学期九年级第一次模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1． 的相反数是（ ）
A． B．C． D．
下列运算中，正确的是（ ）
B．
C．D．
3．2023 年 9 月 9 日，上海微电子研发的 28浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出
了坚实的一步．已知 28为 0.000000028 米，数据 0.000000028 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有 1 到 6 的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（ ）
出现点数为 6 的概率是 B．出现点数为 0 是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件D．出现点数为奇数是不可能事件
一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力 的方向竖直向下，支持力 的方向与斜面垂
直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力 与重力 方向的夹角 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
函数 的图象为( )
B．
C．D．
施工队要铺设一段全长 3000 米的管道，因在中考期间需停工 3 天，实际每天施工需比原来计划多 50
米，才能按时完成任务，求实际每天施工多少米? 设实际每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是
（ ）
A． B．
C． D．
如图，已知，以为直径的交 于点 D，与相切于点 A，连接．若，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
如图，在 中， ，分别以点 为圆心、 的长为半径画弧，与 的延长线分别交于点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，相交于点 O，．过点 A 作的垂线交于点 E，记长为 x，长为 y．当 x，y 的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A． B．C．D．
二、填空题（本大题 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
若 在实数范围内有意义，则实数的取值范围是.
分解因式： .
如图，E，F，G，H 分别为矩形 各边的中点．若 ， ，则四边形 的周长为．
珠海有百岛之市的美誉，甲、乙两游客来到珠海旅游，两人分别从 A，B，C 三个海岛中随机选择一个海岛游览，甲、乙两人同时选择海岛 B 的概率为．
如图 1 是一个立方体纸盒的示意图，图 2 是该立方体纸盒的表面展开图，连结， 交于点
P，则 的值为．
三、解答题（本大题 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
计算：
先化简，再求值： ，其中满足．
小丽同学用测角仪测量一棵树的高度，先在该树前平地上选择一点 A，站立此处，测得树顶端D 的仰角为 ，再测得点 A 离树底端 B 的距离为 20 米，并测得眼睛所在位置点 C 离点 A 的距离为 米， 请根据这些数据，求出树的高度．（参考数据： ， ， ）
四、解答题（本大题 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
为落实国家“双减”政策，某校开展了课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：A 乒乓球，B 武术，C 篮球，D 足球．为了解学生最喜欢哪一种运动项目，随机抽取部分学生进行调查（每位学生仅选一种），并将调查结果制成如图尚不完整的统计图表．
本次调查的样本容量是，并补全条形统计图；
在扇形统计图中，“B 武术”对应的圆心角的度数是；
若该校共有 1000 名学生，请你估计该校最喜欢“A 乒乓球”的学生人数．
如图，反比例函数 和 的图象分别与直线依次相交于，， 三点．
求出直线 对应的函数表达式；
分别以点，为圆心，以大于 的长度为半径作弧，两弧相交于点和点．直线交轴于点，连接， ．试判断 的形状，并说明理由；
请直接写出关于 的不等式 的解集．
如图，已知 是 的外接圆， ，点 ， 分别是， 的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 ．
求证：与 相切；
若， ，求 的半径．
五、解答题（本大题 2 小题，22 题 13 分，23 题 14 分，共 27 分）
综合与实践
问题情境：如图 1，矩形 是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段 组成的封闭图形，点 A，B 在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案．
方案设计：如图 2，米， 的垂直平分线与抛物线交于点 P，与 交于点 O，点 P 是抛物线的顶点，且 米．欣欣设计的方案如下：
第一步：在线段 上确定点C，使，用篱笆沿线段 分隔出区域，种植串串红；
第二步：在线段 上取点 F（不与 C，P 重合），过点 F 作的平行线，交抛物线于点 D，E．用篱笆沿 将线段 与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季．
方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步 区域的分隔后，发现仅剩 6 米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完 6 米材料，需确定 与 的长．为此，欣欣在图 2 中以 所在直线为 x 轴， 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题：
在图 2 中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式；
求 6 米材料恰好用完时与 的长；
种植区域分隔完成后，欣欣又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形．她尝试借助图 2 设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段
上．直接写出符合设计要求的矩形周长的最大值．
综合与探究
问题情境：如图，在 纸片中， ，点 D 在边上， ．沿过点 D 的直线折叠该纸片，使的对应线段 与平行，且折痕与边交于点 E，得到，然后展平．
猜想证明：（1）判断四边的形状，并说明理由
拓展延伸：（2）如图，继续沿过点 D 的直线折叠该纸片，使点 A 的对应点落在射线上，且折痕与边 交于点 F，然后展平．连接 交边 于点 G，连接 ．
①若，判断与 的位置关系，并说明理由；
②若，，，当 是以 为腰的等腰三角形时，请直接写出 的
长
答案
【答案】D
【答案】D
【答案】C
【答案】A
【答案】C
【答案】A
【答案】D
【答案】D
【答案】D
【答案】C
【答案】x≥3
【答案】
【答案】20
【答案】
【答案】
【答案】解：原式
【答案】解：原式
，
， ，
∴原式
．
【答案】解：由题意，得 ， ， ， ，
在中， ，
，
． 答：树的高度为 米．
【答案】（1） ，
B 项目的人数为： 补全条形统计图如下：
（2）18
（3）解： (名)，
∴估计该校最喜欢“A 乒乓球”的学生人数大约 名．
【答案】（1）解：把代入 得，
∴点 A 的坐标为 ，
把代入 得，
∴点 C 的坐标为 ，
把点 和 代入 得：
，解得，
∴直线 对应的函数表达式；
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
由作图可得，即 ，设点D 的坐标为 ， 则 ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形；
（3） 或
【答案】（1）证明：，分别是， 的中点， 是 的中位线，
， ．
，
， ，
四边形 是平行四边形， ．
如图，连接 ， ， ，
，
，即 是 的垂直平分线． ，
点在 的垂直平分线上，即点， ， 共线． ，
，
又是 的半径，
，解之，得． ，
的半径为 10．
【答案】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系，
∴点 B 的坐标为 ，
∵ ，
∴点 P 的坐标为 ，
∵点 P 是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为 ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，
解得： ．
与
相切．
（2）解：
，
，
，
．
，
．
在
中，
，
∵
所在直线是
的垂直平分线，且
，
∴
．
∴抛物线的函数表达式为 .
解：∵点 D，E 在抛物线 上，
∴设点 E 的坐标为 ，
∵ ，交 y 轴于点 F，
∴ ， ，
∴ ．
∵在 中， ，
∴ ．
∴ ，
根据题息，得 ，
∴ ，
解得： （不符合题意，舍去），
∴ ．
∴ ，
答：的长为 4 米， 的长为 2 米．
矩形周长的最大值为 米
【答案】（1）解：四边形 是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得 ， ，
∴四边形 是菱形；
（2）证明：①，理由如下：
由（1）知四边形 是菱形，
∴ ，
∵
，
∴
∴
∴
∴
，
，
，
，
由折叠的性质得到
∵ ，
∴
∴
，
，
，
∴
，
∵
∴ ，
∴ ；
，
②5 或
数学一模试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
B．C．D．
某校九年级 5 个班一学年完成数学实践作业的次数分别为 7，8，9，9，10.这组数据的众数为
（ ）
A．10B．9C．8D．7
如图，几何体的左视图是（ ）
B．C．D．
1 月 26 日，西安至延安高铁迎来开通“满月”.自 2025 年 12 月 26 日开通运营以来，西延高铁日均开行动车组列车 38 列，节假日及客流高峰期最多开行 48 列，累计发送旅客 63 万人次.将数据“63 万”用科学记数法可以表示为（ ）
A．63×104B．6.3×105C．0.63×106D．6.3×107
已知实数 a，b 满足 ，则点（a+2，b+5）位于（ ）
第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
如图，BD 是等腰直角三角形 ABC 斜边 AC 上的中线，DE⊥BC 于点 E，则图中等腰直角三角形的个数 是 （ ）
A．3B．4C．5D．6
《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到 800 里远
的城市，所需时间比规定时间多 1 天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少 2 天，已知快马的速
度是慢马的 倍，求规定时间．设规定时间为 x 天，则下列分式方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；
②c+2a＜0；③9a-3b+c=0；④a-b≥m（am+b）（m 为实数）；⑤4ac-b2＜0.其中错误的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点 E 为此三角形的重心，连接 BE 并延长交 AC
于点 D，过点 E 作 EF⊥AB 于点 F，则 EF 的长为（ ）
A． B． C． D．2
如图，正方形 ABCD 的顶点 B 在x 轴上，点 A，点 C 在反比例函数 图象上.若直线 BC
交 y 轴负半轴于点 G，且 tan∠OGB=2，则直线 BC 的函数表达式为（ ）
y=2x-4B． C． D．
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
若点 A（3，a）在抛物线 y=-x2 上，则 a= ．
方 程 =1 的 解 是 ．
如图，将△ABC 沿 AB 方向平移得到△EFD，DE 交 BC 于点 M，若∠ACB=50°，∠F=80°，则
∠MEB=.
如图，直线 AB∥CD∥EF，如果 ，BD=6，那么 BF 的长是.
如图，正方形 ABCD 中，AD=4，E 是 AB 上一点，且 EB=1，F 是 BC 上一动点，若将△EBF 沿 EF
对折后，点 B 落在点 P 处，则点 P 到点 D 的最短距离为 .
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
解方程组： .
17．
计算： ；
已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点（4，5）与点（2，1），求该一次函数的表达式.
某抛物线型拱桥侧面示意图如图所示.水面宽 AB 与桥长 CD 均为 24 米，在距离 D 点 6 米的 E 处， 测得桥面到桥拱的距离 EF 为 1.5 米，以桥拱顶点O 为原点，桥面所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系. 如图 2，桥面上方有 3 根高度均为 4 米的支柱 CG、OH、DI，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看作两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为 2 米.
求其中一条钢缆抛物线的函数表达式；
春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图 2），请你求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度.
如图，射线 AM 交一圆于点 B、C，射线 AN 交该圆于点 D、E，且 ．
求证：AC=AE；
利用尺规作图，分别作线段 CE 的垂直平分线与∠MCE 的平分线，两线交于点 F（保留作图痕迹，不写作法），求证：EF 平分∠CEN．
我国航天技术飞速发展，我校以“探航天奥秘，立报国之志，做追梦少年”为主题，组织学生开展了航天知识科普竞赛活动.为了解学生对航天知识的掌握情况，我校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为 A，B，C，D 四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图：
本次共抽取了 ▲名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图；
若该校共有 1500 名学生参加本次竞赛活动，估计竞赛成绩为 B 等级的学生人数；
学校在航天知识科普竞赛成绩为 A 等级中的甲、乙、丙、丁这 4 名同学中，随机抽取 2 人担任校园航天文化节的主持人，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率.
某商品的进价为每件 10 元，售价为每件 16 元，每个月可卖出 100 件；如果每件商品的售价每上涨 1 元，则每个月就会少卖出 10 件，但每件售价不能高于 20 元，设每件商品的售价上涨 x 元（x 为整数），每个月的销售利润为 y 元.
求 y 与 x 的函数关系式，并直接写出自变量 x 的取值范围；
每件商品的售价为多少元时，每个月可获得最大利润？最大利润是多少？
每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰好是 550 元？
如图，AB 为⊙O 的直径，BF 切⊙O 于点 B，AF 交⊙O 于点 D，点C 在 DF 上，BC 交⊙O 于点 E， 且∠BAF=2∠CBF，CG⊥BF 于点 G，连接 AE．
请判断 AE 与 BC 的位置关系，并说明理由；
求证：△ABC 是等腰三角形；
（3）若∠F=60°，GF=1，求⊙O 的半径长．
已知一次函数 y1=ax-1 与 x 轴交于点 A，与反比例函数 在第一、三象限分别交于 C、B 两点， 其中 ，点 C 的横坐标为 2.
求一次函数和反比例函数的解析式；
将直线 y1 向左平移个单位长度得直线 y3，y3 与 y2 在第一象限交于点 E，在第三象限交于点F，求△AEF 的面积；
当 y3＞y2＞y1 时，请直接写出符合条件的x 的取值范围.
答案
【答案】B
【答案】B
【答案】C
【答案】B
【答案】A
【答案】C
【答案】A
【答案】A
【答案】A
【答案】C
【答案】-9
【答案】x=3
【答案】50°
【答案】14
【答案】4
【答案】解： ，
①×2 得：2x−4y＝8③，
②−③得：7y＝−9，
得：y＝− ，
将 y＝− 代入①得：x＝ ， 方程组的解为：．
17．【答案】（1）解：原式=1+2-
=1+2-1
=2．
（2）将点（4，5）与点（2，1）代入 y=kx+b 得，
，
解得，
所以一次函数的表达式为 y=2x-3．
【答案】（1）解：①水面宽 AB 与桥长 CD 均为 24 米，在距离 D 点 6 米的 E 处，测得桥面到桥拱的距离 EF 为 1.5 米，
由题意得 H（0，4），I（12，4），右边钢缆的抛物线顶点为（6，2），设右边钢缆的抛物线表达式为 y1＝a1(x−6)2＋2，
∵H（0，4），
∴4＝a1(0−6)2＋2，
∴a1＝ ，
∴y1＝ (x−6)2＋2．
②由题意得 H（0，4），G（−12，4），左边钢缆的抛物线顶点为（−6，2），设左边钢缆的抛物线表达式为 y1＝a1(x＋6)2＋2，
∵H（0，4），
∴4＝a1(0＋6)2＋2，
∴a1＝ ，
∴y1＝ (x＋6)2＋2．
（2）解：设拱桥侧面抛物线表达式为 y2＝a2x2， 由题意得 F（6，−1.5），
∴−1.5＝36a2，
∴a2＝− ，
∴y2＝− x2，
设灯带长度为 h，则 h＝y1−y2＝ (x−6)2＋2−(− x2)＝ x2− x＋4，
∵ ＞0，
∴当 x＝ (−12＜ ＜12)时，h 有最小值为 ． 答：灯带长度的最小值是米．
【答案】（1）证明：作 OP⊥AM 于 P，OQ⊥AN 于 Q，连接 AO，BO，DO．
∵ ，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP➴△ODQ，
∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形 APO 和 AQO 中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO➴△AQO．
∴AP=AQ．
∵CP=EQ，
∴AC=AE．
∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC．
∴∠ECM=∠CEN．
由于 AF 是 CE 的垂直平分线，
∴CF=EF．
∴∠FCE=∠FEC= ∠MCE= ∠CEN．
因此 EF 平分∠CEN．
20．【答案】（1）400；
补全条形统计图，如图即为所求；
（2）解： （名）
答：竞赛成绩为 B 等级的学生人数为 600 名；
解：树状图如下：
共有 12 种等可能的结果，其中甲乙两人同时被选中的结果有 2 种，
∴P（甲乙两人同时被选中） ．
21．【答案】（1）解：根据题意可得单件利润为 16＋x−10＝（6＋x）元，销量为（100−10x）件，可得函数关系式为 y＝（6＋x）（100−10x）＝−10x2＋40x＋600，
∵每件售价不能高于 20 元，
∴0≤x≤20−16，即 0≤x≤4 且 x 为整数，
∴y＝−10x2＋40x＋600（0≤x≤4 且 x 为整数）；
（2）解：y＝−10x2＋40x＋600＝−10（x−2）2＋640， 因为 a＝−10＜0，
所以当 x＝2 时，有最大值 640，此时售价为 16＋2＝18 元，
答：每件商品的售价为 18 元时，每个月可获得最大利润，最大利润是 640 元.
（3）解：当 y＝550 时，可得−10x2＋40x＋600＝550， 解得 x1＝5，x2＝−1，
∵0≤x≤4 且 x 为整数，
∴得 x1＝5，x2＝−1 均不符合自变量的取值范围，
∴不存在符合条件的售价．
【答案】（1）解：AE⊥BC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC．
证明：∵BF 与⊙O 相切，
∴∠ABF=90°，
∴∠CBF=90°-∠ABE，
∵∠AEB=90°，
∴∠BAE=90°-∠ABE，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠BAF=2∠CBF，
∴∠BAF=2∠BAE，
∴∠BAE=∠CAE，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=∠AEC=90°，
在△AEB 和△AEC 中，
∵，
∴△AEB➴△AEC（ASA），
∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形
连接 BD．
∵∠DAE=∠DBE，∠DAE=∠CBF，
∴∠DBE=∠CBF，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD⊥CD．
∵CG⊥BF，且∠DBC=∠CBF，
∴CD=CG．
∵∠F=60°，∠CGF=90°，
∴∠FCG=30°，
∵GF=1，
∴CF=2，
∴ ，
∴ ，
设⊙O 的半径为 r，则 AC=AB=2r，
∵∠ADB=90°，∠BAD=30°，
∴BD=r， ．
∴ ，
∴ ．
∴⊙O 的半径长为 ．
【答案】（1）一次函数的解析式为 y1=2x-1，反比例函数的解析式为解：∵OA＝ ，
∴A（ ，0），
将 A（ ，0）代入 y1＝ax−1，得0＝ a−1，
解得 a＝2，
∴一次函数的解析式为y1＝2x−1，
∵点 C 的横坐标为 2，
∴将 x＝2 代入 y1＝2x−1，得y＝3，
∴C（2，3）．
将 C（2，3）代入 y2＝ ，得
k＝6，
∴反比例函数的解析式为 y2＝ ．
解：∵直线 y1 向左平移个单位长度得直线y3，
∴y3＝2（x＋ ）−1＝2x＋ ．
∵y3 与 y2 在第一象限交于点 E，在第三象限交于点 F，
∴，
解得：或，
∴E（ ，8），F（−4，− ）．
设直线 EF 的解析式为 y＝mx＋n，
∴将 E（ ，8），F（−4，− ）代入 y＝mx＋n，得：，
解得：．
∴y＝2x＋ ．
设直线 EF 与 x 轴相交于点 D，
令 y＝0，得 x＝−，
得 D（− ，0），
∴AD＝ −(− )＝ ．
∴S△AEF＝S△AED＋S△ADF＝ × × ＋ × ×8＝17 ．
或
中考数学一模试卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
下列实数中，最大的是( )
A．-2B．-1C．3D．6
根据长沙市旅游局的数据统计，2024 年五一假期首日客流量达到了 149.4 万人次，数据 1494000 用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
下列图形中，不是轴对称图形的是( )
B．
C．D．
下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ）
调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某品牌新能源汽车的抗撞能力C．调查某市垃圾分类的情况 D．调查全班观看电影《哪吒 2》的情况
以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )
2cm，3cm，5cmB．3cm，3cm，6cm
C．5cm，8cm，2cmD．2cm，5cm，6cm
若一元二次方程 有两个相等的实根，则 的值为（ ）
A．-1B．0C． D．1
如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高.春分日兰州正午太阳光线与水平面的夹角 β 为 54°.若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角 α 度数是( )
A．26°B．36°C．46°D．54°
已知反比例函数 的图象位于第一、三象限，则 的取值可以是（ ）
A．B．1C．3D．4
如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是边 AB 上的点，将△BCD 沿直线 CD 折叠，点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上.若∠A=34°，则∠ADE 的大小是( )
A．35°B．37°C．39°D．41°
将二次函数 的图象在 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是( )
图象与 y 轴的交点坐标是(0，-3)
当 x=1 时，函数取得最大值
图象与 x 轴两个交点之间的距离为 4
当 x>1 时，y 的值随 x 值的增大而增大
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
已知 则代数式 的值为.
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC， BD 相交于点 O， ∠AOB=60°， AB=3，则 AC 的长为.
老师将 6 种生活现象制成如图所示看上去无差别的卡片，从中随机抽取一张卡，抽中生活现象是物理变化的概率是．
算盘是我国古代劳动人民创造发明的一种简便的计算工具，曾经在生产和生活中广泛应用，至今仍然发挥着它独特的作用.图(1)中算盘表示的数为 35，图(2)中算盘表示的数为 209，则图(3)中算盘表示的数为.
如图，正方形 ABCD 的边 AB=2，点 E、F 为正方形边的中点，以 EF 为半径的扇形交正方形的边于点 G、H，则 长为.
三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
解不等式组点点同学的计算过程如下：
由①得，x-3x-6>4，- 2x>10，x>-5； 由②得，2x+1>-1，2x>-2，x>-1，
∴不等式组的解集为 x>-1.
请你判断点点同学的解答过程是否正确，若不正确，请你写出正确的解答过程.
某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点 A，E， C，F 在同一条直线上， ∠BAC=∠EDF=90°， ∠B=45°， ∠DEF=60°.当 AD∥BC 时，求∠ADE 的大小.
已知 a0)的图象与 x 轴、y 轴分别交于 M，C 两点，在 x 轴的正半轴上取一点 N，使得 ON=OC.以线段 MN 的长度为长、线段 MO 的长度为宽，在 x 轴的上方作矩形
MNDE.若函数 (t 为常数，t>0)的轴点函数的顶点 P 在矩形 MNDE 的边上，求 n 的值.
答案解析部分
【答案】D
【解析】【解答】解：-2＜-1＜3＜6
故答案为：D.
【分析】通过比较有理数的大小，即可得出答案。
【答案】C
【解析】【解答】解： ． 故答案为：C．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于 1 的数可以写成 a×10n 的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
【答案】B
【解析】【解答】解：A：图案是轴对称图形，所以 A 不符合题意； B：图案是中心对称图形，不是轴对称图形，所以 B 符合题意； C：图案是轴对称图形，所以 C 不符合题意；
D：图案是轴对称图形，所以 D 不符合题意； 故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行识别，即可得出答案。
【答案】D
【解析】【解答】解：A.调查某种柑橘的甜度情况，全面调查工作量大，且具有破坏性，适合抽样调查， 故本选项不符合题意；
调查某品牌新能源汽车的抗撞能力，具有破坏性，适合抽样调查，故本选项不符合题意； C.调查某市垃圾分类的情况 ，全面调查工作量大，适合抽样调查，故本选项不符合题意； D.调查全班观看电影《哪吒 2》的情况，范围较小，适于全面调查，故本选项符合题意． 故答案为：D．
【分析】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查； 对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似对每个选项逐一判断求解即可.
【答案】D
【解析】【解答】解：A：2+3=5，所以 A 不能组成三角形；
B：3+3=6，所以 B 不能组成三角形；
C：2+5＜8，所以 C 不能组成三角形；
D：2+5＞6，所以 D 能组成三角形。故答案为：D.
【分析】根据三角形三边之间的关系，逐项进行判断，即可得出答案。
【答案】D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 有两个相等的实根
∴ 解得：c=1
故答案为：D
【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式 ，解方程即可求出答案.
【答案】B
【解析】【解答】解：因为 α + β =90°， β= 54°， 所以 α =90°-54°=36°。
故答案为：B.
【分析】根据两角互余即可求得 α 的度数。
【答案】D
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象位于第一、三象限，
∴ ，
∴ ，
观察各选项，只有选项D 符合题意， 故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的性质，当时，反比例函数 的图象位于第一、三象限．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠A=34°
∴
∵将△BCD 沿直线 CD 折叠，点 B 的对应点 E 恰好落在边 AC 上
∴∠DEC=∠B=73°
∴∠ADE=∠DEC-∠A=39°
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据折叠性质
可得∠DEC=∠B=73°，再根据三角形外角性质即可求出答案.
【答案】C
【解析】【解答】解：A： 图象与 y 轴的交点坐标是(0，3)，所以 A 不正确；
B：图象两端向上无限延伸，没有最大值，所以B 不正确；
C： 图象与 x 轴两个交点之间的距离为 4 ，所以 C 正确；
D：当 1＜x＜3 时， y 的值随 x 值的增大而减小，所以 D 不正确。故答案为：C.
【分析】结合函数图象，逐项进行分析，即可得出答案。
【答案】1
【解析】【解答】解： =5-（x2+2x）=5-4=1
故答案为：1.
【分析】首先根据添括号法则。可得出原式=5-（x2+2x），进而整体代入求值即可。
【答案】6
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OB，
∵ ∠AOB=60°，
∴△AOB 是等边三角形，
∵AB=3
∴OA=AB=3，
∴AC=2OA=6.
故答案为：6.
【分析】首先根据矩形的性质及等边三角形的判定可得出△AOB 是等边三角形，即可得出 OA=AB=3， 再根据矩形对角线也互相平分，即可得出 AC=2OA=6.
【答案】
【解析】【解答】解：从中随机抽取一张卡片共有 6 种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有冰化成
水和衣服晾干 2 种结果，
所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为 ， 故答案为： ．
【分析】根据概率公式即可求出答案.
14．【答案】50506
【解析】【解答】解：根据图（1）和图（2）可得出横档下边的一个珠子表示 1 个单位，横档上边的一个
珠子表示 5 个单位，
∴ 图(3)中算盘表示的数为 ：50506. 故答案为：50506.
【分析】根据图（1）和图（2）可得出横档下边的一个珠子表示 1 个单位，横档上边的一个珠子表示 5
个单位，即可得出图(3)中算盘表示的数。
【答案】
【解析】【解答】解：在 Rt△BEG 和 Rt△CEH 中：EG=2BE，EH=2CE，
∴∠BGE=∠EHC=30°，
∵AB∥EF∥CD
∴∠GEF=∠BGE=30°，∠HEF=∠EHC=30°，
∴∠GEH=60°，
∵EF=AB=2
∴长为 ： 故答案为： .
【分析】首先根据直角三角形中的边角关系得出∠BGE=∠EHC=30°，再根据平行线的性质可得出
∠GEH=60°，进而根据弧长计算公式即可得出答案。
【答案】解：点点同学的计算不正确，正确解答过程如下：
解不等式①，得： x-2，
∴原不等式组的解集是-20 时，轴点函数 的顶点 P 与点 M 重合，即 P (-2t，0) ，如图，
且 n≠0，
∴n=1；
当 m